高三数学第一轮总复习 9.5 空间向量及其运算课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第,1,轮）,文科数学,全国,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章,直线、平面、简单几何体,1,9.5,空间向量及其运算,考点,搜索,空间向量的加法、减法与数乘,空间向量基本定理，以及共线、共面向量定理,空间向量的数量积及其运算性质高考,高考,猜想,1.,空间向量的基本运算,.,2.,运用向量方法解决共点、共线、共面以及平行、垂直、夹角、距离等问题,.,2,1.,空间向量：在空间，我们把具有,_,和,_,的量叫做向量，空间向量也用,_,表示，并且,_,的有向线段表示同一向量或相等的向量,.,2.,空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法,与数乘向量为：,=_,，,=_,=_(,R,).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a+b,a,3,3.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：,(1)加法交换律：,_,_,；,(2)加法结合律：,_,_,；,(3)数乘分配律：,_,_,.,a+b,=,b+a,(,a+b)+c,=a+(,b+c,),(a+b,)=,a+b,4,4.,如果表示空间向量的有向线段所在的直线,_,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a,平行于,b,记作,ab,.,5.,共线向量定理：对于空间任意两个向量,a,，,b,(,b,0),，,ab,的充要条件是存在实数,使,_.,11,12,相互平行或重合,a=,b,5,推论,:,如果直线,l,为经过已知点,A,且平行于已知非零向量,a,的直线,那么对任一点,O,点,P,在直线,l,上的充要条件是存在实数,t,满足等式,_,其中向量,a,叫做直线,l,的方向向量,.,6.,共面向量定理：如果两个向量,a,，,b,不共线，则向量,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件是存在实数对,x,，,y,使,p,=_.,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充要条件是存在有序实数对,x,y,使,=_.,13,14,15,xa+yb,6,7.,空间向量基本定理：如果三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在一个唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,使,p,=_.,推论：设,O,、,A,、,B,、,C,是不共面的四点，则对空间任一点,P,，都存在唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,=_.,8.,已知空间两个向量,a,，,b,，则,a,，,b,的数量积为：,ab,=_,其中,a,b,表示向量,a,b,的,_,，其范围为,_.,16,17,18,19,20,xa+yb+zc,|,a|b|cosa,b,夹角,0,7,9.,空间向量的数量积有如下性质：,(,e,为单位向量,),(1),ae,=_;,(2),a,b,_;,(3)|,a,|,2,=_.,10.,空间向量满足如下运算律：,(1)(,a,),b,=_,；,(2),ab,=_;,(3),a,(,b,+,c,)=_.,21,22,23,24,25,26,|,a|cosa,e,ab,=0,aa,(ab,),ba,ab+ac,8,盘点指南：,大小；方向；有向线段；方向相同且长度相等；,a+b,;,a,；,a+b,=,b+a,；,(,a+b)+c,=,a+(,b+c);,(a+b,)=,a+b,;,互相平行或重合,;,a=,b,;,；,xa+yb,;,;,xa+yb+zc,;,；,|,a|b|cosa,，,b,；夹角；,0,，,;,|,a|cosa,，,e;,ab,=0;,aa,;,(ab,);,ba,;,ab+ac,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,9,设向量,a,、,b,、,c,不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是,(),A.,a+b,，,b-a,，,a,B.,a+b,，,b-a,，,b,C.,a+b,，,b-a,，,c,D.,a+b+c,，,a+b,，,c,解：,由已知及向量共面定理，易得,a+b,，,b-a,c,不共面,故可作为空间的一个基底,故选,C.,C,10,在平行六面体,ABCD-ABCD,中，向量,、,是,(),A.,有相同起点的向量,B.,等长的向量,C.,共面向量,D.,不共面向量,解：,因为,，所以,、共面,.,C,11,已知四边形,ABCD,中，,=,a-2c,，,=,5a,+6b-8c,，对角线,AC,、,BD,的中点分别为,E,、,F,，,则,=,.,解：,因为,，,又,，,两式相加，得,12,因为,E,是,AC,的中点，故,.,同理，,.,所以,=6,a,+6,b,-10,c,所以,=3,a,+3,b,-5,c,.,13,1.,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求证：,证明：,因为平行六面体的六个面都是平行四边形，,所以,，,题型,1,向量关系的化简与证明,14,所以,点评：,向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果,.,15,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，化简下列表达式：,(1),；,(2).,解：,(1),原式,=,=,=,(2),原式,=,16,2.,在平行六面体,A,1,B,1,C,1,D,1,-ABCD,中，,M,分,所成的比为,1:2,，,N,分,A,1,D,所成的比为,2.,设,=,a,，,=,b,，,AA,1,=,c,，试用,a,，,b,，,c,表示,.,解,：如图，连结,AN,，,则,.,由已知四边形,ABCD,是平行四边形，,故,=,a+b,.,又,题型,2,向量的基底表示,17,由已知,N,分,所成的比为2，故,于是，,点评：,空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量，其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式.注意向量的方向性及加减运算.,18,设,P,是正方形,ABCD,所在平面外一点，,O,为正方形,ABCD,的中心，,Q,是,CD,的中点,.,(1),用基向量 、,、,表示向量,;,(2),用基向量,、,、,表示向量,.,19,解：,(1),(2),因为 ，所以,.,又因为,，所以,.,从而有,.,20,已知空间四边形,OABC,中，,M,为,BC,的中点，,N,为,AC,的中点，,P,为,OA,的中点，,Q,为,OB,的中点，若,AB=OC,，求证：,PMQN,.,证法,1,：,因为,所以,所以,故,PM,QN,.,题型,3,空间向量的初步应用,21,证法,2,：,.,所以,PM,QN,.,点评：,空间向量是解决立体几何问题的一种工具,.,本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系，而证空间向量的垂直，一般先将两向量转化为基向量的形式,(,基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量,),，然后计算两向量的数量积,.,22,如图，平行六面体,AC,1,中，,AE,=3EA,1,，,AF=FD，AG=,GB,，过,E、F,、,G,的平面与对角线,AC,1,交于点,P,，,求,APPC,1,的值.,解：,设,因为,23,所以,又因为,E、F、G、P,四点共面，,所以,所以,所以,APPC,1,=316.,24,1.如左下图，在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,为,A,1,BD,的重心，求证：,A、M、C,1,三点共线.,证明：,如右上图,连结,A,1,M,并延长交,BD,于,E,点,.,题型 共线问题的判定与证明,25,因为,M,为,A,1,BD,的重心，,所以,E,为,BD,的中点，连结,AE,.,所以,故向量,AM,与,AC,1,共线，即,A,、,M,、,C,1,三点共线,.,26,2.,求证：平行六面体的四条对角线相交于一点，并且在交点处互相平分,.,证明：,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，设,O,、,P,、,M,、,N,分别是对角线,AC,1,、,BD,1,、,A,1,C,、,B,1,D,的中点，,题型,共点问题的判定与证明,27,则,同理可证，,所以,O,、,P,、,M,、,N,四点重合,.,故四条对角线相交于一点，且在交点处互相平分,.,28,1.,空间向量是平面向量的推广，空间向量的加法、减法和数乘向量运算，与平面向量的运算法则一致,.,2.,空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示，因此，空间两个向量的加法与减法运算，实质上是两个平面向量的加法与减法运算,.,29,3.,空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的，共线向量定理也完全一致.空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通.空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展.这些定理源于平面向量的加法、减法与数乘向量运算，是沟通向量之间内在联系的重要依据.,30,4.,空间直线的向量参数表示式,：,是一个以向量形式表示的直线方程，直线,l,上的点,P,和实数,t,之间是一一对应的关系.若取,a,=，,则向量式,表示,P、A、B,三点共线.,5.,向量的基底表示是向量运算的一个重点,.,利用三角形法则和平行四边形法则，将一个向量分解成两个向量的和或差，经过若干次分解，就能得出向量的基底表示,.,31,