高二数学双曲线知识点及经典例题分析.doc

高二数学双曲线知识点及经典例题分析
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的：
（2）焦点在y轴上的：
（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2
4. 双曲线的几何性质：

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。
e越大，双曲线的开口就越开阔。

5．若双曲线的渐近线方程为：
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

【典型例题】
例1. 选择题。

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在x轴上的双曲线

则△F1PF2的面积为（ ）

例2.

例3. 已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且
，求顶点A的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线的双曲线的标准方程。

例5.
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（ ）
A. B. （0，2） C. D. （1，2）
2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2或 B. 2 C. D.
3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

综合试题
1. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3.已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围

双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线（，）的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线 上，且，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，△为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）

6．已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
8.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
9.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B）（C） （D）
10．已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
12．已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
13．已知双曲线（）的一条渐近线为，则 ．
14．设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 ．
15．平面直角坐标系中，双曲线：（，）的渐近线与
抛物线：（）交于点，，，若△的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
16．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点 到直线的距离大于恒成立，则是实数的最大值为 ．