计算机控制系统仿真第2章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 控制系统计算机数字仿真基础,2.1,连续系统的数学模型,系 统,X(t,),系 统,X(t,),以单输入单输出,线性定常系统为例：,（,1,）输入输出微分方程：,1.,模型的表示形式,（,2),传递函数：,(3),状态空间表达式：,一阶微分方程组,能控标准型实现：,2.,数学模型之间的转换,:,输入输出微分方程,传递函数,状态空间表达式,实现问题,3.,控制系统的模拟电路实现,基本单元：,积分环节,比例环节,4.,连续系统的求解,高阶系统的微分方程可以用一阶微分方程组表示。连续动态系统仿真的关键是求解一阶微分方程，也就是,积分计算,。,用模拟计算机求解：,由运算放大器构成的积分器实现积分运算。,用数字计算机求解：,用,数值计算,实现积分环节,计算机实现迭代计算,数值积分法,离散相似法,连续系统,微分方程,差分方程,按环节离散化,2.2,常微分方程的数值解法,控制系统的数学模型大多用常微分方程,(,组,),表示，实际中难以得到解析解，通常用数值法求其数值解。,目前的仿真软件都提供了高精度的数值计算函数，不需要使用者从数值算法的底层编写程序，但是了解仿真中常用的几种数值积分算法，有利于在仿真中合理选择数值算法和参数。,设一阶常微分方程一般形式为,将区间,分成间隔为,h,的小区间。,解析法：,递推求出 在各离散时刻的值：,数值法：,问题,：如何计算？,2.2.1.,欧拉,(Euler),法,（矩形法、折线法）,欧拉法的思路,:,就是把,f(t,y,),在区间,t,k,t,k+1,内的曲边面积用矩形面积近似代替。,所以，求解一阶常微分方程的递推公式可以近似表示为,但是 未知，用 近似，可得,微分方程的数值解为,欧拉递推公式,对于一阶常微分方程,欧拉法的误差分析,欧拉法公式是 的一阶泰勒展开式,在 附近的泰勒展开式为,令,当 很小时，忽略二次以上各项，就有,令,一阶泰勒展开式,欧拉公式,欧拉法的特点：,算法简单，计算量小,。,是一阶泰勒公式近似，,截断误差为,o(h,2,),，即具有一阶精度。,减小,h,可减小误差。随着递推次数增加，会增大舍入误差。,如何提高精度？,2.2.2.,梯形法,为了提高积分运算精度，将矩形面积改为梯形面积计算。,在欧拉公式的基础上，算法改为,欧拉公式：,存在的问题,：,求 时需要用到 ，此时 未知，算法不能自启动。,（预估,-,校正法）,解决的办法,：多步迭代法,首先用欧拉公式预估,再用梯形公式校正,常用的是一步迭代法：,预估,校正,将 简写,:,平均斜率,式中令,梯形公式,梯形法公式等价为 的,二阶泰勒展开式,，误差 ，所以具有二阶精度。,二阶泰勒展开式,2.2.3,龙格库塔,(,Runge-Kutta,),法,要想得到较高的计算精度，必须取泰勒展开式的前若干项，但公式中直接利用高阶导数，计算不方便。数学家,C.Runge,和,W.Kutta,提出，用计算区间内几个点斜率值加权线性组合的数值积分计算方法，称为龙格一库塔法。,基本思想：用计算区间内若干点处的函数值,f(t,y,),的加权线性组合来代替,f(t,y,),的高阶导数项。,在 附近的泰勒展开式为,一阶龙格一库塔法,：使用一阶泰勒展开式，即欧拉法。,二阶龙格一库塔法,：使用二阶泰勒展开式。,由于,f,的导数不易计算，用区间,h,中,两点的,f,值,k,i,的线性组合计算。将上式表示成：,w,i,为待定加权系数,令,1.,二阶龙格一库塔法,取,（,1,）,上式中,t,k,时刻的,f,值,中另外某一时刻的,f,值,为待定系数。,将,k,2,用其一阶泰勒展开式表示,代入式 ，有,（,2,）,与,（,1,）,式比较：,（,2,）,（,1,）,1,）,由于待定系数个数超过方程个数，系数的,解不唯一,，所以一般有以下几种取法：,二阶龙格库塔法公式：,算法,1,就是前面介绍的梯形法的一步迭代公式（预估,-,校正）,。,比较两式系数，有：,以上几种递推公式均称为二阶龙格库塔法公式，是比较典型的几个常用算法。,3,）,2,）,推广到高阶,龙格,-,库塔法,，可表示如下,当,r=1,时，为一阶龙格,-,库塔法，该方法与欧拉递推公式一致。,当,r=2,时，为二阶龙格,-,库塔法，梯形法是一种,二阶龙格,-,库塔法,。,r,为精度阶次。一般取 。,2.,高阶,龙格,-,库塔法,r=3,时，三阶龙格库塔公式,仿真中遇到的大多数工程实际问题，四阶龙格库塔法以能满足精度要求，其截断误差,o(h,5,),与,h,5,同数量级。该法可以自启动。,r=4,时，四阶龙格库塔公式,四阶龙格,-,库塔法公式：,龙格库塔法的共同规律是先求取斜率,k,1,，在以此斜率求取另一斜率,k,2,，以此类推，最后以满足精度要求为目的，适当选取加权系数，求取调整斜率。,3.,四阶龙格,-,库塔法求解线性状态方程,矩阵形式的递推公式：,都是,n,1,矩阵。,例：已知,写出系统状态变量的四阶,龙格,-,库塔法递推公式（标量形式）。,解：,系统状态方程可写成,例：控制系统的结构如图，建立系统的状态方程，应用四阶龙格,-,库塔法递推公式求解。,4.,面向结构图应用,四阶龙格,-,库塔法求解,对每一个积分环节建立输入输出方程；,建立各微分环节之间的连接方程；,应用四阶龙格,-,库塔法递推公式求解。,1,）对每一个积分环节建立输入输出方程,2,）建立各环节之间的连接方程,为连接矩阵,3,）应用四阶龙格,-,库塔法递推公式求解,2.2.4,数值积分法的稳定性,不同的数值算法，要求不同的参数稳定域。,利用数值积分法进行仿真时常常会出现这样的情况，一个连续系统本来是稳定的，可是仿真结果却是发散的。这种情况通常是由积分步长选的不合适造成的。,微分方程,(,组,),的数值解法，实质上就是将微分方程差分化，然后从初值开始进行迭代运算。显然，要使迭代运算正常进行，首先必须保证这一数值解法的稳定性。,所谓数值解法的稳定性，是指在扰动,(,初始误差、舍入误差、截断误差等,),影响下，其计算过程中的累积误差不会随计算步数的增加而无限增长。,看一个例子：用,Euler,法求一阶系统的数值解,设计算步长为,h,，则,Euler,递推公式为：,当 时，数值解是发散的；,当 时，数值解等幅振荡；,当 时，数值解是收敛的。,2.2.5,数值积分法的选择,为了有效的对连续系统进行数字仿真，必须针对具体问题，合理地,选择数值算法和计算步长,。一般来说，选用数值方法从以下原则考虑：,(1),精度,:,当要求高精度仿真时，可采用高阶、多步预估算法，且取较小的步长。要求合理地选择数值算法和阶次，当算法和阶次确定后，选择恰当的计算步长，以满足要求的精度。,(2),计算速度,:,计算速度取决于所用的数值算法和步长大小。在满足精度要求的前提下，选择较低阶次、单步预估法，可以提高速度。当算法取定时，在保证精度的前提下，选择较大步距可以减少仿真计算次数，提高速度。,(3),稳定性：,数值算法的稳定性主要与计算步长有关，不同的数值方法对步长有不同的限制范围，且与仿真对象的时间常数,也有关。一般来说步长,h,与系统最小时间常数,有以下关系：,总之，仿真算法的选择要兼顾以上,3,个方面，综合考虑。,在实际工程中一般也可以取：,定步长仿真,变步长仿真,2.3,控制系统的建模,自动控制系统的建模方法很多，归纳起来有三类：机理建模法、实验建模法、综合建模法。,1.,机理建模法,机理建模法主要是通过理论分析推导方法建立系统模型,【,例,2-1】,建立电磁悬浮系统数学模型。电磁悬浮控制系统如图所示。,整个磁路的磁阻近似为：,气隙中的磁感应强度为：,电磁线圈产生的对质量为,M,的电磁铁产生的电磁吸力为：,由磁路理论知：,经过数学处理，得,对上式线性化,式中,由牛顿第二定律，得到电磁铁的运动方程：,电路的电压平衡方程式：,式中,则,消去中间变量，得到系统的微分方程：,2.,实验建模法,所谓实验建模法，就是采用由特殊到一般的逻辑归纳方法，根据一定数量的在系统运行过程中实测、观察的物理量数据，运用统计规律、系统辨识等理论估计出反映系统各物理量相互制约关系的数学模型。其主要依据是来自系统的大量实测数据，因此又称为实验测定法。,（,1,）频率特性法,通过实验测得系统在不同频率正弦输入信号作用下的稳态响应，建立系统频率响应特性，来研究系统的稳定性和动态性能。,（,2,）系统辨识法,依据测量到的输入与输出数据，利用计算机进行数值计算，来建立静态与动态系统的数学模型。,3.,综合建模法,将机理建模法与实验建模法有机地结合起来，称为综合建模法。,