高二数学椭圆知识点与例题.doc

高二数学《椭圆曲线知识点与例题》
1 椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定
（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）
由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)
2.根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴
设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.
则，又设M与距离之和等于()（常数）

，

，
化简，得 ，
由定义,
令代入，得 ，
两边同除得
此即为椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中
公式推导：
平面内两个定点之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程.
选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法.
解：建立直角坐标系,使轴经过点，并且点O与线段的中点重合.
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M与的距离的和等于常数6，则的坐标分别是(-1，0)，(1，0).
∵
∴.
将这个方程移项后，两边平方，得

两边再平方，得：
整理得：
两边除以72得：.
说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.
例题 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
（≠0）（特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件

基本练习：
2.椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为 （ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
答案：B
3.设∈(0,)，方程表示焦点在轴上的椭圆，则∈
A.(0, B.(,) C.(0,) D.［,)
答案：B
4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
分析：将方程整理，得，据题意 ，解之得0＜k＜1.
5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.
分析：据题意，解之得0＜m＜
6.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.
分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=×39=26.
根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 (≠0)
例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）
解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 ，即
所以点的轨迹是椭圆，方程是
例2 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为
因为点为椭圆上的点，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程
解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为
因为，
所以有 ，即
所以点的轨迹方程是
例4 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
解 已知圆可化为：
圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：
练习：
1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.
选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.
解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.
∵P在圆上，∴，即.
∴点M的轨迹是一个椭圆
2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.
选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.
解：设顶点A的坐标为.
依题意得 ，
∴顶点A的轨迹方程为 .
说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.
3．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求.
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4
∴， 2c=2， ∴ｂ＝
∴椭圆的方程为.
（２）设∠，则∠＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：

整理得： 故
.
说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答
椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

2．椭圆的准线方程
对于，相对于左焦点对应着左准线；
相对于右焦点对应着右准线
对于，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线
准线的位置关系：
焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的焦半径公式：
设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率
推导方法一： ，
，

即（左焦半径）,（右焦半径）
推导方法二：
，

同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：
（ 其中分别是椭圆的下上焦点）
注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加
例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．
解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，
则 ＝|OA|－|O|＝|A|＝6371＋439＝6810
＝|OB|＋|O|＝|B|＝6371＋2384＝8755
解得＝7782.5，＝972.5
.
卫星运行的轨道方程为
例2 椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程
解：由椭圆的焦半径公式，得
，解得，从而有
所求椭圆方程为
练习：
1．P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P
解：由题意，得＝64，
P的坐标为，，，
2．椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证
证明：由题意，得 ＝2
3．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
证明：设椭圆方程为,()，
焦半径是圆的直径，
则由知，两圆半径之差等于圆心距，
所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
椭圆的参数方程

1.例题：如图，以原点O为圆心，分别以 ()为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M．求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程
解答：设A的坐标为，取 为参数，那么

也就是
这就是所求点A的轨迹的参数方程
将变形为
发现它可化为，说明A的轨迹是椭圆
椭圆的参数方程： 注意：角不是角

例2 已知椭圆上的点P(),求的取值范围.
解：＝
例3 已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MA⊥MO得

化简得
所以
练习：求椭圆的内接矩形面积的最大值
答案：