高中数学 第四章 圆与方程 423 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,4.2.3,直线与圆的方程的应用,用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,【,思考,】,利用坐标法解决直线与圆的问题时,建立坐标系需要遵循的原则是什么,?,提示,:,一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标轴、原点建系,如果图形没有对称性,则利用图形中的边为坐标轴,尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴上,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”,错的打“,”),(1),用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建,.(,),(2),圆,O,上一动点,M,与圆,O,外一定点,P,的距离的最小值为,|PO|-|OM|.(,),(3),已知点,P(x,1,y,1,),和,Q(x,2,y,2,),若,x,1,=x,2,y,1,y,2,则,PQ,与,x,轴垂直,.(,),【,提示,】,(1),.,建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系,.,(2).,数形结合可知,当,P,O,M,三点共线,且,M,在,P,O,之间时,距离最小,.,(3).,若,x,1,=x,2,y,1,y,2,则直线,PQ,的斜率不存在,直线,PQ,与,x,轴垂直,.,2.,方程,y=,对应的曲线是,(,),【,解析,】,选,A.,由方程,y=,得,x,2,+y,2,=4(y0),它,表示的图形是圆,x,2,+y,2,=4,在,x,轴以下的部分,.,3.,如图,圆弧形拱桥的跨度,AB=12,米,拱高,CD=4,米,则拱桥的直径为,_.,【,解析,】,设圆心为,O,半径为,r,则由勾股定理得,OB,2,=,OD,2,+BD,2,即,r,2,=(r-4),2,+6,2,解得,r=,所以拱桥的直径,为,13,米,.,答案,:,13,米,类型一直线与圆的实际应用问题,【,典例,】,为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪,储备基地,(,如图所示,),它的附近有一条公路,.,从基地中,心,O,处向东走,1 km,是储备基地的边界上的点,A,接着向东,再走,7 km,到达公路上的点,B;,从基地中心,O,向正北走,8 km,到达公路的另一点,C.,现准备在储备基地的边界上选一点,D,修建一条由,D,通往公路,BC,的专用线,DE,求,DE,的最短距离,.,【,思维,引,】,建立坐标系,写出直线,BC,的方程,点,O,到直线,BC,的距离减去半径,即为,DE,的最短距离,.,【,解析,】,以,O,为坐标原点,过,OB,OC,所在的直线分别为,x,轴和,y,轴建立平面直角坐标系,(,图略,),则圆,O,的方程为,x,2,+y,2,=1.,因为点,B(8,0),C(0,8),所以直线,BC,的方程为,=1,即,x+y=8.,当点,D,为与直线,BC,平行的直线,(,距,BC,较近的一条,),与圆的切点时,|DE|,为最短距离,此时,DE,的,长为,-1=(4 -1)km.,【,类题,通,】,求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤,(1),认真审题,明确题意,.,(2),建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程,.,(3),利用直线与圆的方程的有关知识求解问题,.,(4),把代数结果还原为实际问题的解,.,提醒,:,在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时要注意范围,.,【,习练,破,】,如图所示,l,是东西走向的一条水管,在水管北侧有两个,半径都是,10 m,的圆形蓄水池,A,B(A,B,分别为蓄水池的圆,心,),经测量,点,A,B,到水管,l,的距离分别为,55 m,和,25 m,AB=50 m.,以,l,所在直线为,x,轴,过点,A,且与,l,垂直的直线为,y,轴,建立如图所示的平面直角坐标系,(O,为坐标原点,).,(1),求圆,B,的方程,.,(2),计划在水管,l,上的点,P,处安装一接口,并从接口出发铺设两条水管,将,l,中的水,引到,A,B,两个蓄水池中,问点,P,到点,O,的距离为多少时,铺设的两条水管总长度最小,?,并求出该最小长度,.,【,解析,】,(1),过点,B,作,BCOA,于点,C,如图所示,则在,RtABC,中,AB=50,AC=55-25=30,所以,BC=40.,又,B,到,x,轴的距离为,25,所以,B(40,25),所以圆,B,的方程为,(x-40),2,+(y-25),2,=100.,(2),设圆,A,关于,x,轴对称的圆为圆,D,则圆,D:x,2,+(y+55),2,=100,D(0,-55).,又,B(40,25),所以,k,DB,=2,所以直线,BD,的方程为,2x-y-55=0.,因为,|AP|=|DP|,所以,|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以当点,D,P,B,三点共线时,|DP|+|BP|,最小,即,|AP|+|BP|,最小,最,小值为,|BD|=,由 解得 即点,P,到点,O,的距离为,m,时,铺设的两条水管总长度最小,最小为,(40 -,20)m.,【,加练,固,】,如图,一座圆拱桥,当水面在,m,位置时,拱顶离水面,2,米,水面宽,12,米,.,当水面下降,1,米后水面宽多少米,?,【,解析,】,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为,y,轴,建立直角坐标系,设圆心为,C,水面所在弦的端点为,A,B,则由已知可得,:,A(6,-2),设圆的半径为,r,则,C(0,-r),即圆的方程为,x,2,+(y+r),2,=r,2,.,将,A,的坐标代入圆的方程可得,r=10,所以,圆的方程是,:x,2,+(y+10),2,=100,则当水面下降,1,米后可设,A,的坐标为,(x,0,-3)(x,0,0),代入圆的方程可得,x,0,=,所以当水面下降,1,米后,水面宽为,2,米,.,类型二坐标法的应用,【,典例,】,如图,在,ABC,中,D,E,F,分别为,BC,AC,AB,的中,点,用坐标法证明,:(|AB|,2,+|BC|,2,+|AC|,2,)=|AD|,2,+,|BE|,2,+|CF|,2,.,【,思维,引,】,建立直角坐标系,设出点,A,B,C,D,的坐标,利用已知关系确定坐标关系即可,.,【,解析,】,以,B,为原点,BC,为,x,轴建立平面直角坐标系如图所示,:,设,C(a,0),A(b,c),则 由左边公,式可得,左边,=(|AB|,2,+|BC|,2,+|AC|,2,)=(b,2,+c,2,+a,2,+a,2,-2ab+b,2,+c,2,)=(a,2,+b,2,+c,2,-ab),同理可得,右边,=|AD|,2,+|BE|,2,+|CF|,2,=,=(a,2,+b,2,+c,2,-ab),所以,(|AB|,2,+|BC|,2,+,|AC|,2,)=|AD|,2,+|BE|,2,+|CF|,2,.,【,内化,悟,】,利用坐标法证明几何问题有什么优点,?,提示,:,将图形关系证明转化为坐标计算,简化了烦琐的几何证明过程,.,【,类题,通,】,坐标法建立直角坐标系应坚持的原则,(1),若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为,x,轴和,y,轴,.,(2),充分利用图形的对称性,.,(3),让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称,.,(4),关键点的坐标易于求得,.,【,习练,破,】,已知点,P,为正方形,ABCD,内一点,且满足,PAB=PBA=,15,用坐标法证明,PCD,为等边三角形,.,(tan 15=2-),【,证明,】,设正方形的边长为,2,以,P,为坐标原点建立如图所示的坐标系,则,B(1,-tan15,),C(1,2-tan15,),D(-1,2-tan15,),因为,tan15,=2-,所以,C(1,),D(-1,),所以,|PC|=|PD|=|CD|=2,所以,PCD,为等边三角形,.,【,加练,固,】,在,ABC,中,D,是,BC,边上任意一点,(D,与,B,C,不重合,),且,|AB|,2,=|AD|,2,+|BD|DC|,求证,:ABC,为等腰三角形,.,【,证明,】,如图,作,AOBC,垂足为,O,以,BC,所在直线为,x,轴,以,OA,所在直线为,y,轴,建立直角坐标系,.,设,A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为,|AB|,2,=|AD|,2,+|BD|,|DC|,所以由两点间的距离公式,得,b,2,+a,2,=d,2,+a,2,+(d-b)(c-d),即,-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),又,d-b0,故,-b-d=c-d,即,-b=c,所以,ABC,为等腰三角形,.,类型三与圆相关的最值问题,角度,1,利用几何意义求最值,【,典例,】,(2019,抚顺高一检测,),已知方程,x,2,+y,2,+4x-2y-4=0,则,x,2,+y,2,的最大值是,(,),A.6,B.3+,C.14+6,D.14,【,思维,引,】,利用,x,2,+y,2,=,的几何意,义求最值,.,【,解析,】,选,C.,方程,x,2,+y,2,+4x-2y-4=0,变形为,(x+2),2,+(y-1),2,=9,表示圆心为,(-2,1),半径为,3,的圆,画出相应的图形,如图所示,:,连接,OB,并延长,与圆,B,交于,A,点,此时,x,2,+y,2,的最大值为,|AO|,2,又,|AO|=|AB|+|BO|=,则,|AO|,2,=(3+),2,=14+6 ,即,x,2,+y,2,的最大值为,14+6 .,【,素养,探,】,在利用几何意义求最值时,常常用到核心素养中的直观想象,可以将式子变形,赋予其几何意义,再利用几何性质求最值,.,本例的条件不变,试求,|x+y+6|,的最小值,.,【,解析,】,|x+y+6|=,表示圆上点到直线,x+y+6=0,的距离的 倍,最小为圆心到直线的距离减,半径的 倍,即,角度,2,与切线相关的最值,【,典例,】,点,P,在直线,4x+3y+20=0,上,PA,PB,与圆,x,2,+y,2,=4,相切于,A,B,两点,则四边形,PAOB,面积的最小值为,_.,【,思维,引,】,利用切线的性质表示出面积,确定决定面积最值的量,从而求该量的最小值,.,【,解析,】,根据题意,圆的方程为,x,2,+y,2,=4,则圆心,(0,0),半径,r=2,又由,|PA|=|PB|,PAOA,PBOB,则,S,四边形,PAOB,=2S,PAO,=2,|PA|,|,AO|=2PA,在,RtPAO,中,有,|PA|,2,=|PO|,2,-,r,2,=|PO|,2,-4,则当,PO,最小时,PA,最小,此时所求的面积也最,小,点,P,是直线,4x+3y+20=0,上的动点,则,PO,的最小值为,d=,=4,PA,的最小值为 故,S,四边形,PAOB,=2PA4 .,答案,:,4,【,类题,通,】,1.,利用直线与圆的方程解决最值问题的方法,(1),由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有斜率、截距、距离等,.,(2),转化成函数解析式,利用函数的性质解决,.,2.,涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数,形结合求解,一般地,:,(1),形如,u=,形式的最值问题,可转化为动直线斜,率的最值问题,.,(2),形如,(x-a),2,+(y-b),2,形式的最值问题,可转化为点,(x,y),与点,(a,b),的距离最值问题,.,(3),形如,|Ax+By+C|,形式的最值问题,可以转化为点,(x,y),到直线,Ax+By+C=0,的距离的最值的 倍问题,.,【,习练,破,】,1.(2019,长春高一检测,),已知两点,A(0,-3),B(4,0),若点,P,是圆,x,2,+y,2,-2y=0,上的动点,则,ABP,面积的最小值为,(,),A.6B.C.8D.,【,解析,】,选,B.,求,ABP,面积的最小值,即求,P,到直线,AB,的最小值,即为圆心到直线,AB,的距离减去半径,.,直线,AB,的方程为,3x-4y-12=0,圆,x,2,+y,2,-2y=0,即,x,2,+(y-1),2,=1,圆心为,(0,1),半径为,1.,因为圆心到直线,AB,的距离为,d=,所以,P,到直线,AB,的最小值为 因为,|AB|=5,所以,ABP,面积的最小值为,2.,已知实数,x,y,满足方程,x,2,+y,2,-4x-1=0,则,y-2x,的最小值和最大值分别为,(,),A.-9,1B.-10,1,C.-9,2D.-10,2,【,解析,】,选,A.,根据题意,设,z=y-2x,则,y=2x+z,则,z,可看,作是直线,y=2x+z,在,y,轴上的截距,方程,x,2,+y,2,-4x-1=0,即,(x-2),2,+y,2,=5,表示以,(2,0),为圆心,为半径的圆,如,图所示,当直线,y=2x+z,与圆相切时,纵截距,z,取得最大值或最小,值,此时有 解得,z=-9,或,1,则,y-2x,的最,大值为,1,最小值为,-9.,【,加练,固,】,(2019,海淀高一检测,),由直线,y=x+3,上的点向圆,(x-3),2,+(y+2),2,=1,引切线,则切线长的最小值为,_.,【,解析,】,根据题意,设圆,(x-3),2,+(y+2),2,=1,的圆心为,C,则,C(3,-2),其半径为,1,设,P,为直线,y=x+3,上任意一点,过,点,P,向圆,C,引切线,切点为,T,则,|PT|=,则当,|PC|,最小时,|PT|,最小,而,|PC|,的最小值为,C,到直线的,距离,d,且,d=,则切线长,|PT|,的最小值,为,答案,:,