锐角三角函数的实际应用.doc

广州卓越一对一初中数学教研部 编著

学生姓名

授课日期

课题
锐角三角函数的实际应用
教学目标
1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；
2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学重点
能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学难点
能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
第一部分：知识点回顾

1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝，cosA＝，tanA＝，cota＝
4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角
叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
第二部分：自我评测
知识点
掌握情况
备注
非常好
一般
有待提高
特殊三角函数的值

坡度计算

三角函数的实际应用

第三部分：例题剖析
例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m，求AB.
解法：设AB = x，在Rt△BAD中，，
在Rt△ABC中，
∵ CA = CD + DA
∴ 通过解方程求出知数x的值

第四部分：典型例题
例1：某人在D处测得大厦BC的仰角∠BDC为30°,沿DA方向行20米至A处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC。

B
C
l
D
A
变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.

变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为．
（1）如果两楼相距米，那么楼落在楼上的影子有多长？
（2）如果楼的影子刚好不落在楼上，那么两楼的距离应是多少米？
（结果保留根号）
A
楼
B
楼

30°

2、仰角、俯角
 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
例2：（2011江苏淮安，23，10分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度

变式训练1：小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的仰角为；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得塔顶B的仰角为，求塔BC的高度．

变式训练2：某高为5.48 m的建筑物CD与一铁塔AB的水平距离BC为330 m，一测绘员在建筑物顶点D测得塔顶A的仰角a为30°. 求铁塔AB高.（精确到0.1 m）.

变式训练3、（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．

3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为方向角。
例3：一个半径为20海里的暗礁群中央P处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B，灯塔在北偏西30°方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？

30°
A
B
F
E
P
45°

变式训练1：（广东中山，15，6分）如图所示，、两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）

变式训练2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）
如图，小明从地沿北偏东方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时小明离地 ．

4、坡度与坡角
坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即，
坡度=
坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡
例4：（湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
例5：（甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 。
例6：(福建省漳州市) 一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了米，此时钢球距地面的高度是（　）A．米 B．米 C．米 D．米
例7：一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2 = 1∶2.5。求：
(1) 斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；
(2) 斜坡CD的坡角α（精确到1°）。

变式训练1：某人沿着坡度i=1:的山坡走了50米，则他离地面 米。
变式训练2：（山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
变式训练3：（顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1米，参考数据：

变式训练4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB的坡角
∠A=30°，斜坡CD的坡度=1:3，求坝底宽AD的长.（答案保留根号）

A
B
C
E
F
D
30°

第五部分：思维误区
1．对应关系混淆
A
B
α
图9
【1】如图9，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 米，那么这两树在坡面上的距离AB为 （ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
解析：分别过点B，A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则△ABC是直角三角形，且∠C=90°, ∠CBA=α,∴∴，故选B。
错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角α的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。
A
B
C
D
图10
2．专用名词不清
【2】（年深圳市）如图9，如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．
试求旗杆BC的高度．
解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作CE⊥AD于E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE：AE=1:。∴，∴∠CAE=30°，解直角三角形△AEC可得CE=5（m）, AE=（m）,在Rt△ABE中，（m）, ∴BC=BE-CE=6（m）

错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。
第六部分：方法规律
锐角三角函数
了解锐角三角函数（，，）；知道，，角的三角函数值
由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有，，角的三角函数式的值

能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

解直角三角形
知道解直角三角形的含义
会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

第七部分：巩固练习
A.
基础训练：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式错误的是（ ）
A． B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不成立的是（ ）
A． B. C. D.
3. Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高，AD＝4，BD＝2，那么＝（ ）
A． B. C. D.
4.太阳光与地面成42.5°的角，一树的影长10米，则树高约为________。（精确到0.01米）
5.在离地面高6米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60°角，则拉线的长约是________米。（精确到0.01米）
6.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD，CD＝3 m, AD＝6 m. 坝高是3 m ，BC坡的坡度＝1:3, 则坡角∠A＝__________，坝底宽AB＝_____________。
7.如图31—3—2，在2005年6月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的B处折断，树顶A落在离树根12米的地方，现测得∠BAC＝48°，求原树高是多少米？（精确到0.01米）

复习巩固：
1． 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移（如图31—3—3所示），距沙尘暴中心300km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
2．如图31—3—4，为了测量电视塔AB的高度，在C、D两点测得塔顶A的仰角分别为30°，45°。已知C、D两点在同一水平线上，C、D间的距离为60米，测倾器CF的高为1.5米，求电视塔AB的高。（精确到0.1米）

3.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向68海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N处，求这只船航行的速度。

B
拓展训练：
1.（2003·贵阳）如图31—3—9，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

2.如图31—3—10，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面25米远处测得塔顶A的仰角为60°，塔底B的仰角为30°，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到0.1米）

3、如图，在某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A，发现有一艘轮船从哨所正西方45海里处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处，此时哨所第二次发出紧急信号（信号传输时间忽略不计）。
⑴若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少为东偏北度，求
⑵当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船改变的角度东偏南至少应为多少？

第八部分：中考体验
A
C
D
B
E
F

G
1、（德州布市中考）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．

67.5°
36.9°
A

P
B
第18题
2、（·济宁）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？
（参考数据：
,,,）

3、（成都市中考）
如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)

4、（无锡市中考）如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．

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