大连经济技术开发区第二中学2018高三上学期第三次月考试卷数学含答案.doc

大连经济技术开发区第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 若函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2． 若f′（x0）=﹣3，则=（ ）
A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
3． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，的
面积为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
4． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A． B． C． D．
5． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为
C．该几何体表面积应为+ D．该几何体唯一

6． 已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t+（1﹣t），若∠ACD=60°，则t的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣1 D．
7． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
8． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）
A．720 B．270 C．390 D．300
9． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
10．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A．π B．2π C．4π D． π
11．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（ ）
A．12 B．20 C． D．
12．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．函数在区间上递减，则实数的取值范围是 ．
14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为　　　　　　．
15．在中，，，为的中点，，则的长为_________.
16．计算 ▲ ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．数列{an}满足a1=，an∈（﹣，），且tanan+1•cosan=1（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{tan2an}是等差数列，并求数列{tan2an}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sinam=1．

18．已知函数.
（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值；
（3）当时，函数有两个零点，且，求证：．

19．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线
交轴于，且为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率
分别为，且，证明：直线过定点．

20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1） 当时，求满足的的取值；
（2） 若函数是定义在R上的奇函数
①存在，不等式有解，求的取值范围；111]
②若函数满足，若对任意,不等式
恒成立，求实数m的最大值.

21．如图，在四边形中,, 四
边形绕着直线旋转一周.

（1）求所成的封闭几何体的表面积；
（2）求所成的封闭几何体的体积.

22．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
得到的数据：

赞同
反对
合计
男
50
150
200
女
30
170
200
合计
80
320
400
（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述
发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．
参考公式：，

【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力

大连经济技术开发区第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

2． 【答案】B
【解析】解：∵f′（x0）=﹣3，则= [4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．

3． 【答案】B
【解析】设，则.又设，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时点，的面积为，故选B.
4． 【答案】
【解析】
试题分析：分段间隔为，故选D.
考点：系统抽样
5． 【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到
且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

6． 【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A．
【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．

7． 【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为： a，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C

8． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．
各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： ++=390．
故选：C．
9． 【答案】
【解析】
试题分析：,故选B.
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
10．【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4π
故选：C．

11．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．

12．【答案】A
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】
【解析】
试题分析：函数图象开口向上，对称轴为，函数在区间上递减，所以.
考点：二次函数图象与性质．
14．【答案】　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．

【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．

15．【答案】
【解析】

考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
16．【答案】－20
【解析】
考点：对数式运算
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，an∈（﹣，），且tanan+1•cosan=1（n∈N*）．
故tan2an+1==1+tan2an，
∴数列{tan2an}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2an}的前n项和=+=．

（Ⅱ）解：∵cosan＞0，∴tanan+1＞0，．
∴tanan=，，
∴sina1•sina2•…•sinam=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tanam•cosam）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tanam•cosam﹣1）•（tana1•cosam）
=（tana1•cosam）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

18．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
试题解析： （1），所以，
∴函数的解析式为；
（2），
因为函数的定义域为，
令或，
当时，，单调递减，
当时，，函数单调递增，
且函数的定义域为，

（3）当时，函数，
，，
两式相减可得，．
，，因为，
所以

设，，
∴，
所以在上为增函数，且，
∴，又，所以．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
19．【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题解析：
（1），∴，∴，
，
∴，
即；
（2）设方程为代入椭圆方程
，，
，∴，
∴代入得：所以， 直线必过．1
考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
20．【答案】（1） （2） ①，②6
【解析】
试题分析：（1）根据 ，可将方程转化为一元二次方程：，再根据指数函数范围可得 ，解得 （2） ①先根据函数奇偶性确定值：，再利用单调性定义确定其单调性：在R上递减．最后根据单调性转化不等式为即 （2） 因为是奇函数，所以，所以
化简并变形得：
要使上式对任意的成立，则
解得：，因为的定义域是，所以舍去
所以， 所以 ………………………………………6分
①1111]
对任意有：

因为，所以，所以，
因此在R上递减． ………………………………………8分
因为，所以，
即在时有解
所以，解得：，
所以的取值范围为 ………………………………………10分
②因为，所以
即 ………………………………………12分

令，，
时，，所以在上单调递减
时，，所以在上单调递增
所以，所以
所以，实数m的最大值为6 ………………………………………16分
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：
因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为，选取2人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，28个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所求概率为．

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