高三数学不等式.pptx

1.1.理解不等式的概念、性质，掌握不等式的解法理解不等式的概念、性质，掌握不等式的解法.2.2.掌握两个、三个正数的算术平均数不小于几何平均掌握两个、三个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理，并会简单应用数的定理，并会简单应用.3.3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.4.4.会解简单的绝对值不等式会解简单的绝对值不等式.5.5.熟练掌握一元二次不等式（组）的解法熟练掌握一元二次不等式（组）的解法.6.6.熟练掌握二元二次不等式组的解法熟练掌握二元二次不等式组的解法.7.7.能准确绘画不等式组所表示的平面区域，会求目标能准确绘画不等式组所表示的平面区域，会求目标函数的最大（小）值及确定最优解函数的最大（小）值及确定最优解.学案学案8 8 不等式不等式1.1.（20092009湖南）若湖南）若loglog2 2a a0,0,则则 ()()A.A.a a1,1,b b0 B.0 B.a a1,1,b b0 0 C.0 C.0a a1,1,b b0 D.00 D.0a a1,1,b b0 0解析解析 由题意可知，由题意可知，0 0a a1,1,b b0.0.D D2.(20092.(2009全国全国)不等式不等式 的解集为的解集为 ()()A.A.x x|0|0 x x11x x|x x11 B.B.x x|0|0 x x11 C.C.x x|-1|-1x x00 D.D.x x|x x0 0 解析解析 由题意可知，由题意可知，D D3.(20083.(2008全国全国)设变量设变量x x,y y满足约束条件满足约束条件:则则z z=x x-3-3y y的最小值为的最小值为 （）A.-2 B.-4 C.-6 D.-8A.-2 B.-4 C.-6 D.-8解析解析 作出可行域如图所示作出可行域如图所示.可知当可知当x x-3-3y y=z z经过点经过点A A(-2,2)(-2,2)时时,z z有最小值，有最小值，此时此时z z的最小值为的最小值为-2-32=-8.-2-32=-8.D D4.(20094.(2009北京北京)若函数若函数f f(x x)=)=则不等式则不等式|f f(x x)|)|的解集为的解集为_._.解析解析不等式不等式|f f(x x)|)|的解集为的解集为 x x|-3|-3x x1.1.-3,1-3,1题型一题型一 不等式的解法不等式的解法【例例1 1】解不等式解不等式axax2 2-(2-(2a a+1)+1)x x+20.+20.解解 当当a a=0=0时，由题意可知，时，由题意可知，原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x2.2.当当a a00时，原不等式可化为时，原不等式可化为:即方程即方程axax2 2-(2-(2a a+1)+1)x x+2=0+2=0的两根分别为的两根分别为 x x1 1=2,=2,x x2 2=则则)当当a a 时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x2 2或或x x .)当当0 0a a 时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x 或或 x x2.2.)当当a a=时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x2.2.)当当a a0 0时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x x2.2.【探究拓展探究拓展】在解含参数不等式时在解含参数不等式时,应首先对参数进应首先对参数进 行分类讨论行分类讨论,但对分类标准的把握既是重点也是难点但对分类标准的把握既是重点也是难点,特别是变量的系数含有参数特别是变量的系数含有参数,一定要讨论参数是否为一定要讨论参数是否为 零，然后再进行求解，切记零，然后再进行求解，切记.变式训练变式训练1 1 解关于解关于x x的不等式的不等式解解 原式可化为原式可化为 当当k k1 1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(k k,1)(2,+);,1)(2,+);当当k k=1=1时时,原不等式的解集为（原不等式的解集为（2 2，+）；）；当当1 1k k2 2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(1,(1,k k)(2,+);)(2,+);当当k k=2=2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(1,2)(2,+);(1,2)(2,+);当当k k2 2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为(1,2)(1,2)(k k,+).,+).题型二题型二 利用函数的性质求参数的取值范围利用函数的性质求参数的取值范围【例例2 2】若不等式若不等式x x2 2-axax+10+10对于一切对于一切x x(0,2(0,2成立成立,求求a a的取值范围的取值范围.(1)(1)若题中区间改为若题中区间改为x x(0,(0,求求a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)若题中区间改为若题中区间改为x x-2,2,-2,2,求求a a的取值范围；的取值范围；(3)(3)若题中区间改为若题中区间改为a a-2,2,-2,2,求求x x的取值范围的取值范围.解解 原不等式可化为原不等式可化为 所以所以a a的取值范围是的取值范围是(-,2.(-,2.(1)(1)因为因为则函数则函数f f(x x)在区间在区间(0,(0,上是减函数，上是减函数，所以所以f f(x x)minmin=所以所以a a的取值范围是的取值范围是(-,.(-,.(2)(2)因为因为x x-2,2,-2,2,而当而当x x=0=0时时,原式为原式为0 02 2-a a0+100+10恒成立，此时恒成立，此时a aRR；当当x x00时时,因为因为 则当则当x x(0,2(0,2时时,知知a a(-,2,(-,2,所以当所以当x x-2,0)-2,0)时时,因为因为由函数的单调性可知，由函数的单调性可知，所以所以f f(x x)maxmax=f f(-1)=-2(-1)=-2，所以，所以a a-2,+),-2,+),综上可知综上可知,a a的取值范围是的取值范围是-2,2.-2,2.(3)(3)因为因为a a-2,2,-2,2,则可把原式看作关于则可把原式看作关于a a的函数，的函数，即即g g(a a)=-)=-xaxa+x x2 2+10,+10,由题意可知由题意可知,解之得解之得x xRR，所以所以x x的取值范围是的取值范围是(-,+).(-,+).【探究拓展探究拓展】本题考查了不等式恒成立问题，在给定本题考查了不等式恒成立问题，在给定 自变量的取值范围时，解有关不等式问题时自变量的取值范围时，解有关不等式问题时,往往采往往采 用分离变量或适当变形用分离变量或适当变形,或变换主元或变换主元,或构造函数或构造函数,再再 利用函数的单调性或基本不等式进行求解，在解答利用函数的单调性或基本不等式进行求解，在解答 时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构,选取选取 合适的方法去解答合适的方法去解答.变式训练变式训练2 2 已知不等式已知不等式x x2 2+pxpx+1+12 2x x+p p.(1)(1)若当若当22x x44时时,不等式恒成立不等式恒成立,求求p p的范围；的范围；(2)(2)若当若当-2-2p p22时时,不等式恒成立不等式恒成立,求求x x的范围的范围.解解 (1)(1)原不等式可化为原不等式可化为p p(x x-1)-1)-x x2 2+2+2x x-1,-1,又因为又因为22x x4,4,所以所以p p1-1-x x,所以所以p p的取值范围是的取值范围是(-1,+).(-1,+).(2)(2)原式可看作关于原式可看作关于p p的函数的函数 f f(p p)=()=(x x-1)-1)p p+x x2 2-2-2x x+1+10,0,又因又因-2-2p p2,2,所以所以 解之得解之得x x(-,-1)(3,+).(-,-1)(3,+).题型三题型三 线性规划问题线性规划问题【例例3 3】设二元一次不等式组设二元一次不等式组 所表示的所表示的 平面区域为平面区域为MM,使函数使函数y y=a ax x(a a0,0,a a1)1)的图象过区的图象过区 域域MM的的a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 因为二元一次不等式组因为二元一次不等式组 所表示的平面区域为所表示的平面区域为MM,如图如图 阴影部分且左、右两端点坐标分别为阴影部分且左、右两端点坐标分别为P P(1,9),(1,9),Q Q(3,(3,8),8),由函数由函数y y=a ax x的图象经过区域的图象经过区域MM,如图所示如图所示.则由图象可知则由图象可知所以所以a a的取值范围是的取值范围是2,9.2,9.答案答案 2,92,9【探究拓展探究拓展】在求解线性规划问题时在求解线性规划问题时,一定要准确画一定要准确画 出约束条件下的可行域出约束条件下的可行域,再根据目标函数的要求求出再根据目标函数的要求求出 相关的数据，进而解答该题相关的数据，进而解答该题.变式训练变式训练3 3 (2008 (2008安徽安徽)若若A A为不等式组为不等式组 表示的平面区域表示的平面区域,则当则当a a从从-2-2连续变化到连续变化到1 1时时,动直线动直线 x x+y y=a a扫过扫过A A中的那部分区域的面积为中的那部分区域的面积为_._.解析解析 如图所示如图所示,区域区域A A表示的表示的 平面区域为平面区域为OBCOBC内部及其边内部及其边 界组成的图形界组成的图形,当当a a从从-2-2连续变连续变 化到化到1 1时扫过的区域为四边形时扫过的区域为四边形 ODECODEC所围成的区域所围成的区域.S S四边形四边形ODECODEC=S SOBCOBC-S SBDEBDE 题型四题型四 不等式的综合应用不等式的综合应用【例例4 4】(2009(2009全国全国)设函数设函数f f(x x)=)=x x2 2+a aln(1+ln(1+x x)有两有两 个极值点个极值点x x1 1、x x2 2,且且x x1 1x x2 2.(1)(1)求求a a的取值范围的取值范围,并讨论并讨论f f(x x)的单调性；的单调性；(2)(2)证明证明:(1)(1)解解 令令g g(x x)=2)=2x x2 2+2+2x x+a a,其对称轴为其对称轴为x x=由题意知由题意知x x1 1、x x2 2是方程是方程g g(x x)=0)=0的两个均大于的两个均大于-1-1的不相的不相 等的实根，等的实根，其充要条件为其充要条件为当当x x(-1,(-1,x x1 1)时，时，f f(x x)0,0,f f(x x)在在(-1,(-1,x x1 1)内为增函数；内为增函数；当当x x(x x1 1,x x2 2)时时,f f(x x)0 0，f f(x x)在在(x x1 1,x x2 2)内为减函数；内为减函数；当当x x(x x2 2,+),+)时时,f f(x x)0,0,f f(x x)在在(x x2 2,+),+)内为增函数内为增函数.(2)(2)当当x x(x x2 2,+),+)时时,f f(x x)0,0,则则h h(x x)=2)=2x x-2(2-2(2x x+1)ln(1+1)ln(1+x x)-2)-2x x=-2(2=-2(2x x+1)ln(1+1)ln(1+x x).).当当x x(,0)(,0)时，时，h h(x x)0,0,h h(x x)在在 ,0),0)上单调递增；上单调递增；当当x x(0,+)(0,+)时，时，h h(x x)0,0,h h(x x)在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减.【探究拓展探究拓展】在确定函数的单调区间时，往往需要对在确定函数的单调区间时，往往需要对 所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决,不等式不等式 的证明常常借助构造函数的证明常常借助构造函数,利用函数的单调性进行证利用函数的单调性进行证 明，从而使问题的解决变得简单、明快明，从而使问题的解决变得简单、明快.变式训练变式训练4 4 (2009 (2009江西江西)设函数设函数f f(x x)=)=(1)(1)求函数求函数f f(x x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)若若k k0,0,求不等式求不等式f f(x x)+)+k k(1-(1-x x)f f(x x)0 0的解集的解集.解解 (1)(1)由由f f(x x)=0,)=0,得得x x=1.=1.因为当因为当x x0 0时时,f f(x x)0;0;当当0 0 x x1 1时时,f f(x x)0;0;当当x x1 1时时,f f(x x)0;0;所以所以f f(x x)的单调增区间是的单调增区间是1,+)1,+)；单调减区间是单调减区间是(-,0),(0,1.(-,0),(0,1.(2)(2)由由f f(x x)+)+k k(1-(1-x x)f f(x x)得得(x x-1)(-1)(kxkx-1)-1)0.0.故当故当0 0k k1 1时时,解集是解集是 x x|1|1x x;当当k k=1=1时时,解集是解集是;当当k k1 1时时,解集是解集是 x x|x x1.1.【考题再现考题再现】(2009(2009海南海南)已知函数已知函数f f(x x)=)=x x3 3-3-3axax2 2-9-9a a2 2x x+a a3 3.(1)(1)设设a a=1,=1,求函数求函数f f(x x)的极值；的极值；(2)(2)设设a a 且当且当x x1,41,4a a 时时,|,|f f(x x)|12)|12a a恒成立恒成立,试确定试确定a a的取值范围的取值范围.【解析示范解析示范】解解 (1)(1)当当a a=1=1时时,对函数对函数f f(x x)求导数，求导数，得得f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6x x-9.1-9.1分分 令令f f(x x)=0,)=0,解得解得x x1 1=-1,=-1,x x2 2=3.2=3.2分分 列表讨论列表讨论f f(x x),),f f(x x)的变化情况：的变化情况：所以，所以，f f(x x)的极大值是的极大值是f f(-1)=6,(-1)=6,极小值是极小值是f f(3)=-26.5(3)=-26.5分分(2)(2)f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6axax-9-9a a2 2的图象是一条开口向上的抛物的图象是一条开口向上的抛物 线线,关于关于x x=a a对称对称.若若 a a1,1,则则f f(x x)在在1,41,4a a 上是增函数，上是增函数，6 6分分 从而从而f f(x x)在在1,41,4a a 上的最小值是上的最小值是f f(1)=3-6(1)=3-6a a-9-9a a2 2,最大值是最大值是f f(4(4a a)=15)=15a a2 2.由由|f f(x x)|12)|12a a,x x(-,-1(-,-1)-1-1(-(-1,3)1,3)3 3(3,+(3,+)f f(x x)+0 0-0 0+f f(x x)极大极大值值6 6极小极小值值-26-26得得-12-12a a33x x2 2-6-6axax-9-9a a2 21212a a,7,7分分于是有于是有f f(1)=3-6(1)=3-6a a-9-9a a2 2-12-12a a,且且f f(4(4a a)=15)=15a a2 21212a a.由由f f(1)-12(1)-12a a,得得 a a1,1,由由f f(4(4a a)12)12a a,得得00a a 9 9分分所以所以 1010分分若若a a1,1,则则|f f(a a)|=12)|=12a a2 21212a a.故当故当x x1,41,4a a 时时,|,|f f(x x)|12)|12a a不恒成立不恒成立.11.11分分所以使所以使|f f(x x)|12)|12a a (x x1,41,4a a)恒成立的恒成立的a a的取值的取值范围是范围是 1212分分1.1.在解不等式时在解不等式时,要十分注意不等式性质的灵活利用要十分注意不等式性质的灵活利用,还应注意观察、分析所给不等式的形式和结构还应注意观察、分析所给不等式的形式和结构,据此据此 选取适当的方法和策略选取适当的方法和策略,进行有效地变形与整合可迅进行有效地变形与整合可迅 速得出结论速得出结论.在利用基本不等式解决有关问题时在利用基本不等式解决有关问题时,应应 特别注意深刻领会积、和、平方和之间的特殊关系特别注意深刻领会积、和、平方和之间的特殊关系,即即 (a a,b b都是正实数都是正实数););要注意主动要注意主动 创设应用基本不等式的条件和环境创设应用基本不等式的条件和环境,仔细观察、分析仔细观察、分析 所给不等式的形式和结构所给不等式的形式和结构,合理拆分、积极配凑因式合理拆分、积极配凑因式 是常用的解题技巧是常用的解题技巧,而拆分与配凑的核心是使等号成而拆分与配凑的核心是使等号成 立立;牢记牢记“和定积最大和定积最大,积定和最小积定和最小”结论结论,严格遵循严格遵循“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的原则，切记验证等号的原则，切记验证等号.2.2.在解答不等式的有关问题，还经常根据所给不等式在解答不等式的有关问题，还经常根据所给不等式 的结构和形式的结构和形式,通过适当转化构造出满足题意的函通过适当转化构造出满足题意的函 数，利用函数的单调性去解答或证明数，利用函数的单调性去解答或证明;通过适当转通过适当转 化构造出满足题意的图形化构造出满足题意的图形,利用数形结合的思想去解利用数形结合的思想去解 答或证明答或证明.要掌握这种转化与划归的数学思想要掌握这种转化与划归的数学思想.3.3.在解一元二次不等式时，要把二次方程、二次函在解一元二次不等式时，要把二次方程、二次函 数、二次不等式三者有机的结合起来，三者相辅相数、二次不等式三者有机的结合起来，三者相辅相 成成,相得益彰相得益彰,二次函数图象是三者相互联系的纽带二次函数图象是三者相互联系的纽带;若二次项系数是关于参变量若二次项系数是关于参变量a a的代数式的代数式f f(a a)时时,需对需对 f f(a a)=0,)=0,f f(a a)0)0分类进行讨论分类进行讨论,当当f f(a a)0)0时时,又需对又需对 判别式判别式,分分0,=0,0,=0,0 0进行讨论进行讨论,在写出不在写出不 等式的解集时等式的解集时,有时需要通过比较二次函数对应方程有时需要通过比较二次函数对应方程 的根来分类的根来分类,最后确定出分类标准；若不等式中含有最后确定出分类标准；若不等式中含有 指数或对数，则还需对其底数进行分类讨论指数或对数，则还需对其底数进行分类讨论.最后还最后还 再适当整合，确定出满足题意的解集再适当整合，确定出满足题意的解集.4.4.线性规划实质上用的是线性规划实质上用的是“图解法图解法”,是数形结合思是数形结合思 想的一种体现想的一种体现,即将最值问题直观简便地寻找出来即将最值问题直观简便地寻找出来,是一种较快的求最值的方法；在解决线性规划问题是一种较快的求最值的方法；在解决线性规划问题 时时,要精确画出约束条件下的可行域要精确画出约束条件下的可行域,明确目标函数明确目标函数 的几何意义是截距还是斜率的几何意义是截距还是斜率,根据图形确定目标函数根据图形确定目标函数 取到最值的位置取到最值的位置,求出最值并确定最优解求出最值并确定最优解,特别地，特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行 时时,最优解可能有无数多个最优解可能有无数多个;线性规划的最优解线性规划的最优解,若无若无其它特殊要求其它特殊要求,一般为边界点，如果实际问题为整数一般为边界点，如果实际问题为整数解解,而若用图象法得到的为非整数解而若用图象法得到的为非整数解(近似解近似解),),应作适应作适当调整当调整,在近似解附近寻找到此时目标函数所在直线在近似解附近寻找到此时目标函数所在直线距离最近的整数点距离最近的整数点,即为所求即为所求;还需对已取到的目标函还需对已取到的目标函数的最值及最优解进行审查数的最值及最优解进行审查,是否与客观实际相符是否与客观实际相符,再再进而作答进而作答.一、选择题一、选择题1.(20091.(2009山东山东)在在R R上定义运算上定义运算:a ab b=abab+2+2a a+b b,则则 满足满足x x(x x-2)-2)0 0的实数的实数x x的取值范围为的取值范围为 （）A.(0,2)B.(-2,1)A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)解析解析 根据定义根据定义x x(x x-2)=-2)=x x(x x-2)+2-2)+2x x+(+(x x-2)=-2)=x x2 2+x x-2-2 0,0,解得解得-2-2x x1,1,所以所求的实数所以所求的实数x x的取值范围为的取值范围为(-2,1).(-2,1).B B2.(20092.(2009天津天津)设设x x,y yR,R,a a1,1,b b1,1,若若a ax x=b by y=3,=3,a a+b b=则则 的最大值为的最大值为 （)A.2 B.C.1 D.A.2 B.C.1 D.解析解析 因为因为a ax x=b by y=3,=3,所以所以x x=log=loga a3,3,y y=log=logb b3,3,3.(20083.(2008全国全国)设奇函数设奇函数f f(x x)在在(0,+)(0,+)上为增函上为增函 数数,且且f f(1)=0,(1)=0,则不等式则不等式 的解集为的解集为 ()()A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)C C解析解析 f f(x x)为奇函数为奇函数,f f(x x)=-)=-f f(-(-x x),),因为因为f f(x x)是奇函数且在是奇函数且在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,故故f f(x x)在在(-,0)(-,0)上是增函数上是增函数.由由f f(1)=0(1)=0知知f f(-1)=0,(-1)=0,答案答案 D D4.(20094.(2009海南海南(宁夏宁夏)理理)设设x x,y y满足满足 则则z z=x x+y y ()()A.A.有最小值有最小值2 2，最大值，最大值3 3 B.B.有最小值有最小值2 2，无最大值，无最大值 C.C.有最大值有最大值3 3，无最小值，无最小值 D.D.既无最小值，也无最大值既无最小值，也无最大值解析解析 如图作出不等式组表示的如图作出不等式组表示的 可行域可行域,由于由于z z=x x+y y的斜率大于的斜率大于 2 2x x+y y=4=4的斜率的斜率,因此当因此当z z=x x+y y过点过点 (2,0)(2,0)时时,z z有最小值有最小值,但但z z没有最没有最 大值大值.B B5.5.已知函数已知函数 则不等式则不等式x x+(+(x x+1)+1)f f(x x+1)1+1)1的解集是的解集是 ()()A.A.x x|-1|-1x x B.B.x x|x x11 C.C.x x|x x D.D.x x|解析解析 (1)(1)当当x x+10+10，即，即x x-1-1时，时，f f(x x+1)=-(+1)=-(x x+1)+1=-+1)+1=-x x.原不等式可化为原不等式可化为x x+(+(x x+1)(-+1)(-x x)1.)1.解解得，得，-x x2 21,1,x xRR，此时不等式的解集为此时不等式的解集为 x x|x x-1.-1.(2)(2)当当x x+10,+10,即即x x-1-1时时,f f(x x+1)=+1)=x x,原不等式可化为原不等式可化为x x+(+(x x+1)+1)x x1.1.解解得得 -1-1x x综上可知原不等式的解集为综上可知原不等式的解集为 x x|x x-10,0,axax+10.+10.当当a a22时时,在区间在区间(0,+)(0,+)上上,f f(x x)0,0,f f(x x)的单调增区间为的单调增区间为(0,+).(0,+).当当0 0a a2 2时时,由由f f(x x)0,0,解得解得x x由由f f(x x)0,0,解得解得x xf f(x x)的单调减区间为的单调减区间为(0,),(0,),单调增区间为单调增区间为(,+).(,+).(3)(3)当当a a22时时,由由(2)(2)知知,f f(x x)的最小值为的最小值为f f(0)=1;(0)=1;当当0 0a a2 2时时,由由(2)(2)知，知，f f(x x)在在x x=处取得最小值处取得最小值 f f()()f f(0)=1,(0)=1,综上可知，若综上可知，若f f(x x)的最小值为的最小值为1,1,则则a a的取值范围是的取值范围是2,+).2,+).返回