第四讲矩阵的运算与逆矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数 第二章 矩阵及其运算,教学目的,掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法,作业要求,重点,矩阵的基本运算,练习册,P9-13,习题,1-10;,其中交：,P9-10,习题：,1,4,难点,矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质,讲授方法,讲练结合,讲授内容主线,概念同型加减数乘全乘法行列算、一般不交换方阵可算幂行列式宜单算转置行列换引来对称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质,内容概括,乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数乘转置的运算律。,班级：时间：年 月 日；星期,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,1,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,本次课讲：,1.,教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算,2.,教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质,3.,下次上课时交作业：,P9,P12,下次课讲：,1.,教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明,2.,教材第二章第四节：矩阵的分块法,3.,教材第三章第一节：初等变换的基本概念,2,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,学完本次课达到如下要求,1.,会用符号语言表述加减数乘幂、转置对称伴随等运算。,2.,加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是不可以的，如乘法不交换不消去不化零。,3.,转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系运算公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴随运算也没有乘法运算。,3,3.,矩阵与矩阵相乘,（重点是乘的过程与表达式）,设有两个线性变换,:,求出从 到 的线性变换,.,一、矩阵的四则运算,（,1,）乘法的历史,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,4,22,23,32,（,2,）乘法的定义与运算规律,定义,4,其中,并把此乘积记作：,设 是一个,ms,矩阵,是一个,s,n,矩阵,那么规定,矩阵,A,与矩阵,B,的乘积是一个,m,n,矩阵,矩阵形式如下：,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,5,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,6,如,:,是一个数,.,注意：只有当,左矩阵的列数,等于,右,矩阵的行数,时，,两个矩阵才可以相乘,(,与顺序有关,).,（,3,）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）,通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,7,例,1,求矩阵,与,的乘积,AB,.,1,）乘法一般不满足交换律,:,解,但,无法相乘,.,23,再如：若,A,是,m,n,矩阵，而,B,是,n,m,矩阵，,则,AB,与,BA,都有意义,但,AB,BA,.,若阶方阵,A,B,满足,AB=BA,称,A,与,B,可交换,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,8,2,）实数运算存在化,0,因子，即若,ab,=0,则,a,b,至少有一个数是,0,。,但矩阵运算不存在化,0,因子，即若,AB=0,A,与,B,可能都不为,0,，如下例,3,）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵,A,、,B,、,C,满足,AB=AC,，并且,A,不为,0,，则不能推出,B,C,，例如,例,2,求矩阵,与,的乘积,AB,与,BA,.,解,4),可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换,或简写成,EA=AE=A,.,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,9,6,）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组,系数矩阵,由矩阵乘法知：,设给定一个线性变换,5),矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的前提下可任意添加或删去括号。,(i),(ii),(iii),（其中,为数）；,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,10,（方）矩阵的幂,设,A,是,n,阶方阵，定义,注,：,1.,只有方阵，它的幂才有意义。,2.,3.,对于两个,n,阶矩阵，一般,如,4.,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,11,例,3,：,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,二、矩阵的关系运算,12,定义,5,1.,矩阵的转置,叫做矩阵,A,的,转置矩阵,，,记作,.,把矩阵,A,的行换成同序数的列得到一个新矩阵，,若,则,矩阵的转置也是一种运算，它满足下述运算规律,(i),(ii),(iii),(iv),（,A,为方阵）,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,13,证明,(iv),设,所以,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,14,例,4,：已知,求,解,注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是行矩阵。,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,15,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,例,5,（,2000.2,）,16,那么,A,称为,对称矩阵,.,设,A,为,n,阶方阵，,若满足,即,用转置定义对称矩阵,例,6,：,设,A,为对称矩阵,为多项式，试证,仍为对称矩阵。,证明：设,2.,对称矩阵,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,17,3.,方阵的行列式,定义,6,由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列式,（各元素的位置不变）,称为,方阵,A,的行列式,，,记作,注：,n,阶方阵是一个数表，,n,阶,行列式是一个数,.,或,由,A,确定 的这个运算满足下述运算规律,（,设,A,B,为,n,阶,方阵，,为实数）：,(i),(ii),(iii),第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,18,设矩阵,A,为,A,的,伴随矩阵,.,试证,证,设,记,则,注意,A,*,的排列顺序,4.,伴随矩阵,性质：,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,19,故,O,O,类似有,例,8,：设,解：,5.,共轭矩阵（自己看书，知道定义就可以了。略）,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,20,三、逆矩阵,设给定一个线性变换,（,1,）,它的系数矩阵是一个,n,阶矩阵,A,若记,则线性变换（,1,）可记作,（,2,）,是否存在从,Y,到,X,的现行变换，若存在这样的变换，即意味着存在矩阵,B,，使得,(3),（,3,）表示一个从,Y,到,X,的线性变换,称为线性变换,(2),的,逆变换,.,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,21,显然，,为恒等变换所对应的矩阵，,所以,所以,于是,定义,7,对于,n,阶矩阵,A,若有一个,n,阶矩阵,B,使得,则说,矩阵,A,是可逆的,，,并称,矩阵,B,是矩阵,A,的逆矩阵,.,A,的逆矩阵记作,即若,则,由（,2,）、（,3,）两式得,1.,逆矩阵的定义,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,22,2.,逆矩阵的性质,设,B,、,C,都是,A,的逆矩阵，,则有,证：,1,）唯一性,：,若矩阵,A,是可逆的，那么,A,的逆矩阵一定是唯一的,.,2,）非奇异性,（,1,）奇异概念,当 时，,称为,奇异矩阵,，,否则称为,非奇异矩阵,。,是可逆矩阵的充分必要条件是,（,2,）定理：,证：必要性：若,A,可逆,即有,使得,所以,即,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,23,充分性：,若,设 为矩阵 的伴随矩阵,.,又因为,所以有,按逆矩阵的定义有,3,）可交换性：,若 （或 ），则,证,所以,因而 存在，,于是,证毕,说明：该性质不仅说明了可逆的非奇异性，还诠释了一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,24,方阵的逆矩阵满足下述运算规律,（,i,）,若 可逆，则 也可逆，且,（,ii,）,若 可逆，数,0,，,则 可逆，且,本定义说明，若,AB=E,，则,AB=BA=E,，即在逆矩阵定义中，只要满足,AB=E,或,BA=E,的一个，即满足定义。即,A,、,B,可交换，且交换乘积结果一致。,3.,逆矩阵的运算规律：,（,iii,）,若 为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且,证,即结论成立,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,25,（,iv,）,若 可逆，则 亦可逆，且,证,所以有,注（,1,）：方阵的幂的拓展,当 时，还可定义,其中,k,为正整数。,这样，当 ，,，,均为整数时，有,存在，,（,2,）,若,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,26,例,1,求方阵,逆矩阵,.,解,则 存在,.,所以,教材例,11,根据求逆矩阵的定理，由此可见，求逆矩阵的运算量是很大的。这在后面还有更好的办法可以解决。,三、逆矩阵的计算举例,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,27,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,28,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,29,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,30,第四讲 矩阵的运算与逆矩阵,31,