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数学物理方法总结

第一章 复变函数

复数的代数式:z=x+iy
复数的三角式和指数式:和
欧拉公式:{
柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv)
函数f(z)=u+iv在点及其领域上处处可导,则称f(z)在点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.
解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则 (为常数)是B上的两组正交曲线族.
2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即

例题: 已知某解析函数f(z)的实部,求虚部和这个解析函数.
解答: 由于=2;=-2;则
曲线积分法 =2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.
于是 ;
凑全微分显式法 由上式可知
则易得
则显然
不定积分法 上面已有 =2y;=2x
则第一式对y积分,x视为参数,有 .
上式对x求导有 ,而由C-R条件可知 ,
从而 .故 v=2xy+C.

第二章 复变函数的积分

单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域上解析,则沿上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是的边界),有.
复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则
.式中l为区域外边界线,诸为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即
.
柯西公式
n次求导后的柯西公式

第三章 幂级数展开

幂级数

其中,,,,……都是复常数.
比值判别法(达朗贝尔判别法)
1.若有

则 收敛,
绝对收敛.
若极限存在,则可引入记号R,,于是,若,则
绝对收敛.
2.若,则后项与前项的模之比的极限
,即说明
发散.
例题: 求幂级数的收敛圆,z为复变数.
解答: 由题意可得

故 ().
泰勒级数展开 设f(z)在以为圆心的圆内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,,其中
,
为圆内包含z且与同心的圆.
例题: 在的领域上将展开
解答: 函数的各阶导数,而.
则在的领域上的泰勒展开
.
双边幂级数
洛朗级数展开 设f(z)在环形区域的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数.其中
,
积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.
例题1: 在的环域上将展为洛朗级数.
解答:
例题2: 在的领域上将展为洛朗级数.
解答: 由题意得
则有z-1的-1次项,而
()
故 .

第四章 留数定理

留数定理 设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点,,……,解析,在闭区域上除,,……, 外连续,则
.
其中,.
推论1: 单极点的留数为.
推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在点解析,是Q(z)的一阶零点().,则
.
上式最后一步应用了罗毕达法则.
留数定理的应用
类型一 .作自变量代换 .则式子变为
.
例题: 计算 .
解答: ,
Z的单极点为.
则,
由于不在圆内.故 .
类型二 .积分区间是;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地.则式子可以变为
{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.
例题: 计算 .
解答: 的单极点为.
,故.
类型三 ,,积分区间是;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地.则式子可以变为
;
.
若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有
.
其中,在类型三中f(x)应理解为或.

第五章 Fourier变换

傅里叶级数 周期为2l的函数f(x)可以展开为级数
.
其中,{, ={.
注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可.
复数形式的傅里叶级数
其中 .
傅里叶积分
傅里叶变换式 {
复数形式的傅里叶积分 {
傅里叶变换的性质
(1) 导数定理 F[f’(x)]=iwF(w)
(2) 积分定理 F[]=
(3) 相似性定理 F[f(ax)]=
(4) 延迟定理 F[]=
(5) 位移定理 F[]=
(6) 卷积定理 若F[]=,F[]=,则
F[*]=.
其中称为和的卷积.
函数
{.
{.
函数的一些性质
1. 是偶函数.
2. {.
3..

第六章 Laplace变换

拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的一些性质
(1) 线性定理 若,,则
.
(2) 导数定理 .
(3) 积分定理 L[].
(4) 相似性定理 .
(5) 位移定理 .
(6) 延迟定理 .
(7) 卷积定理 若,,则
,
其中称为和的卷积.

第七章 数学物理定解问题

(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为或或.
(2) 扩散方程,热传导方程的形式为或.
(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).
(4) 以上方程中意为,意为.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).
定解条件
初始条件 初始”位移” ,
初始”速度” .
边界条件 第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
衔接条件
.(T为张力)
达朗贝尔公式 定界问题
达朗贝尔公式 .
其中,.

第八章 分离变数法

泛定方程 (若该方程可以使用分离变量法,则可以化成).
在不同的边界条件下解不同.
边界条件
(1) { , X(x)的解为 { 其中 n=1,2,3……
(2) {, X(x)的解为 { 其中 k=0,1,2……
(3) {, X(x)的解为 { 其中 k=0,1,2……
(4) {, X(x)的解为 { 其中 n=0,1,2……
T(t)的方程在有n且n=0时的解为 ;
在时的解为
;
在有k的情况下为
.
初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.
欧拉型常微分方程 . 解法为做代换.

第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题

拉普拉斯方程
(1) 球坐标系下 .
分解为 其解为 .
和 (球方程,)
球方程又可以分离为 其中有 ,其方程解为 { 其中 m=0,1,2……
和 (连带勒让德方程).
(2) 柱坐标系下 .分解为
其中有 ,其方程解为
{ 其中 m=0,1,2……
和 和 .
当时,Z=C+Dz,{;
当时,,方程R转换为
(,m阶贝塞尔方程).
当时,,方程R转换为
(,m阶虚宗量贝塞尔方程).
亥姆霍兹方程 .
在的领域上l阶勒让德方程的解为 其中

第十章 球函数

高次项的系数 (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为
,则 .则勒让德多项式为 .={.

……
勒让德多项式是正交的
例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=展开为广义傅里叶级数.
解答: =
=
则有 , , , .
故有=.
例题2: 在半径的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件.
解答: 边界条件与无关,故选择球坐标,则有
.
又有自然边界条件 故.则有
.
而,则
.