高三数学高考专题十 空间角与距离的计算与证明 试题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,湖南长郡卫星远程学校,2005,空间角与距离的计算与证明,第一课时：,空间角,第一课时：,空间角,课前导引,1.,四面体,ABCD,中，,AB,、,CD,所成的角为,60,，,E,、,F,、,G,分别为,BC,、,AC,、,AD,中点，若,AB,=,CD,=2,，则,EG,=_.,第一课时：,空间角,课前导引,1.,四面体,ABCD,中，,AB,、,CD,所成的角为,60,，,E,、,F,、,G,分别为,BC,、,AC,、,AD,中点，若,AB,=,CD,=2,，则,EG,=_.,解析,EFG,中，,EFG,=60,或,120,，则,EG,=2,或,.,第一课时：,空间角,课前导引,2.,两异面直线,a,b,所成角为,60,，过空间一点,P,作与,a,、,b,都成,25,（或,30,或,40,或,60,或,80,或,90,）的直线，分别可作,_,条,.,2.,两异面直线,a,b,所成角为,60,，过空间一点,P,作与,a,、,b,都成,25,（或,30,或,40,或,60,或,80,或,90,）的直线，分别可作,_,条,.,答案：,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,1.,考点搜索,1.,掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；,2.,能熟练地在图形中找出相关的角并证明；,3.,能用向量方法和非向量方法进行计算；,考点搜索,链接高,考,例,1,（,2004,全国卷）已知球,O,的半径为,1,，,A,、,B,、,C,三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心,O,到平面,ABC,的距离为,(),链接高,考,例,1,（,2004,全国卷）已知球,O,的半径为,1,，,A,、,B,、,C,三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心,O,到平面,ABC,的距离为,(),B,链接高,考,例,1,（,2004,年天津卷）在棱长为,2,的正方体中中，,O,是底面,ABCD,的中心，,E,、,F,分别是、,AD,的中点,.,那么异面直线,OE,和 所成的角的余弦值等于,(),例,1,（,2004,年天津卷）在棱长为,2,的正方体中中，,O,是底面,ABCD,的中心，,E,、,F,分别是、,AD,的中点,.,那么异面直线,OE,和 所成的角的余弦值等于,(),解析,利用空间向量求解较简便,.,例,1,（,2004,年天津卷）在棱长为,2,的正方体中中，,O,是底面,ABCD,的中心，,E,、,F,分别是、,AD,的中点,.,那么异面直线,OE,和 所成的角的余弦值等于,(),解析,利用空间向量求解较简便,.,B,例,2,（,2005,湖南卷）已知,ABCD,是上、下底边长分别为,2,和,6,，高为的等腰梯形，将它沿对称轴,OO,1,折成直二面角，,(),证明：,AC,BO,1,；,(),求二面角,O,AC,O,1,的大小,.,法一,法二,例,3,（,2005,全国卷一）已知四棱锥,P,-,ABCD,的底面为直角梯形，,AB,DC,，底面,ABCD,，且,PA,=,AD,=,DC,=,AB,=1,，,M,是,PB,的中点,.(),证明：面,PAD,面,PCD,；,(),求,AC,与,PB,所成的角；,(),求面,AMC,与面,BMC,所成二面角的大小,.,(),求面,AMC,与面,BMC,所成二面角的大小,.,法一,法二,如图建立空间直角坐标系,(III),在,MC,上取一点,N,(,x,，,y,，,z,),则存在,R,使,方法论坛,1.,两条异面直线所成的角：,平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；,先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角,.,或者说，若,cos,x,，则这两条异面直线所成的角为,arccos|,x,|.,方法论坛,2.,直线和平面所成的角：,“,一找二证三求,”,，三步都必须要清楚地写出来,.,向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角,，而所要求的,角为,3.,平面与平面所成的角,:,“,一找二证三求,”,.,一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角,.,射影面积法：,要注意所求角为,或,；,向量法,:,先求两个平面的法向量所成的角为,，那么这两个平面所成的二面角的平面角为,或,.,或者先求出二面角的平面角的两边的方向向量所成的角,，而二面角的大小为,或,.,注意：,(1),在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便,.,(2),用非向量方法求角时，要做到,“,一找二证三求,”,，在解题过程中一定要出现形如,“,就是所要求的角,”,的句子,.,长郡演练,B,组,长郡演练,B,组,解析,第二课时：,空间距离,课前导引,第二课时：,空间距离,1.,Rt,ABC,两直角边,BC,=3,，,AC,=4,，,PC,面,ABC,，且,PC,=,，则点,P,到斜边,AB,的距离为,_.,课前导引,第二课时：,空间距离,1.,Rt,ABC,两直角边,BC,=3,，,AC,=4,，,PC,面,ABC,，且,PC,=,，则点,P,到斜边,AB,的距离为,_.,简评,先利用三垂线定理找出点,P,到,AB,的垂线段,.,课前导引,第二课时：,空间距离,1.,Rt,ABC,两直角边,BC,=3,，,AC,=4,，,PC,面,ABC,，且,PC,=,，则点,P,到斜边,AB,的距离为,_.,简评,先利用三垂线定理找出点,P,到,AB,的垂线段,.,3,课前导引,第二课时：,空间距离,2.,正四面体,ABCD,棱长为,a,，动点,P,、,Q,分别在线段,AB,、,CD,上，则,|,PQ,|,的最小值是,_,_,_.,2.,正四面体,ABCD,棱长为,a,，动点,P,、,Q,分别在线段,AB,、,CD,上，则,|,PQ,|,的最小值是,_,_,_.,简评,线段,AB,、,CD,的中点连线即为其公垂线段，而,|,PQ,|,的最小值就是异面直线,AB,、,CD,的距离,.,2.,正四面体,ABCD,棱长为,a,，动点,P,、,Q,分别在线段,AB,、,CD,上，则,|,PQ,|,的最小值是,_,_,_.,简评,线段,AB,、,CD,的中点连线即为其公垂线段，而,|,PQ,|,的最小值就是异面直线,AB,、,CD,的距离,.,链接高,考,例,1,（,2004,年全国卷）已知球,O,的半径为,1,，,A,、,B,、,C,三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ，则球,心,O,到平面,ABC,的距离为,(),链接高,考,例,1,（,2004,年全国卷）已知球,O,的半径为,1,，,A,、,B,、,C,三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ，则球,心,O,到平面,ABC,的距离为,(),B,链接高,考,例,2,（,2005,全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有,(),A.3,个,B.4,个,C.6,个,D.7,个,例,2,（,2005,全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有,(),A.3,个,B.4,个,C.6,个,D.7,个,D,例,2,（,2004,年江苏卷）在棱长为,4,的正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是正方,A,1,B,1,C,1,D,1,的中心，点,P,在棱,CC,1,上，且,CC,1,=4,CP,.,(I),求直线,AP,与平面,BCC,1,B,1,所成的角的大小,(,结果用反三角函数值表示,),；,(II),设,O,点在平面,D,1,AP,上的射影是,H,求证：,D,1,H,AP,；,(III),求点,P,到平面,ABD,1,的距离,.,解析,在线探究,1.(,高中数学教材第二册下,B,第,51,页,),已知正方体,ABCD,-,ABCD,的棱长为,1,，求直线,DA,与,AC,的距离,.,在线探究,1.(,高中数学教材第二册下,B,第,51,页,),已知正方体,ABCD,-,ABCD,的棱长为,1,，求直线,DA,与,AC,的距离,.,在线探究,分析：,如果能找到,DA,与,AC,的公垂线段，则用非向量方法也可，只需解直角三角形,.,下面提供向量的两种解法,.,法一,设,PQ,为,AC,与,DA,的公垂线段,且,AP=x,，,AQ=y,，则,A,B,C,D,A,B,C,D,P,Q,A,B,C,D,A,B,C,D,P,Q,法二,如图建立直角坐标系,.,设,PQ,为,AC,与,DA,的公垂线段，点,P,和,Q,坐标分别为，则,A,B,C,D,A,B,C,D,(,O,),P,Q,y,x,z,方法论坛,重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离,.,1.,两点的距离：,(1),通常构造直角三角形解决；,方法论坛,2.,两条异面直线的距离,:,(1),如果已经找到或者容易找到两条异面直线的公垂线，则转化成求公垂线段的长度；,(2),向量法：利用公式,(,其中,A,、,B,分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）,3.,点到平面的距离,:,(1,)“,一找二证三求,”,.,一找：找到经过这个点与平面垂直的线段；二证：证明这条线段与平面垂直；三求：一般通过解直角三角形求出点到平面的距离,.,(2),等体积法,.,(3),向量法：利用公式,(,其中,A,为已知点，,B,为这个平面内的任意一点，为这个平面的法向量）,注意,(1),在求距离时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，或者比较容易将其他向量用三个不共面向量来表示，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便,.,(2),用非向量方法求距离时，要做到,“,一找二证三求,”,，在解题过程中一定要出现形如,“,线段,OA,的长度即为点,O,到平面的距离,”,的句子,.,长郡演练,B,组,1.,在四棱锥,P,-,ABCD,中，底面,ABCD,是矩形，,PA,底面,ABCD,，,PA,=,AB,=1,，,BC,=2.,求证：,(1),平面,PDC,平面,PAD,；,(2),若,E,是,PD,的中点，求异面直线,AE,与,PC,所成角的余弦；,(3),在,BC,边上是否存在一点,G,，使得,D,点到平面,PAG,的距离为,1,，如果存在，求出,BG,的值，如果不存在，说明理由,.,长郡演练,B,组,解析,(1),证,CD,平面,PAD,；,(2),取,CD,中点,F,，用余弦定理求得,则异面直线,AE,与,PC,所成角的余弦为,(3),若存在，设,BG=x,，利用,V,P-AGD,=,V,D-PAG,，求得,.,所以当时，,D,点到平面,PAG,的距离为,1.,