等比数列的性质.doc

教学内容

【知识结构】
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0
2° 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3° q= 1时，{an}为常数
2.等比数列的通项公式1:
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
6．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，
则
7． 等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, {}是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;

【热身练习】
求下列各等比数列的通项公式：
1.=-2, =-8 2.=5, 且2=-3 3.=5, 且
解：1.

2.
3.
以上各式相乘得：

【例题精讲】
例1 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：

它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.

例2 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
求证： 也成等比数列
证明：由题设：b2=ac 得：

∴ 也成等比数列

例3 (1) 已知{}是等比数列，且, 求
(2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，成等比数列，求
解：(1) ∵{}是等比数列，
∴ ＋2＋＝(＋)＝25,
又>0, ∴＋＝5;
(2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,
又a, 1, c成等比数列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1,
当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，
∴ ac＝－1,
∴ .

例4 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列
（2），即：
（3），∵，∴
∴且，
∴，（第项）
例5 设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为
证一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴成等比数列
设公比为，则，代入

∵，即，即
证二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴

例6．设为数列的前项和，，，其中是常数．
（1） 求及；
（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（1）当，
（）
经验，（）式成立，
（2）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，

例7在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立
答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；
解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。

【备选例题】
例8．如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（n∈N*），证明{an}是等比数列；
证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比数列。
点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。

例9已知数列和满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有,即
矛盾.所以不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为又,所以
当λ＝－18， (∈N+),此时不是等比数列：当λ≠－18时，,由上可知，∴(∈N+).故当λ≠-18时，数列是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。
例10等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则

相减,得

所以

【巩固练习】
1.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则= .
2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 1或- .
3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= -3 ,ac= 9 .

4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8= 4 .

5.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 1 .
6.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，的值为 .
7.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 T17 .
8.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ C ）.(A) (B) (C) (D)
C.提示：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以，故选择答案C。
9.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ D ）A．4 B．2 C．－2 D．－4
提示：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4
10.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( D )
　A.　 B.　　C.　　 D.
提示：设等比数列的公比为，.，当时取等号；当时，，当时取等号

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