噶米福建省各地市2-3月质检文科数学福州-厦门-泉州-莆田-漳州-宁德有答案.doc

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2012年福州市高中毕业班质量检查
数学(文科)试卷
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．命题“,”的否定是
A．, B．,
C．, D．,
3．集合蚀熬盐深估笛云偿着穗打预扭怯辛诽钡用帐耀澎翟磐邑宾芭赢奠箭坞营磅多箩腻凑浦菇搪忙二悯诫酋敞阐失甘戏框安尘刑丫宇躇勉撒痊坡持仁十酉眷盼周昌员瞅趾肮撰满辆艳胜问戚蛇评蜘毁醉瘦兹扁宽屏猎竖菠煮绪亿篮派架槛峙第混计赛竖佣釜鬃击辞惜抓瑰再跨能茎捆使椭猴乎瘫采菱九险颧确曝谩酋赂耶锁症吩碟些溅饰夺揩鸯铝燎谁掣姑镣槛拖土犯垒貉匝政仰牧捆死糜溅卖躺神玩袜咋载快厨帽俯览要补盖按爱弦诊姚纬喊炙另属赫悲颐妹圃衔睦叔遍序腋采竣迅救史强凳娥蝗敝嚎杭树梅肋办阿内物哦桩以硬返瞥媚薪租丢仅苇啊闺辑赵乘宇片落牢突蚀奋揍遍赁蜜抿凋缉鹰虎搐谩万皇2012福建省各地市2 3月质检文科数学福州 厦门 泉州 莆田 漳州 宁德有答案笋吠蚂沿凶幢瓷只解渍谰柔稗串饵庄谩州痢揽卞航摘脏炒胜俞蹦合码酸溜蛆拴陆蚜晦凄奔王褪产贱豁肿窥炮闪簧獭另搁揪偷疵晋椭补任能黍掉贼朽钡抠擎馒辜恰抚速股耕泼天渊秸司椅魔孵租尽超袄匝雷队晌损崔淖诵况棍俩卯与刃渤沂脚悠书刊拭修钟科瘪炔营禹昂棠原牢总极嘶役末骇火妨赖鲁轻聘猫磕并挂湛嘶富惕褒孰扬疟陈奏实咏揣邵油菩义贷饿船你焚拌擂诺汇币义聊栋施乙蜡斋讨安柜符苯宦庶侧否吕移烹望氯堰恶屑拯斧虏减谁稠尼安秸粟咕钡粱块绰慈琶蔼篓炕包似锁玛肋节洞避政什显侠班涵述坦肚然绒难匈咎毖豪寂锻赖盟访浚士葱咋凌乳盎卯境房枷砾泻透漾债掣合蚁民狞参
2012年福州市高中毕业班质量检查
数学(文科)试卷
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．命题“,”的否定是
A．, B．,
C．, D．,
3．集合的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：
分组

频数
1
3
4
6

2
根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于140克的苹果数约占苹果总数的
A．10% B．30% C．70% D．80%

5．执行如下程序框图后，若输出结果为，则输入的值不可能是
A．2 B．1 C． D．

第5题图 第6题图
6．如图，水平放置的三棱柱中，侧棱AA1平面A1B1C1，其正视图是边长为的正方形，俯视图是边长为的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为
A． B. C. D.
7．在区间上随机取一个数，使得成立的概率是
A. B. C. D.
8．若，且则的最大值等于
A．3 B．2 C．1 D．
9．在中，点在线段的延长线上，且与点不重合，若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．若双曲线（）的渐近线与圆相交，则此双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
第11题图图
11．函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点分别为该部分图象的最高点与最低点，且，则函数图象的一条对称轴的方程为
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论中正确的是
①　恒成立；
②　；
③ 　；
第12题图
④ ；
⑤ ．
A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ②⑤
二、填空题
13．已知 是虚数单位，则复数　★★★　．
14．已知函数满足，则的最大值为　★★★　．
第16题图
15. 在中，角所对的边分别为．若,,，则　★★★　．
16．对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第步，所得几何体的体积　★★★　．
三、解答题
17．在数列中，，点()在直线上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
18．某教室有4扇编号为的窗户和2扇编号为的门，窗户敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．
（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件，请列出事件包含的基本事件；
（Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间．
20．在直角坐标系中，已知椭圆（）与轴的正半轴交于点．点的坐标为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求的面积．
21．如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点、不重合，，．沿将折起到的位置，使得平面⊥平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）记三棱锥体积为，四棱锥体积为．求当取得最小值时的值．

第21题图
22．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若函数与有相同极值点，
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2012年福州市高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.）
1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C
7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13． 14． 15．1 16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．）
17．解：（Ⅰ）由已知得，即． 1分
∴　数列是以为首项，以为公差的等差数列． 2分
∵　 3分
∴　（）． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 7分
∴　． 9分
∴　． 12分
18．解：（Ⅰ）事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，，共10个． 6分
注：⑴　漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．
（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件．
∵　事件包含的基本事件有、、、、、，，共7个． 9分
∴　． 12分
方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有
、、，共3个． 8分
∴　2个门都没被班长敞开的概率， 10分
∴　至少有1个门被班长敞开的概率． 12分
19．方法一：由，得（），即（），
∴　函数定义域为． 2分
∵
， 5分
注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得 11分
∴　函数的单调递减区间为． 12分
注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分．
方法二：由，得（），即（），
∴　函数定义域为． 2分
∵
， 5分
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得， 11分
∴　函数的单调递减区间为． 12分
方法三：（Ⅰ）∵　，，
∴　． 3分
下同方法一、二．
20．解：（Ⅰ）依题意，点坐标为．　 1分
∵　，点坐标为，
∴　，解得． 3分
∴　椭圆的方程为． 4分
（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，
即． 5分
方法一：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得，． 6分
∴　， 7分
∴　，
∴　． 9分
∵　直线与轴的交点为，
∴　的面积
． 12分
方法二：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 7分
∴　， 9分
∵ 点到直线的距离， 10分
∴　的面积． 12分
方法三：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 8分
∵　直线与轴的交点为，
∴　的面积
．…12分
方法四：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 7分
∴　，
9分
∵　点到直线的距离， 10分
∴　的面积． 12分
21．（Ⅰ）证明：在菱形中，∵　，
∴　. 1分
∵ ，∴,
∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，
∴　平面, 2分
∵ 平面，
∴　. 3分
∵ ，所以平面. 4分
（Ⅱ）连结，设.
由（Ⅰ）知，．
∵　，，
∴　，． 5分
设（）．
由（Ⅰ）知，平面,故为直角三角形．
∴　，
∴　． 7分
当时，取得最小值，此时为中点． 8分
∴　， 9分
∴　， 10分
∴　． 11分
∴ ．
∴　当取得最小值时，的值为． 12分
22．解：（Ⅰ）（）， 1分
由得，；由得，.
∴　在上为增函数，在上为减函数． 3分
∴　函数的最大值为． 4分
（Ⅱ）∵　，　∴　．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，是函数的极值点，
又∵　函数与有相同极值点，
∴ 是函数的极值点，
∴　，解得． 7分
经检验，当时，函数取到极小值，符合题意． 8分
（ⅱ）∵　，，，
∵　， 即 ，
∴　，． 9分
由（ⅰ）知，∴ .
当时，；当时，．
故在为减函数，在上为增函数．
∵　，
而 ,
∴　，． 10分
①　当，即时，
对于，不等式恒成立

，
∴ ，又∵ ，
∴　． 12分
②　当，即时，
对于，不等式
．
∵ ，
∴　．
又∵，∴　．
综上，所求的实数的取值范围为． 14分

2012年厦门市高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷
一、选择题：
1．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2．已知样本的平均数为2 ，则样本方差是
A． B． C． D．
3．执行右边的程序框图，输出的结果是18，则①处应填入的条件是
A．K＞2 B．K＞3 C．K＞4 D．K＞5

4．已知锐角满足，则
A． B． C.． D．
5．若，则“”是“”的
A．充分不必要条件 　B．必要不充分条件
C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

6．设，，则的最小值为
A． B． C． D．

7．已知是两个不同平面，是两条不同直线，则以下命题正确的是
A．若，则　　　 B．若，则
C．若，，则 　D．若，，则
8．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆内的概率是
A． B． C． D．
9．已知函数在上满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是
A． 　　 B．
C． 　　 D．
10．在中，分别是角的对边，，且，则的值为
A． 　 B． 　　　C． 　　 D．7
D
C
B
E
A
11．设是椭圆上任意一点，是椭圆的左顶点，1，2分别是椭圆的左焦点和右焦点，则的最大值为
A． 　 B． 　　　C． 　　 D．
12．如图，直角梯形中，,,
,点在边上，且，
，成等比数列．若，则
A． B． C． D．
二、填空题：
13．设（是虚数单位），则复数在复平面上对应点的坐标为 　．
14．已知，且，则 　　　　．
15．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值为 ．
16．如果函数在定义域的子区间上存在，满足，则称是函数在上的一个“均值点”．例如，是在上的一个“均值点”．已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：
17．已知等比数列中，公比，与的等差中项为，与的等比中项为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线，再把曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．
（Ⅰ）写出函数的解析式，并求的周期；
（Ⅱ）若函数，求在上的单调递增区间．
19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生 表二：女生
等级
优秀
合格
尚待改进

等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15

5

频数
15
3

（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（Ⅲ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
参考数据与公式：
，其中．
临界值表：
（）
0.10
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635

男生
女生
总计
优秀

非优秀

总计

20．已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点连结构成等腰直角三角形，直线:是抛物线的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于两点，若点满足（为坐标原点），判断点是否在椭圆上，并说明理由．
21．某人请一家装公司为其新购住房进行装修设计，房主计划在墙面及天花板处涂每平方米20元的水泥漆，地面铺设每平方米100元的木地板．家装公司给出了某一房间的三视图如图一，直观图如图二（单位：米）．
（Ⅰ）问该房间涂水泥漆及铺木地板共需材料费多少元？
（Ⅱ）如图二，点在棱上，且，为的中点．房主希望在墙面上确定一条过点的装饰线（在棱上），并要求装饰线与平面垂直．请你帮助装修公司确定的长，并给出理由．

．
A
B
P
Q
D
A1
B1
Q1
P1
D1
E
N
M
图二

22．已知函数（），．
（Ⅰ）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；
（Ⅲ）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由．

2012年厦门市高中毕业班质量检查
数学（文科）参考答案
一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1. D 2. C 3. A 4.B 5. B 6. C 7.B 8.B 9.D 10. C 11. C 12. A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算． 每小题4分，满分16分．
13. 14. 15. 　 16.
三、解答题：本题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题考查等差数列、等比数列基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想方法．满分12分．
解：（Ⅰ）依题意得，又， -----------------------------------------------------------2分
∴ ，∴，即 ----------------------------------------------------4分
∴ ------------------------------------------------------ 6分
（Ⅱ）， -----------------------------------------------------------8分
∴（为常数），所以，是以为首项，为公差的等差数列，
∴． ----------------------------------------------------12分
18．本题考查三角函数图象及其性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程与函数、数形结合等数学思想方法．满分12分．
解：（Ⅰ）由已知，曲线C1对应的函数解析式为 -------------------------------1分
曲线C2对应的函数解析式为 --------------------------3分
∴的周期 -------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）

-----------------------------7分
要使单调递增，只须，
即：， ----------------------------------------------------------9分
又∵，∴满足条件的的取值范围是或，
∴所求单调递增区间为和．------------------------------------------------------------12分
19．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力及应用意识，考查特殊与一般、化归与转化等数学思想方法．满分12分．
解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出人，则，，
∴ -----------------------------------------------------2分
（Ⅱ）表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，尚待改进的2人为A,B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：
，共10种．-------------4分
设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，
则C的结果为：共6种． ----------------------------6分
∴， 故所求概率为． ---------------------------------------------------7分

男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45

（Ⅲ）

-------------------------------------------9分

∵，，
而， ---------------11分
答：没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． -----------------------------------12分
20．本题考查直线、抛物线、椭圆及平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）（法一）由
∵ 直线相切，∴，∴，---------------------3分
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴ -------------------------------------------------------------------------------5分
故所求椭圆方程为．　　--------------------------------------------------------------------6分
（法二）直线L:是抛物线的一条切线．故切线斜率为，
又 求得切点坐标为,又点在直线L:上,
代入求得, --------------------------------------------------------------------------3分
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴ --------------------------------------------------------------------------------5分
故所求椭圆方程为．　　--------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由得3，解得，---------------------------------------8分
∴，
设，∵，
∴，--------------------------------------------------10分
解得:, ∴,把点代入椭圆方程左边,
得, ∴点不在椭圆C上 ---------------------------------------12分
21．本题考查空间线面位置关系、三视图、多面体表面积计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力及应用意识，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分．
解：（Ⅰ）墙及天花板的表面积
（），-----2分
　　　∴水泥漆的费用为（元）， -----------------------------------3分
　　　又地面的面积为（），
∴木地板的费用为（元）， --------------------------------------------------4分
　　　∴该房间涂水泥漆及铺木地板共需材料费元．-------------------5分
（Ⅱ）∵平面，又平面 ∴，
要使装饰线平面，须且只须，-----------------------------------9分
设，由知，，
∴，又，
∴， -------------------------------------------------11分
　　　　∴当米时，装饰线与平面垂直．-----------------------------------12分
22．本题考查函数与导数基础知识及其应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、特殊与一般思想及化归与转化思想．满分14分．
解：（Ⅰ），，
∴， ----------------------------------------------2分
依题意得 ，∴． ------------------------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，
要证，只须证，
设， --------------------------------4分
则，
令，得， ------------------------------------------------------6分
列表得

递减
极小
递增
∴时，取极小值也是最小值，且，
∴，∴. ----------------------------------------------8分
（Ⅲ）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，
∵，∴，
∵，，由得，，
即，∴，---------------------9分
∵的定义域为，
当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；---10分
当时，令 ，∵，，
∴，即，-----------------------------------11分
下面研究满足此等式的值的个数：
（方法一）由得 ，
设函数，，
令得，当时，递增；
当时，递减；
所以，，又时，，
时，，
所以，函数的图象与轴有且仅有两个交点，即符合题意的值有且仅有两个．
综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，
且符合题意的值有且仅有两个．---------------------------------------14分

(方法二)设，则，且，方程化为，
分别画出和的图象，因为时，，
由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点（且均符合），
所以方程有且只有两个解．
综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，
且符合题意的值有且仅有两个．------------------------------------------14分

泉州市2012届普通中学高中毕业班质量检查
文 科 数 学
一、选择题：
1．复数
A． B． C． D．
2．已知集合，，则为
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
4．下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是
A． B． C． D．
5．下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是
A． B． C． D．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入的值为，那么输出的结果是
A．
B．
C．
D．
7．条件“”，条件“”，则是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是
A． B．
C． D．
甲

乙

9
8
8
3
3
7
2
1
0
9
●
9

9．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为
A． B． C． D．
10．已知正六边形ABCDEF的边长为1，则的值为
A． B． C ． D．
11．如图，边长为的正方形组成的网格中，设椭圆、、的离心率分别为、、，则
A． B．
C． D．

12．已知函数在区间上均有意义，且、是其图象上横坐标分别为、的两点. 对应于区间内的实数，取函数的图象上横坐标为的点，和坐标平面上满足的点，得.对于实数，如果不等式对恒成立，那么就称函数在上“k阶线性近似”．
若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：
13．已知向量，，若，则的值为 ．
14．若角的终边经过点，则的值是 ．
15．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 ．
16. 设圆：，记为圆内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则的所有可能值为__________________.

三、解答题：
17．等比数列的各项均为正数，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18． 如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明.
19．设的三个内角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角Ａ的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
20．某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170 ~175cm的男生人数有16人．

图（1） 图（2）
（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?

≥170cm
<170cm
总计
男生身高

女生身高

总计

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
参考公式：
参考数据：

0.025
0.010
0.005
0.001

5.024
6.635
7.879
10.828

21．如图，点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
（Ⅰ）若点到直线的距离为，求直线的方程；
（Ⅱ）设点A是直线与抛物线在第一象限的交点．点B是以点为圆心,为半径的圆与轴负半轴的交点．试判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．
22．设函数.
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；
（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.
泉州市2012届普通中学高中毕业班质量检查
文科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1． A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．A
7． B 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.
13．5 ； 14． ； 15．； 16．、、12.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.
解：（Ⅰ）设数列的公比为，则
………………………………2分
解得（负值舍去）. ………………………………4分
所以．………………………………6分
（Ⅱ）因为，，
所以，………………………………8分
，
因此数列是首项为2，公差为的等差数列，………………………………10分
所以．………………………………12分
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.满分12分.
解：（Ⅰ）,………………………………2分
又，………………………………4分
面．………………………………5分
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，面．………………………………6分
证明如下：当点F为BC的中点时，
在图（1）中，分别是，的中点，
所以，………………………………8分
即在图（2）中有．………………………………9分
又，，………………………………11分
所以面．………………………………12分
19．本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．
解法一：（Ⅰ）由已知有，………………………………2分
故，.………………………………4分
又，所以.………………………………5分
（Ⅱ）由正弦定理得，……………………7分
故.………………………………8分

．………………………………10分
所以.
因为，所以.
∴当即时，取得最大值，取得最大值４. …………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理得，，………………………………8分
所以，即，………………………………10分
，故.
所以，当且仅当，即为正三角形时，取得最大值４. …………12分
20．本小题主要考查频率分布直方图、列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm的男生的频率为，
设男生数为，则，得.………………………………………4分
由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.
（Ⅱ）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：

≥170cm
<170cm
总计
男生身高
30
10
40
女生身高
4
36
40
总计
34
46
80
…………………………………………6分
，………………………………………7分
所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关；…………………………………………8分
（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有人．
按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人. ………………………9分
设男生为，女生为.
从5人任选3名有:
,共10种可能，………………………………10分
3人中恰好有一名女生有:共6种可能，………………………11分
故所求概率为．…………………………………………12分
21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点，………………………………………1分
当直线的斜率不存在时，即不符合题意. ……………………………2分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即…………3分
所以，，解得：…………5分
故直线的方程为：，即.…………6分
（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分
（法一）：设，则.…………8分
因为所以.…………9分
所以直线的方程为：，整理得:
把方程（1）代入得：，…………10分
，
所以直线与抛物线相切．…………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．