浙江省宁波市2018届高三上学期期末考试数学试题.doc

宁波市2017学年第一学期期末考试
高三数学试卷
第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则条件“”是条件“”的（ ）条件.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.若函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
4.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）
A．3 B． C.5 D．
5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（ ）

A．1 B．2 C.4 D．8
6.已知，为的导函数，则的图像是（ ）
A． B． C. D．
7.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
8.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（ ）
A． B． C. D．
9.若函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C. D．
10.已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.已知，则 ．
12.设为虚数单位，则复数的虚部为 ，模为 ．
13.对给定的正整数，定义，其中，，则 ；当时， ．
14.在锐角中，已知，则角的取值范围是 ，又若分别为角的对边，则的取值范围是 ．
15.已知双曲线的渐近线方程是，右焦点，则双曲线的方程为 ，又若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为 ．
16.现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有 种（请用数字作答）．
17.如图，在平面四边形中，，，，点为中点，分别在线段上，则的最小值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值.
19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知函数.
（Ⅰ）若方程只有一解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设函数，若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.
21.已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.

（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.
22.已知数列满足，.
（Ⅰ）若，求证：对任意正整数均有；
（Ⅱ）若，求证：对任意恒成立.

试卷答案
一、选择题
1-5:ABCDB 6-10:ABACB
二、填空题
11.2 12.-2， 13.64， 14.，
15.， 16.52 17.1
三、解答题
18.解：（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）因为，所以.
当，即时，取得最大值；
当，即时，
.
即的最小值为.
19.解：（Ⅰ）设与的交点为，连结.
因为为矩形，所以为的中点.
在中，由已知为中点，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）在中，，，
所以，
即.
因为平面平面，
平面平面，，
所以平面，故.
又因为，平面，所以平面，
故就是直线与平面所成的角.
在直角中，，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（Ⅰ）由已知.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增.
故.
又当时，.
且（对足够小的）.
又当时，.
即所求的取值范围是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
所以对任意正实数，恒成立，
等价于.
∵.
（1）当时，，与式矛盾，故不合题意.
（2）当时，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在区间上单调递减.
，所以.
综合（1）（2）知实数的取值范围为.
21.解：（Ⅰ）设直线的方程为，设，
以为切点的切线方程分别为，.
由消去得.
则，.
这两条切线的斜率分别为，.
由这两切线垂直得，得.
所以直线恒过定点.
（Ⅱ）设，则，，
当时，则，可得，
当时，则，，，
同样可得.
所以.
由.
所以.
令，.
.
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以.
（或当时取等号.）
22.证明：（Ⅰ）当时，根据和在均为增函数.
从而当时，必有或.
当时，由在上为减函数，得.
当时，，从而恒成立.
综上所述，对所有满足的正整数均成立.
（Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知.
又.
所以.
另一方面，，
且，
令，则，
即，且，.
∴.
由，
且知为递减数列，且.所以.
从而.
又由.
所以.
所以.