高三数学第一轮总复习 5.2 向量的字符运算课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第,1,轮）,文科数学,全国,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章,平面向量,1,5.2,向量的字符运算,考点,搜索,平面向量的数量积,平面向量数量积的重要性质,两个向量垂直的充要条件,常用的模的等式和不等式,高考,猜想,字符运算是向量的核心内容，是高考的一个重要命题点,.,2,一、平面向量数量积的有关概念,1.,已知两个非零向量,a,，,b,，过,O,点作,OA=a,，,OB=b,，则,AOB,=,(0,180),叫做向量,a,与,b,的夹角,.,很显然，当且仅当两非零向量,a,，,b,同方向时，,=_,，当且仅当,a,、,b,反方向时，,=_,，同时,0,与其他任何非零向量之间不谈夹角问题,.,0,180,3,2.,如果,a,，,b,的夹角为,_,，则称,a,与,b,垂直，记作,_.,3.,a,，,b,是两个非零向量，它们的夹角为,，则,_,叫做,a,与,b,的数量积,(,或内积,),，记作,ab,，即,_.,规定,0,a,=_.,当,a,b,时，,=_,，这时,ab,=_.,二、,ab,的几何意义,1.,一个向量在另一个向量方向上的投影,.,90,a,b,|,a|b|cos,a,b,=|,a,|,b,|cos,0,90,0,4,设,是,a,与,b,的夹角，则,_,称作,a,在,b,方向上的投影,.,11,_,称作,b,在,a,方向上的投影,.b,在,a,方向上的投影是一个数，而不是向量,.,当,12,_,时，它是正数；当,13,_,时,它是负数；当,=90,时,它是零,.,2.,ab,的几何意义,.,ab,等于,14,_,与,b,在,a,方向上的投影的乘积,.,3.,ab,的性质,.,设,a,b,是两个非零向量,e,是单位向量,于是有：,|,a,|cos,|,b|cos,0,90,90,180,|,a,|,5,(1),ea,=,ae,=|,a,|cos,;,(2),a,b,15,_;,(3),当,a,与,b,同向时，,ab,=,16,_,；当,a,与,b,反向时，,ab,=,17,_,；特别地，,aa,=,a,2,=|,a,|,2,，或,|,a,|=,18,_;,(4)cos,=,19,_;,(5)|,ab,|,a,|,b,|.,ab,=0,|,a|b,|,-|,a|b,|,6,盘点指南：,0;180;90;,a,b,;|,a,|,b,|cos,;,ab,=|,a,|,b,|cos,;0;90;0;|,a,|cos,;,11,|,b,|cos,;,12,0,90;,13,90,180;,14,|,a,|;,15,a,b,=0;,16,|,a,|,b,|;,17,-|,a,|,b,|;,18,;,19,7,已知向量,a,和,b,的夹角为,120,|,a,|=1,|,b,|=3,，则,|,5a-b,|=_.,解：,所以,|5,a-b,|=7.,7,8,若,a,b,c,为任意向量，,m,R,，则下列等式不一定成立的是,(),A.(,a+b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,)B.(,a,+,b,),c,=,ac,+,bc,C.,m,(,a+b,)=,m,a+mb,D.(,ab,),c,=,a,(,bc,),解：,A,、,B,、,C,是运算律，而,ab,=,R,bc,=,R,所以,(,ab,),c,=,a,(,bc,),不一定成立,.,故选,D.,D,9,在,ABC,中，已知向量 与 满足,且 则,ABC,为,(),A.,三边均不相等的三角形,B.,直角三角形,C.,等腰非等边三角形,D.,等边三角形,解：,在,ABC,中，,(,M,在,BAC,的平分线上,),，,10,由 知,所以,，则,ABC,是等腰三角形；,因为 所以,则,BAC,=60,，,所以,ABC,是等边三角形,.,故选,D.,11,1.,在,ABC,中，,O,为中线,AM,上一个动点，若,AM,=2,，则 的最小值是,_.,解：,设,所以,故填,-2.,题型,1,向量的数量积运算,12,点评：,向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化,.,13,已知,|,a,|=2,，,|,b,|=3,，,a,与,b,的夹角为 ，,c,=5,a,+3,b,，,d,=3,a,+,kb,，求当实数,k,为何值时，,c,d,？,解：,要使,c,d,，即,cd,=0,，,即,(5,a,+3,b,)(3,a+kb,)=0,，,所以,15,a,2+(9+5,k,),ab,+3,kb,2=0,，,所以,154+(9+5,k,)23cos +3,k,9=0,，,解得,k,=.,所以当,k,=,时，,c,与,d,垂直,.,14,2.,已知向量,a,与,b,的夹角为,120,且,|,a,|=4,，,|,b,|=2.,求：,(1)|,a,+,b,|;(2)|3,a,-4,b,|;(3)(,a,-2,b,)(,a,+,b,).,解：,依题意得,ab,=|,a,|,b,|cos,=42cos120=-4.,(1),因为,|,a,+,b,|,2,=(,a+b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,=|,a,|,2,+2,ab,+|,b,|,2,=4,2,+2(-4)+2,2,=12,，,所以,|,a+b,|=,题型,2,向量的模,15,(2),因为,|3,a,-4,b,|,2,=(3,a,-4,b,),2,=9,a,2,-24,ab,+16,b,2,=1619,，,所以,|3,a,-4,b,|=.,(3)(,a,-2,b,)(,a+b,)=,a,2,-2,ab+ab,-2,b,2,=4,2,-(-4)-22,2,=12.,点评：,求形如,|,a+b,|,的模，一般是通过,|,a+b,|,2,=(,a,+,b,),2,把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可,.,16,已知平面上三个向量,a,、,b,、,c,的模均为,1,，它们相互之间的夹角均为,120.,(1),求证：,(,a,-,b,),c,；,(2),若,|,ka+b+c,|1(,k,R),，求,k,的取值范围,.,解：,(1),证明：因为,|,a,|=|,b,|=|,c,|=1,且,a,、,b,、,c,之间的夹角均为,120,，,所以,(,a-,b,),c,=,ac,-,bc,=|,a,|,c,|cos120-|,b,|,c,|cos120=0,所以,(,a-,b,),c,=0,，所以,(,a-,b,),c,.,17,(2),解法,1,：,因为,|,ka+b+c,|1,，即,|,ka+b+c,|,2,1,，,即,k,2,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,kab,+2,kac,+2,bc,1,因为,ab,=,bc,=,ac,=-,，,所以,k,2,-2,k,0,，所以,k,2.,解法,2,：,由已知,a+b+c,=0,故,|,ka+b+c,|=|,ka-a,|=|(,k,-1),a,|=|,k,-1|,|,ka+b+c,|1(,k,R)|,k,-1|1,k,2.,18,3.,已知向量,a,、,b,、,c,两两所夹的角都为,120,|,a,|=1,|,b,|=2,|,c,|=3,求向量,a+b+c,与,a,的夹角,.,解：,由已知得,(,a+b+c,),a,=,a,2,+,ab,+,ac,=1+12cos120+13cos120=,，,又,|,a+b+c,|,2,=(,a+b+c,),2,=,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,ac,+2,bc,=1+4+9+212cos120+213,cos120+223cos120=3,，,题型,3,向量的夹角,19,所以,|,a+b+c,|=.,设,a+b+c,与,a,的夹角为,，,则,又,0,，,，所以,=.,故向量,a+b+c,与,a,的夹角为,.,20,点评：,求两向量的夹角，就是先利用数量积与模的积之比求得夹角的余弦值，而数量积与模的积又是通过基本向量之间的和、差、数量积运算而求得，这正体现了运算的综合性与交互性,.,21,22,23,24,1.,向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题,.,2.,向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题,.,在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算,.,25,在字符运算中求向量的夹角，一般先利用数量积的定义求夹角的余弦，再根据夹角的范围求向量的夹角,.,3.,通过向量的字符运算求值时，要注意利用方程思想求解，即把所求的量看作一个未知数，通过解方程求这个未知数的值,.,它在求数量积、参数值、夹角、模等问题中有着广泛的应用,.,26,