高三数学高考二轮复习专题课件7：函数与方程 课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,函数与方程的关系,(,会借助图象解决有关根的个数,的问题,).,2.,数学建模,(,把实际问题转化成数学问题,).,3.,数形结合思想在解答数学问题中的应用,.,学案,7,函数与方程及函数的实际应用,1.(2009,福建,),函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的图象关于,直线 对称,.,据此可推测，对任意的非零实数,a,b,c,m,n,p,关于,x,的方程,m,f,(,x,),2,+,nf,(,x,)+,p,=0,的解集,不可能是 （）,A.1,2 B.1,4,C.1,2,3,4 D.1,4,16,64,解析,本题用特例法解决简洁快速,对方程,m,f,(,x,),2,+,nf,(,x,)+,p,=0,中,m,n,p,分别赋值求出,f,(,x,),代入,f,(,x,)=0,求出,检验即得,.,D,2.(2008,安徽,),若函数,f,(,x,),、,g,(,x,),分别为,R,上的奇函,数、偶函数,且满足,f,(,x,)-,g,(,x,)=e,x,，则有 （）,A.,f,(2),f,(3),g,(0)B.,g,(0),f,(3),f,(2),C.,f,(2),g,(0),f,(3)D.,g,(0),f,(2),f,(3),解析,由题意得,f,(-,x,)-,g,(-,x,)=e,-,x,，又,f,(,x,),为奇函数，,g,(,x,),为偶函数,所以上式可化为,-,f,(,x,)-,g,(,x,)=e,-,x,与已,知,f,(,x,)-,g,(,x,)=e,x,联立得,所以,f,(,x,),在定义域,R,上,为增函数,所以,0=,f,(0),f,(2),f,(3).,又,g,(0)=-1,0,所以,g,(0),f,(2),f,(3,）,.,D,3.(2009,北京,),已知函数 若,f,(,x,)=2,则,x,=_.,解析,log,3,2,4.,若函数,f,(,x,),为奇函数,当,x,0,时,f,(,x,)=-lg(-,x,)+,x,+3,已知,f,(,x,)=0,有一个根为,x,0,，且,x,0,(,n,n,+1),n,N,*,则,n,的值为,_.,解析,设,x,0,则,-,x,0,所以,f,(-,x,)=-lg,x,-,x,+3,又因为,函数,f,(,x,),为奇函数,所以,f,(-,x,)=-,f,(,x,),则,x,0,时,f,(,x,)=lg,x,+,x,-3,又,f,(,x,),在,(0,+),上是增函数,由,f,(2)=lg 2-1,0,f,(3)=lg 3,0,所以,x,0,(2,3),，则,n,=2.,2,题型一 方程根的有关问题,【,例,1】(2009,山东,),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),，,且满足,f,(,x,-4)=-,f,(,x,),且在区间,0,2,上是增函数,若,方程,f,(,x,)=,m,(,m,0),在区间,-8,8,上有四个不同的根,x,1,x,2,x,3,x,4,则,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=_.,解析,因为定义在,R,上的奇函数,满足,f,(,x,-4)=-,f,(,x,),所,以,f,(,x,-4)=,f,(-,x,),所以函数图象关于直线,x,=-2,对称且,f,(0)=0,由,f,(,x,-4)=-,f,(,x,),知,f,(,x,-8)=,f,(,x,),所以函数是以,8,为周期的周期函数,又因为,f,(,x,),在区间,0,2,上是增,函数,所以,f,(,x,),在区间,-2,，,0,上也是增函数,.,如图所示，那么方程,f,(,x,)=,m,(,m,0),在区间,-8,8,上,有四个不同的根,x,1,x,2,x,3,x,4,不妨设,x,1,x,2,x,3,x,4,，,由对称性知，,x,1,+,x,2,=-12,x,3,+,x,4,=4,所以,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=-12+4=-8.,答案,-8,【,探究拓展,】,由函数图象解答方程问题,可运用数形,结合的思想和函数的思想,.,变式训练,1,设定义域为,R,的函数,若关于,x,的方程,f,2,(,x,)+,af,(,x,)+,b,=0,有三个不同的实根,x,1,x,2,x,3,则 的值为,_.,解析,由图象可知若方程,f,2,(,x,)+,af,(,x,)+,b,=0,有三个不同,的实根只须,f,(,x,)=1,所以必有一根为,2,另两根是方程,的根,这两根分别是,1,和,3.,14,题型二 函数思想的应用,【,例,2】,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(1),若,a,b,c,且,a,+,b,+,c,=0,试证明,f,(,x,)=0,必有两个实根,;,(2),若对,x,1,，,x,2,R,且,x,1,x,2,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),试证明方程,f,(,x,)=,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),有两不等实根,且必有一个实根,属于,(,x,1,x,2,).,证明,(1),若,a,b,c,a,+,b,+,c,=0,则,a,0,c,0,且,b,=-(,a,+,c,),所以方程,f,(,x,)=0,可化为,:,ax,2,-(,a,+,c,),x,+,c,=0,即,a,(,x,-1)(,x,-)=0,则,f,(,x,)=0,有两根,x,1,=1,x,2,=,(2),令,g,(,x,)=,f,(,x,)-,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),由题意可知,:,g,(,x,),是开口向上的二次函数,又,g,(,x,1,)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,),g,(,x,2,)=,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,),且,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以,g,(,x,1,),g,(,x,2,)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,),2,0,当,k,1,时,方程,(*),有一解,=4-4,m,(1-,k,)=0,【,探究拓展,】,此题考查了函数的最值、一元二次方,程等基础知识，运用导数研究函数的性质的方法，,体现了函数与方程，分类与整合的数学思想方法,.,变式训练,3,已知定义域为,R,的函数,f,(,x,),满足,f,(,f,(,x,)-,x,2,+,x,)=,f,(,x,)-,x,2,+,x,.,(1),若,f,(2)=3,求,f,(1);,又若,f,(0)=,a,求,f,(,a,);,(2),设有且仅有一个实根,x,0,使得,f,(,x,0,)=,x,0,求函数,f,(,x,),的解析表达式,.,解,(1),因为对任意,x,R,有,f,(,f,(,x,)-,x,2,+,x,)=,f,(,x,)-,x,2,+,x,.,所以,f,(,f,(2)-2,2,+2)=,f,(2)-2,2,+2.,又由,f,(2)=3,得,f,(3-2,2,+2)=3-2,2,+2,即,f,(1)=1,若,f,(0)=,a,则,f,(,a,-0,2,+0)=,a,-0,2,+0,即,f,(,a,)=,a,.,(2),因为对任意,x,R,有,f,(,f,(,x,)-,x,2,+,x,)=,f,(,x,)-,x,2,+,x,.,又因为有且只有一个实数,x,0,使得,f,(,x,0,)=,x,0,.,所以对任意,x,R,有,f,(,x,)-,x,2,+,x,=,x,0,.,在上式中令,x,=,x,0,有,f,(,x,0,)-+,x,0,=,x,0,.,又因为,f,(,x,0,)=,x,0,所以,x,0,-=0,故,x,0,=0,或,x,0,=1,若,x,0,=0,则,f,(,x,)-,x,2,+,x,=0,即,f,(,x,)=,x,2,-,x,.,但方程,x,2,-,x,=,x,有两个不相同实根,与题设条件矛盾,.,故,x,0,0.,若,x,0,=1,则有,f,(,x,)-,x,2,+,x,=1,即,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1.,易验证该函数满足题设条件,.,综上,所求函数,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1(,x,R).,题型四 函数的实际应用,【,例,4,】(2009,山东,),两县城,A,和,B,相距,20 km,现计划,在两县城外以,AB,为直径的半圆弧 上选择一点,C,建,造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市,的距离有关,对城,A,和城,B,的总影响度为对城,A,与对城,B,的影响之和,记,C,点到城,A,的距离为,x,km,建在,C,处的,垃圾处理厂对城,A,和城,B,的总影响度为,y,，统计调查表,明,:,垃圾处理厂对城,A,的影响度与所选地点到城,A,的距,离的平方成反比，比例系数为,4;,对城,B,的影响度与所,选地点到城,B,的距离的平方成反比，比例系数为,k,当,垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城,A,和城,B,的总影,响度为,0.065.,(1),将,y,表示成,x,的函数,;,(2),讨论,(1),中函数的单调性,并判断弧 上是否存在,一点，使建在此处的垃圾处理厂对城,A,和城,B,的总影,响度最小,?,若存在,求出该点到城,A,的距离,;,若不存在,说明理由,.,解,(1),如图所示,由题意知,AC,BC,即,ACB,=90,AC,=,x,km,，,BC,2,=400-,x,2,其中当 时,y,=0.065,所以,k,=9.,所以,y,表示成,x,的函数为,18,x,4,=8(400-,x,2,),2,所以,x,2,=160,x,=,当,0,x,时,18,x,4,8(400-,x,2,),2,即,y,0,所以函数为单调减函数,当 ,x,20,时,18,x,4,8(400-,x,2,),2,即,y,0,所以函数为单调增函数,.,所以当,x,=,时,即当,C,点到城,A,的距离为 时,【,探究拓展,】,本题主要考查了函数在实际问题中的应,用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换,元法和基本不等式研究函数的单调性等问题,.,变式训练,4,(2009,湖南,),某地建一座桥,两端的桥墩,已建好,这两墩相距,m,米,余下工程只需建两端桥墩之,间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为,256,万元,距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为,(2+,),x,万元,.,假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为,点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式,;,(2),当,m,=640,米时,需新建多少个桥墩才能使,y,最小,?,解,(1),设需要新建,n,个桥墩,(,n,+1),x,=,m,令,f,(,x,)=0,得 所以,x,=64.,当,0,x,64,时，,f,(,x,),0,f,(,x,),在区间,(0,64),内为减,函数,;,当,64,x,640,时,f,(,x,),0,f,(,x,),在区间,(64,640),内为增函数,所以,f,(,x,),在,x,=64,处取得最小值,此时,故需新建,9,个桥墩才能使,y,最小,.,【,考题再现,】,(2009,江西,),设函数,f,(,x,)=,x,3,-,x,2,+6,x,-,a,.,(1),对于任意实数,x,f,(,x,),m,恒成立,求,m,的最大值,;,(2),若方程,f,(,x,)=0,有且仅有一个实根,求,a,的取值范围,.,【,解题示范,】,解,(1),f,(,x,)=3,x,2,-9,x,+6=3(,x,-1)(,x,-2),2,分,因为,x,(-,+),f,(,x,),m,即,3,x,2,-9,x,+(6-,m,)0,恒成立,4,分,所以,=81-12(6-,m,)0,得,m,即,m,的最大值为,6,分,(2),因为当,x,1,时,f,(,x,),0;,当,1,x,2,时,f,(,x,),0;,当,x,2,时,f,(,x,),0;,所以当,x,=1,时,f,(,x,),取极大值,f,(1)=-,a,;,9,分,当,x,=2,时,f,(,x,),取极小值,f,(2)=2-,a,;,10,分,故当,f,(2),0,或,f,(1),0,时,方程,f,(,x,)=0,仅有一个实根,.,解得,a,2,或,a,12,分,1.,在解决数学建模的有关问题时，一定要弄清题意，,分清条件和结论,理顺数量关系,;,将文字语言翻译成,数学语言,再变换成符号语言,进而根据题意列出相,应的等式求解,将用数学方法得到的结论还原为实际,问题，切记所求结论要符合客观实际,.,2.,常见重要的数学模型有：（,1,）二次函数解决有关,最值问题；（,2,）分式函数模型：,y,=,x,+(,x,0),给定,区间上结合单调性解决最值问题,;,（,3,）应用,y,=,N,(,H,+,p,),x,的模型解决有关增长率及利息等问题,.,3.,在解决函数与方程的有关问题时，常常利用数形结,合思想进行解答,.,一、选择题,1.,设函数,f,(,x,)=log,a,(,x,+,b,)(,a,0,a,1),的图象过点,(2,1),其反函数的图象过点,(2,8),则,a,+,b,等于 （）,A.6 B.5 C.4 D.3,解析,函数,f,(,x,)=log,a,(,x,+,b,)(,a,0,a,1),的图象过点,(2,1),其反函数的图象过点,(2,8),则原函数图象过,点,(8,2).,a,=3,或,a,=-2(,舍,),b,=1.,a,+,b,=4.,C,2.,客车从甲地以,60 km/h,的速度行驶,1,小时到达乙地，,在乙地停留了半小时，然后以,80 km/h,的速度行驶,1,小时到达丙地,.,下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程,s,与时间,t,之间的关系图象,中,正确的是 （）,解析,由题意可知客车在整个过程中的路程函数,s,(,t,),的表达式为,:,对比各选项的曲线知应选,B.,答案,B,3.(2008,辽宁,),设,f,(,x,),是连续的偶函数,且当,x,0,时是,单调函数,则满足 的所有,x,之和为,(),A.-3 B.3 C.-8 D.8,解析,因为,f,(,x,),是连续的偶函数,且,x,0,时是单调函,数,由偶函数的性质可知若 只有两种情,况,:,由知,x,2,+3,x,-3=0,故两根之和为,x,1,+,x,2,=-3.,由知,x,2,+5,x,+3=0,，故其两根之和为,x,3,+,x,4,=-5.,因此满足条件的所有,x,之和为,-8.,C,4.,若函数,y,=,f,(,x,)(,x,R),满足,f,(,x,+2)=,f,(,x,),且,x,-1,1,时,f,(,x,)=|,x,|,则方程,f,(,x,)-|log,5,|,x,|=0,的实数解的个,数是 （）,A.5 B.6 C.10 D.12,解析,因,f,(,x,+2)=,f,(,x,),所以,f,(,x,),是以,2,为周期的函数,且,x,-1,1,时,f,(,x,)=|,x,|,在同一坐标系下画出函数,f,(,x,),及函数,y,=|log,5,|,x,|,的图象，则两图象的交点个,数,即为方程,f,(,x,)-|log,5,|,x,|=0,的实数解的个数,.,C,5.(2008,陕西,),定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,+,y,)=,f,(,x,),+,f,(,y,)+2,xy,(,x,y,R),f,(1)=2,则,f,(-3),等于,(),A.2 B.3 C.6 D.9,解析,f,(1)=,f,(0+1)=,f,(0)+,f,(1)+2,0,1,=,f,(0)+,f,(1),f,(0)=0.,f,(0)=,f,(-1+1)=,f,(-1)+,f,(1)+2,(-1),1,=,f,(-1)+,f,(1)-2,f,(-1)=0.,f,(-1)=,f,(-2+1)=,f,(-2)+,f,(1)+2,(-2),1,=,f,(-2)+,f,(1)-4,f,(-2)=2.,f,(-2)=,f,(-3+1)=,f,(-3)+,f,(1)+2,(-3),1,=,f,(-3)+,f,(1)-6,f,(-3)=6.,C,6.,已知圆,C,:,x,2,+,y,2,=4(,x,0,，,y,0),与函数,f,(,x,)=log,2,x,，,g,(,x,)=2,x,的图象分别交于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,等于,(),A.16 B.8 C.4 D.2,解析,由题意可知,:,其函数图象,如右图所示，因为函数,f,(,x,),，,g,(,x,),互为反函数所以其图象关,于直线,l,:,x,-,y,=0,对称，因交点为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),所以,x,2,=,y,1,.,即,C,二、填空题,7.,已知函数 且,f,(2)=,f,(0),f,(3),=9,则关于,x,的方程,f,(,x,)=,x,的解的个数为,_.,解析,由,f,(2)=,f,(0),得,b,=-4,再由,f,(3)=9,得,c,=3,当,x,0,时,f,(,x,)=,x,即,2,x,2,-5,x,+3=0,解得,x,=,或,x,=1;,当,x,0,时,3=,x,方程无解,.,2,8.,关于,x,方程,|,x,2,-4,x,+3|-,a,=,x,有,3,个不等的实数根，则实,数,a,的取值范围是,_.,解析,因原方程可整理为,|(,x,-2),2,-1|=,x,+,a,，在同一坐,标系下画出函数,f,(,x,)=|(,x,-2),2,-1|,及,y,=,x,+,a,的图象，由,图象可知：,当,a,=-1,时，原方程有,3,个不等的实数根；,消去,y,，令,=0,得,综上可知,:,a,=-1,或,9.,某地区预计,2009,年的前,x,个月内对某种商品的需求,总量,f,(,x,)(,万件,),与月份,x,的近似关系式是,f,(,x,)=,x,(,x,+1),(19-,x,)(,x,N,*,1,x,12),若,2009,年的第,x,月份的需求量,g,(,x,)(,万件,),最大,则,x,的值是,_.,解析,由题意可知：,g,(,x,)=,f,(,x,)-,f,(,x,-1),=,x,(,x,+1)(19-,x,)-(,x,-1),x,(20-,x,),此时,x,=6,或,7.,6,或,7,10.,f,(,x,),是定义在,R,上的以,3,为周期的奇函数,且,f,(2)=0,则方程,f,(,x,)=0,在区间,(0,6),内解的个数的最小值是,_.,解析,由题意可得,:,f,(4)=,f,(1)=,f,(-2)=,f,(2)=,f,(5),，,f,(0)=,f,(3)=,f,(6)=0,即在区间,(0,6),内,f,(,x,)=0,的解的个数是,5,；,又,f,(,x,+3)=,f,(,x,),令,x,=,所以方程在区间,(0,6),内解的个数的最小值是,7.,7,三、解答题,11.,设函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,且,f,(1)=,3,a,2,c,2,b,求证,:,(2),设,x,1,，,x,2,是方程,f,(,x,)=0,的两个实根，则,证明,(1),因为,f,(1)=,则,3,a,+2,b,+2,c,=0,又,3,a,2,c,2,b,所以,(2),因为,x,1,x,2,是方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的两根,12.,（,2008,江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形,ABCD,的顶点,A,，,B,及,CD,的中点,P,处，已知,AB,=20 km,CB,=10 km,，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形,ABCD,的区域上,(,含边界,),且与,A,，,B,等距离的一点,O,处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,AO,，,BO,，,OP,，设排污管道的总长为,y,km.,(1),按下列要求写出函数关系式：,设,BAO,=,（,rad,），将,y,表示成 的函数关系式,设,OP,=,x,(km),将,y,表示成,x,的函数关系式,(2),请你选用,(1),中的一个函数关系式，确定污水处,理厂的位置，使三条排污管道总长度最短,.,解,(1),由条件知,PQ,垂直平分,AB,若,OP,=,x,(km),则,OQ,=(10-,x,)(km),故所求函数关系式为,(2),选择函数模型,这时点,O,位于线段,QB,中垂线上,且距离,AB,边,km,处,.,返回,