高三数学模拟卷及答案.doc

高级中学高三数学（理科）试题
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（   ）
A、[﹣1，1] B、[﹣2，2] C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C
解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}， x2≤1⇒﹣1≤x≤1，则
B={x∈Z|x2≤1}={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}；故选：C．
2、若复数 （a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（  ）
A、3 B、﹣3 C、0 D、 【答案】A
解：∵ = 是纯虚数，则 ，解得：a=3．故选A．
3、命题“∃x 0∈R， ”的否定是（   ）
A、∀ x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B、∀ x∈R，x2﹣x﹣1＞0
C、∃ x0∈R， D、∃ x0∈R， 【答案】A
解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“∃x0∈R， ”的否定为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故选：A
4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（   ） A、18 B、20 C、21 D、25 【答案】C
解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+ d，解得d= ． ∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29× =21．故选：C．
5、已知二项式的展开式中常数项为32，则a=（   ）
A、8 B、﹣8 C、2 D、﹣2【答案】D
解：二项式（x﹣ ）4的展开式的通项为Tr+1=（﹣a）rC4rx4﹣ r，令4﹣ =0，解得r=3，∴（﹣a）3C43=32，∴a=﹣2，故选：D
6、函数y=lncosx（﹣ ＜x＜ ）的大致图象是（   ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 解：在（0， ）上，t=cosx是减函数，y=lncosx是减函数，且函数值y＜0， 故排除B、C；在（﹣ ，0）上，t=cosx是增函数，y=lncosx是增函数，且函数值y＜0，故排除D，故选：A．
7、 若数列满足，且与的等差中项是5， 等于( B ) （A） （B） （C） （D）
8、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）
A、1 B、 C、 D、
【答案】B
解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，
四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，
∴四棱锥的体积是 ．故选B．
9、设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则 的最小值为（  ）
A、8 B、4 C、2 D、1 【答案】C
解：∵2是2a与2b的等比中项， ∴2a•2b=4，∴a+b=2， （a+b）=1，
而a＞0，b＞0，∴ =（ ）（ + ）=1+ + ≥1+2 =2，
当且仅当a=b=1时取等号．故选：C．
10、若函数f（x）=2sin（ ）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（ + ）• =（   ）
A、﹣32 B、﹣16 C、16 D、32 【答案】D
解：由f（x）=2sin（ ）=0可得 ∴x=6k﹣2，k∈Z，∵﹣2＜x＜10
∴x=4即A（4，0） 设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（ + ）• =
（x1+x2 ， y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D
11、已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（   ）
A、（1，2）B、（2，+∞）C、（1， ）D、（ ，+∞）
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°， 设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，
又上述渐近线的方程为y= x，则 ＜1，又e= ，∴1＜e＜ ，双曲线的离心率e的取值范围（1， ），故选C．
12、已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（   ） A、2 B、3 C、4 D、5【答案】B
解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立， 得：k＜ ，（x＞1），
令h（x）= ，（x＞1），则h′（x）= ，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：
∴g（x）存在唯一的零点，
又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）递减，
在（x0 ， +∞）递增，而3＜h（3）= ＜4，
＜h（4）= ＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．
二、 填空题：（每小题5分，共20分）
13、若x，y满足 则z=x+2y的最大值为________． 【答案】2
解：由足约束条件 作出可行域如图，
由z=x+2y，得y=﹣ + ．
要使z最大，则直线y=﹣ + 的截距最大，
由图可知，当直线y=﹣ + ．
过点A时截距最大．
联立 ，解得 ，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．
14、已知向量 =（1，2）， ⊥（ + ），则向量 在向量 方向上的投影为________．
【答案】﹣
解：由 ⊥（ + ），则 •（ + ）=0，即 2+ • =0，则 • =﹣丨 丨2 ，
向量 在向量 方向上的投影为 =﹣丨 丨=﹣ =﹣ ，故答案为：﹣ ．
15、斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k=________． 【答案】2
【解析】【解答】解：∵S△AOF=2S△BOF ， ∴yA=﹣2yB ， ①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m②，yAyB=﹣4③由①②③可得m= ，∴k=2 。
16、定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 .
【解析】不妨设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即．因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即.
三、解答题：
17、（本小题满分12分）已知函数 （其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ． (1)求y=f（x）的单调递增区间；
(2) 在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．
（1） 解：∵ ，
= ，∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为 ，
∴T=π，∴ ，∴ω=1，∴ ．∵ 得：
，∴函数f（x）单调增区间为 ；
（2）解：∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，
得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴ ，
∵0＜C＜π，∴ ，∴ ，∴ ．∴ ，
根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，此时 ，即 ，∴ ，∴△ABC为等边三角形。
18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个． （Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，
事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P =（1﹣P（A））3=0.729．
P（B）=1﹣P（ ）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．
（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：
X
30
36
42
60
P
0.1
0.44
0.36
0.1
E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．
19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB1上的点，且BE⊥平面ACB1 ．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C；
（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣C的平面角的余弦值．
证明：∵在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AC，∵直角三角形边满足AC=BC，∴AC⊥BC，又BC∩BB1 ， ∴AC⊥平面BB1C．
（Ⅱ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，∴2AC2=4，解得AC=BC= ，
B（0， ，0），A（ ），B1（0， ，2），C（0，0，0），
=（﹣ ， ，2）， = ，设平面BAB1的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x= ，得 =（1，1，0），
，设平面AB1C的法向量 =（a，b，c），
，取b= ，得 =（0， ，1），设二面角B﹣AB1﹣C的平面角为θ，cosθ=cos＜ ＞= =
20、已知A（x0 ， 0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足 ．
(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
(2)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
(3)直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2 ，
使△ABE的面积为 ？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．
（1）解：因为 ，所以 ，
所以 ，又因为|AB|=1，所以 ，即： ，
即 ，所以椭圆的标准方程为 ．
（2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程 ，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得 （*），
设P（x1 ，y1），Q（x2 ，y2），则   （1）
以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ， ，即x1x2+y1y2=0，
也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，
将（1）式代入，得 ﹣ +4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，
解得 ，满足（*）式，所以 ．所以直线方程为y=± x+2
（3）解：由方程组 ，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则
所以 ，
因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），所以S△ABE= |EF|•|y1﹣y2|= ×2× =
令= =2 ，则 不成立，故不存在直线l满足题意。
21、已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．
(1)若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；
(2)若b=0，且a＞﹣2e2 ， 求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
(3)设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
（1）解：a=﹣2，b=﹣3时，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），
，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；
（2）解：因为b=0，所以f（x）=alnx+x2
，x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，
（i） 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1；
（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，
，x∈[1，e]，
当 时，f'（x）=0， ，
当 时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当 时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故 ；
（3）解：b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x， 即alnx+x2≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而 （x∈[1，e]），令 （x∈[1，e]），又 ，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）。
请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22、（本题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．
（1）解：由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．
（2）解：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0．
由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1 ， t2是上述方程的两根，
所以 又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|== ．所以|PA|+|PB|的最小值为 ．
23（本题满分10分）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若∀ x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，求实数t的取值范围．
解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|= ，
当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞ ，∴ ＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞  或x＜﹣6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣ t，即2t2﹣7t+6≤0，求得 ≤t≤2。