数字信号处理2-2 DTFT.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,5,离散时间傅立叶变换,实际信号的特点：,时域：,连续实际信号,持续时间较长,频域：,频谱是连续 的,数字处理设备的特点,：,存储空间有限只能存储有限的数据,有限的时间点,有限长的时间范围,表示空间有限只能表示有限多的数值,取值在一定精度内,取值在一定范围内,1,要解决的问题（面临的矛盾）,1,在时域如何对信号进行离散化？要求保证信号的,信息不受损,!,信息不受损可以恢复原信号,理论问题已在第一章解决,乘以冲激串信号，进行时域抽样,要求抽样过程满足抽样定理,信号频带有限，抽样频率是信号最高频率的两倍,2,如何用抽样信号的频谱来,恢复,原信号的频谱？,抽样信号的频谱与原信号的频谱是什么关系？,理论上如何恢复？,工程上如何实现？,要解决的问题（面临的矛盾）,2,3,抽样信号的频谱如何,计算,？,得到抽样信号后，如何计算其频谱？,输入：抽样信号（序列）,输出：抽样信号的频谱,在工程上，计算机接受的输入是一系列数值,x1,x2,x3,x4,x5,要解决的问题（面临的矛盾）,3,4,信号被,截短,时，频谱发生什么变化？,有时信号持续时间超出处理能力,时域信号需要被截断,截断会不会影响对信号的分析？,截断对信号的频谱有何影响？,要解决的问题（面临的矛盾）,4,5,有限长离散信号频谱的存储与计算,频谱是连续周期的,只能存储有限长的频谱,一个周期即可,只能存储有限多的频谱,离散频率点处的频谱值,离散频率点谱值的计算,法一：先有连续谱，后有离散谱值（抽样而已）,法二：直接用时间抽样值计算离散谱值（公式）？,要解决的问题（面临的矛盾）,5,6,如何由频谱恢复抽样信号？,离散频谱值是有限的,恢复抽样信号的计算公式,如何编程实现（如何进行快速计算）？,按定义实现 计算量太大,由离散信号计算离散频谱,由离散频谱恢复离散信号,要解决的问题（面临的矛盾）,6,7,7,序列傅立叶变换的定义,离散时间傅立叶变换,序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用,作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用,对模拟信号进行展开相似。,8,序列的傅立叶变换,1,序列傅立叶正变换,x(n,),的傅立叶变换定义如下:,是 的连续函数。但由于 其中,M,为整数，故有,可见 还是 的周期函数，周期为2 。,9,序列傅立叶变换的定义,2序列傅立叶变换与,Z,变换的关系,比较后可见：,序列的傅立叶变换是,Z,变换在 时的,Z,变换，即,Z,变换在的单位圆上 的特殊情况。,序列的傅立叶变换式：,序列的,Z,变换定义式：,10,序列傅立叶变换的定义,由于单位圆上的,Z,变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，,序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。,由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。,11,序列傅立叶变换的定义,一般为 的复变函数，可表示为,:,其中，分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，,而称 为相位谱，并且有：,显然,都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。,12,序列傅立叶变换的定义,3,序列的傅立叶变换的收敛条件,即序列绝对可和,有些序列虽然不满足以上条件，但满足,平方可和,，其傅立叶变换依然存在。见后例。,某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，,若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。,如 、某些周期序列，见后例。,13,序列傅立叶变换的定义,5,常用序列的傅立叶变换,序 列,傅 立 叶 变 换,14,典型例题,已知 ，求它的傅立叶变换。,解：,其幅度谱和相位谱分别为：,例,1,15,典型例题,例,2,已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。,解：,显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的,，但其依然存在傅立叶变换。,Parseval,定理,16,典型例题,例,3,证明复指数序列 的傅立叶变换为：,证：,根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有,：,若序列为复指数和的形式：,推论,17,典型例题,例,4,求余弦序列 的傅立叶变换,解：,可见：,序列 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，并以2 为周期进行周期延拓。,利用上例结论,18,6,序列傅立叶变换的性质,下面所列出的性质都可直接由,Z,变换令 得到，可自行证明。,因序列的傅立叶变换是,Z,变换在 的单位圆上的特例，故所有,Z,变换的性质对傅立叶变换都成立。,19,序列傅立叶变换的性质,线性性,序列的移位,频域的相移,序列的反褶,20,序列傅立叶变换的性质,序列的共轭,频域微分性,对时域信号进行线性加权对应于频域的微分,时域卷积定理,21,序列傅立叶变换的性质,频域卷积定理（序列相乘）,序列相关,推论,序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱,-,维纳-辛欠定理,22,序列傅立叶变换的性质,Parseval,定理,该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量,重抽样序列的傅立叶变换,该性质表明：,重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了,M,倍，并将展宽后的频谱以,为周期扩展了,M,个，幅度则下降到原来的1/,M。,23,序列傅立叶变换的对称性,序列的共轭对称性质,若序列 满足,则称 为,共轭对称序列,类似地，若序列 满足,则称 为,共轭反对称序列,任何序列 均可表示成上述两种序列之和，,其中,24,序列傅立叶变换的对称性,若将共轭对称序列,用它的实部和虚部来表示：,此式表明：,的实部是,n,的偶函数，而虚部是,n,的奇函数；的实部是,n,的奇函数，而虚部是,n,的偶函数。,序列傅立叶变换的共轭对称性质,将 分成实部与虚部,共轭对称部分,共轭反对称部分,25,序列傅立叶变换的对称性,上式表明：,的傅立叶变换对应于 的实部；,的傅立叶变换对应于 的虚部,(加上,j,在内)。,26,序列傅立叶变换的对称性,结论：,具有共轭对称性质，,具有共轭反对称性质,。,若序列为纯实数序列，即若,所以实序列,x,(,n,),的傅立叶变换的,实部是,w,的偶函数，而虚部是,w,的奇函数,；,幅度是,w,的偶函数，而相位是,w,的奇函数,推论,若序列为纯虚数序列，即若,所以纯虚数序列的傅立叶变换是,w,的奇函数。,27,