高三数学正弦定理、余弦定理应用举例课件新人教B版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,正弦定理、余弦定理应用举例,要点梳理,1.,解斜三角形的常见类型及解法,在三角形的,6,个元素中要已知三个（除三角外）,才能求解，常见类型及其解法如表所示,.,已知条件,应用定理,一般解法,一边和两角,(,如,a,B,C,),正弦定理,由,A,+,B,+,C,=180,求,角,A,；由正弦定理求,出,b,与,c,.,在有解时只有一解,基础知识 自主学习,两边和夹角,(,如,a,b,C,),余弦定理,正弦定理,由余弦定理求第三边,c,;,由正弦定理求出小,边所对的角；再由,A,+,B,+,C,=180,求出另一角,.,在有解时只有一解,三边,(,a,b,c,),余弦定理,由余弦定理求出角,A,、,B,；再利用,A,+,B,+,C,=180,求出角,C,.,在有解时只有一解,两边和其中,一边的对角,（如,a,b,A,),正弦定理,余弦定理,由正弦定理求出角,B,；,由,A,+,B,+,C,=180,，求出,角,C,；再利用正弦定理,或余弦定理求,c,.,可有两解，一解或无解,2.,用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面,积问题、航海问题、物理问题等,.,3.,实际问题中的常用角,（,1,）仰角和俯角,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标,视线的夹角,目标视线在水平视线,叫仰角,目标视线在水平视线,叫俯角（如图）,.,上方,下方,(2),方位角,指从,方向顺时针转到目标方向线的水平角，,如,B,点的方位角为,（如图）,.,（,3,）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数,.,正北,基础自测,1.,在某次测量中，在,A,处测得同一半平面方向的,B,点的仰角是,60,C,点的俯角是,70,，则,BAC,等于（）,A.10,B.50,C.120,D.130,解析,由已知,BAD,=60,CAD,=70,BAC,=60,+70,=130,.,D,2.,两座灯塔,A,和,B,与海岸观察站,C,的距离相等,灯塔,A,在观察站北偏东,40,灯塔,B,在观察站南偏,东,60,，则灯塔,A,在灯塔,B,的（）,A.,北偏东,10,B.,北偏西,10,C.,南偏东,10,D.,南偏西,10,解析,灯塔,A,、,B,的相对位置如图所示，,由已知得,ACB,=80,，,CAB,=,CBA,=50,，,则,=60,-50,=10,.,B,3.,在,ABC,中，,AB,=3,，,BC,=,，,AC,=4,，则边,AC,上的高为（）,A.B.C.D.,解析,由余弦定理可得：,B,4.,ABC,中,若,A,=60,b,=16,此三角形面积,则,a,的值为（）,A.20 B.25 C.55 D.49,解析,由,S,=,bc,sin,A,=220 ,得,c,=55.,由余弦定理得,a,2,=16,2,+55,2,-2,16,55,cos 60,=2 401,a,=49.,D,5.,(2009,湖南文,14),在锐角,ABC,中,BC,=1,B,=2,A,则 的值等于,AC,的取值范围为,.,解析,2,题型一 与距离有关的问题,要测量对岸,A,、,B,两点之间的距离，选取,相距,km,的,C,、,D,两点,并测得,ACB,=75,BCD,=45,ADC,=30,ADB,=45,求,A,、,B,之间的距离,.,分析题意，作出草图，综合运用正、,余弦定理求解,.,题型分类 深度剖析,解,如图所示在,ACD,中，,ACD,=120,，,CAD,=,ADC,=30,，,AC,=,CD,=km.,在,BCD,中，,BCD,=45,，,BDC,=75,，,CBD,=60,.,在,ABC,中，由余弦定理，得,B,求距离问题要注意：,（,1,）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所,求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若,有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求,解,.,（,2,）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可,用，就选择更便于计算的定理,.,知能迁移,1,（,2009,海南,宁夏理，,17,）,为了测量两山顶,M,、,N,间的,距离，飞机沿水平方向在,A,、,B,两点进行测量，,A,、,B,、,M,、,N,在同一个铅垂平面,内（如示意图）,.,飞机能够测量的数据有俯角和,A,、,B,间的距离，请设计一个方案，包括：指,出需要测量的数据,(,用字母表示,并在图中标,出,),；用文字和公式写出计算,M,、,N,间的距离,的步骤,.,解,方案一,：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的俯角,1,、,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,；,A,、,B,的距离,d,(,如图所示,).,第一步：计算,AM,.,由正弦定理,第二步：计算,AN,.,由正弦定理,第三步：计算,MN,.,由余弦定理,方案二,：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的,俯角,1,、,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,;,A,、,B,的距离,d,（如图所示）,.,第一步：计算,BM,.,由正弦定理,第二步：计算,BN,.,由正弦定理,第三步：计算,MN,.,由余弦定理,题型二 与高度有关的问题,某人在塔的正东沿着南偏西,60,的方向,前进,40,米后，望见塔在东北方向，若沿途测得,塔顶的最大仰角为,30,，求塔高,.,依题意画图，某人在,C,处,AB,为塔高,他沿,CD,前进，,CD,=,40,米，此时,DBF,=45,从,C,到,D,沿途测塔的仰角，只有,B,到测试点,的距离最短时，仰角才最大，这是因为,tan,AEB,=,AB,为定值，,BE,最小时，仰角最大,.,要求出,塔高,AB,必须先求,BE,，而要求,BE,，需先求,BD,（或,BC,）,.,解,如图所示，某人在,C,处，,AB,为塔高，他沿,CD,前进，,CD,=40,，此时,DBF,=45,，过点,B,作,BE,CD,于,E,，则,AEB,=30,，,在,BCD,中,CD,=40,BCD,=30,DBC,=135,BDE,=180,-135,-30,=15,.,在,Rt,BED,中，,BE,=,DB,sin 15,在,Rt,ABE,中，,AEB,=30,，,AB,=,BE,tan 30,=,故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是：,（,1,）准确理解题意，分清已知与所求；,（,2,）依题意画出示意图；,（,3,）分析与问题有关的三角形；,（,4,）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；,（,5,）注意方程思想的运用；,（,6,）要综合运用立体几何知识与平面几何知识,.,知能迁移,2,如图所示，测量河对岸的,塔高,AB,时，可以选与塔底,B,在同一水,平面内的两个测点,C,与,D,，现测得,BCD,=,，,BDC,=,，,CD,=,s,，并,在点,C,测得塔顶,A,的仰角为,，求塔高,AB,.,解,在,BCD,中，,CBD,=,-,-,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用,(12,分,),如图所示,在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,=5,，,AC,=9,，,BCA,=30,ADB,=45,，,求,BD,的长,.,由于,AB,=5,，,ADB,=45,，因此要,求,BD,，可在,ABD,中，由正弦定理求解,关键,是确定,BAD,的正弦值,.,在,ABC,中,AB,=5,AC,=9,，,ACB,=30,因此可用正弦定理求,出,sin,ABC,再依据,ABC,与,BAD,互补确定,sin,BAD,即可,.,解,在,ABC,中，,AB,=5,，,AC,=9,，,BCA,=30,.,AD,BC,，,BAD,=180,-,ABC,于是,sin,BAD,=,sin,ABC,=.,8,分,同理，在,ABD,中，,AB,=5,，,sin,BAD,=,，,ADB,=45,，,解得,BD,=.,故,BD,的长为,.,要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形,分割成若干个三角形,.,在分割时，要注意有利于应用正、,余弦定理,.,6,分,12,分,解题示范,知能迁移,3,如图所示，已知半圆的直径,AB,=2,，,点,C,在,AB,的延长线上，,BC,=1,，点,P,为半圆上的,一个动点，以,DC,为边作等边,PCD,，且点,D,与,圆心,O,分别在,PC,的两侧，求四边形,OPDC,面积的,最大值,.,解,设,POB,=,，四边形面积为,y,，,则在,POC,中，由余弦定理得,PC,2,=,OP,2,+,OC,2,-2,OP,OC,cos,=5-4cos,.,方法与技巧,1.,合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念,建立三角函数模型,.,2.,把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个,平面上利用三角函数求值,.,3.,合理运用换元法、代入法解决实际问题,.,思想方法 感悟提高,失误与防范,在解实际问题时，应正确理解如下角的含义,.,1.,方向角,从指定方向线到目标方向线的水平角,.,2.,方位角,从正北方向线顺时针到目标方向线,的水平角,.,3.,坡度,坡面与水平面的二面角的度数,.,4.,仰角与俯角,与目标视线在同一铅直平面内,的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水,平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线,下方时称为俯角,.,一、选择题,1.,在,200 m,高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分,别是,30,，,60,则塔高为（）,解析,作出示意图如图，,由已知：在,Rt,OAC,中，,OA,=200,，,OAC,=30,，,则,OC,=,OA,tan,OAC,=200tan 30,=,在,Rt,ABD,中，,AD,=,，,BAD,=30,，,则,BD,=,AD,tan,BAD,=,A,定时检测,2.,一船向正北航行，看见正西方向有相距,10,海里的两,个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时,后，看见一灯塔在船的南偏西,60,，另一灯塔在船,的南偏西,75,，则这艘船的速度是每小时（）,A.5,海里,B.5,海里,C.10,海里,D.10,海里,解析,如图所示，依题意有,BAC,=60,，,BAD,=75,，,所以,CAD,=,CDA,=15,，,从而,CD,=,CA,=10,，,在,Rt,ABC,中，得,AB,=5,，,于是这艘船的速度是 （海里,/,小时）,.,C,3.,如图所示，已知两座灯塔,A,和,B,与海洋,观察站,C,的距离都等于,a,km,灯塔,A,在,观察站,C,的北偏东,20,，灯塔,B,在观察,站,C,的南偏东,40,，则灯塔,A,与灯塔,B,的距离为 （）,A.,a,km B.,a,km,C.,a,km D.2,a,km,解析,利用余弦定理解,ABC,.,易知,ACB,=120,在,ABC,中，由余弦定理得,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,-2,AC,BC,cos,120,=2,a,2,-2,a,2,B,4.,一船自西向东匀速航行，上午,10,时到达一座灯塔,P,的南偏西,75,距塔,68,海里的,M,处,下午,2,时到达这,座灯塔的东南方向的,N,处，则这只船的航行速度为,（）,A.,海里,/,小时,B.,海里,/,小时,C.,海里,/,小时,D.,海里,/,小时,解析,如图所示，在,PMN,中，,答案,A,5.,如图，一货轮航行到,M,处,测得灯塔,S,在货轮的北偏东,15,与灯塔,S,相距,20,海里,随后货轮按北偏西,30,的方向,航行,30,分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则,货轮的速度为 （）,A.20,海里,/,小时,B.20,海里,/,小时,C.20,海里,/,小时,D.20,海里,/,小时,解析,由题意知,SM,=20,SNM,=105,NMS,=45,答案,B,6.,线段,AB,外有一点,C,ABC,=60,AB,=200 km,汽车以,80 km/h,的速度由,A,向,B,行驶，同时摩托车以,50 km/h,的,速度由,B,向,C,行驶,则运动开始,h,后，两车的距离最,小,.,（）,解析,如图所示，设,t,h,后,汽,车由,A,行驶到,D,，摩托车由,B,行,驶到,E,，则,AD,=80,t,，,BE,=50,t,.,因为,AB,=200,，所以,BD,=200-80,t,，,问题就是求,DE,最小时,t,的值,.,由余弦定理：,DE,2,=,BD,2,+,BE,2,-2,BD,BE,cos 60,=(200-80,t,),2,+2 500,t,2,-(200-80,t,),50,t,=12 900,t,2,-42 000,t,+40 000.,C,7.,在,ABC,中,BC,=1,B,=,，当,ABC,的面积等于,时，,tan,C,=,.,解析,S,ABC,=,ac,sin,B,=,c,=4.,由余弦定理,：,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=13,二、填空题,8.,在,ABC,中,AC,=,，,BC,=2,，,B,=60,则,A,的大,小是,，,AB,=,.,解析,45,9.,甲船在,A,处观察乙船,乙船在它的北偏东,60,的方向,两船,相距,a,海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的,倍，则甲船应取方向,才能追上乙船；追上时甲,船行驶了,海里,.,解析,如图所示，设到,C,点甲船追上乙船，,乙到,C,地用的时间为,t,，乙船的速度为,v,则,BC,=,tv,，,AC,=,tv,，,B,=120,，,BC,=,AB,=,a,，,AC,2,=,AB,2,+,BC,2,-2,AB,BC,cos 120,北偏东,30,三、解答题,10.,如图所示,扇形,AOB,圆心角,AOB,等,于,60,半径为,2,在弧,AB,上有一动,点,P,，过点,P,引平行于,OB,的直线和,OA,交于点,C,，设,AOP,=,，求,POC,面积的最大值及此时,的值,.,解,CP,OB,，,CPO,=,POB,=60,-,，,OCP,=120,.,在,POC,中，由正弦定理得,11.,在,ABC,中，已知,(1)sin,2,cos(,B,+,C,),的值,;,(2),若,ABC,的面积为,4,AB,=2,求,BC,的长,.,解,12.,在海岸,A,处,发现北偏东,45,方向,距离,A,(-1),n mile,的,B,处有一艘走私船，在,A,处北偏西,75,的,方向,距离,A,2 n mile,的,C,处的缉私船奉命以,10,n mile/h,的速度追截走私船,.,此时，走私船正以,10 n mile/h,的速度从,B,处向北偏东,30,方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？,解,如图所示，注意到最快追上走,私船且两船所用时间相等，若在,D,处相遇，则可先在,ABC,中求出,BC,，,再在,BCD,中求,BCD,.,设缉私船用,t,h,在,D,处追上走私船，,则有,CD,=10,t,，,BD,=10,t,.,在,ABC,中，,AB,=-1,，,AC,=2,，,BAC,=120,由余弦定理，,得,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos,BAC,=,（,-1,）,2,+2,2,-2,（,-1,）,2,cos 120,=6,BC,=,，,CBD,=90,+30,=120,，,在,BCD,中，由正弦定理，得,BCD,=30,.,即缉私船北偏东,60,方向能最快追上走私船,.,