高考数学 导数 专题复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四单元 导数及其应用,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,1.,函数,f(x,),从 到 的平均变化率,函数,f(x,),从 到 的平均变化率为 ，,若 ，则平均变化率可表示为 。,2.,函数,f(x,),在 处的导数,（,1,）定义,称函数,f(x,),在 处的瞬时变化率,为函数,f(x,),在 处的导数，记作 或 ，即,（,2,）几何意义,函数,f(x,),在 处的导数 的几何意义是在曲线,y=,f(x,),上点,处的切线的斜率，相应的，切线方程为,3.,函数,f(x,),的导函数,函数 称为,f(x,),的导函数，导函数有时也记,作,4.,基本初等函数的导数公式,原函数,导函数,f(x,)=c,f(x,)=0,f(x,)=,f(x,)=,f(x,)=,sinx,f(x,)=,cosx,f(x,)=,cosx,f(x,)=-,sinx,f(x,)=(a0),f(x,)=,f(x,)=,f(x,)=,f(x,)=,(a0,且,a1),f(x,)=,f(x,)=,lnx,f(x,)=,5.,导数运算法则,（,1,）,cf(x,),=,cf(x,),；,（,2,）,f(x)g(x,),=,f(x)g(x,);,（,3,）,f(x)g(x,),=,f(x)g(x)+f(x)g(x,);,（,4,）,典例分析,题型一 利用导数定义求导数,【,例,1】,用导数定义求,y=,在,x=1,处的导数值,.,分析,利用导数的定义求导数的方法是求极限,解,学后反思,根据导数的定义求函数,y=f(x),在点 处导数的步骤为：,求函数的增量,y=f(+x)-f();,求平均变化率,得导数,举一反三,1.,已知,y=,，利用定义求,y,y|x=1.,解析,:,题型二 利用求导公式求导数,【,例,2】,求下列函数的导数,.,分析,直接利用导数公式和导数运算法则求导,.,解,(1),方法一：,所以,方法二：,学后反思,准确记忆求导公式及四则运算法则是解答此类问题的关键,.,举一反三,2.,求下列函数的导数,.,解析：,题型三 导数的物理意义及物理上的应用,【,例,3】,一质点运动的方程为,（,1,）求质点在,1,1+t,这段时间内的平均速度；,（,2,）求质点在,t=1,的瞬时速度,.,分析,第（,1,）问可利用 公式；第（,2,）问可利用第（,1,）问的结,论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解,.,解,（,1,）质点在,1,1+t,这段时间内的平均速度为,(2),方法一：利用定义法,.,质点在,t=1,时的瞬时速度,方法二：利用求导法,.,质点在,t,时刻的瞬时速度,v=s(t)=-6t,当,t=1,时，,v=-6.,学后反思,对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义,.,利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,.,举一反三,3.,以初速度 作竖直上抛运动的物体，在,t,秒时的高度为,求物体在时刻 时的瞬时速度,.,解析：,物体在 时刻瞬时速度为,题型四 导数的几何意义及几何上的应用,【,例,4】(12,分,),已知曲线,（,1,）求曲线在点,P,（,2,，,4,）处的切线方程；,（,2,）求过点,P,（,2,，,4,）的曲线的切线方程,.,分析,(1),在点,P,处的切线以点,P,为切点,.,关键是求出切线斜率,k=f(2).,(2),过点,P,的切线，点,P,不一定是切点，需要设出切点坐标,.,解,（,1,）,y=,2,在点,P,（,2,，,4,）处的切线的斜率,.3,曲线在点,P,（,2,4,）处的切线方程为,y-4=4(x-2),即,4x-y-4=0.4,(2),设曲线 过点,P,（,2,，,4,）的切线相切于点,则切线的斜率,.6,切线方程为,即,.8,点,P,（,2,，,4,）在切线上，,4=,9,即,即,10,所求的切线方程为,4x-y-4=0,或,x-y+2=0.12,学后反思,（,1,）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”,.,（,2,）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标,(,),得出切线方程,y-=f()(x-),然后把已知点代入切线方程求,(,),进而再求出切线方程,.,举一反三,4.,已知曲线,C:y,=-3 +2x,直线,l:y,=,kx,，且直线,l,与曲线,C,相切于点,(,)(0),求直线,l,的方程及切点的坐标,.,解析：,y=3 -6x+2,直线,y=kx,过原点,(0,0),及,(,),解得,.,切点为（,）,.,把切点坐标代入,y=kx,得,切线方程为,y=x,即,x+4y=0.,易错警示,【,例,】,已知曲线,y=,上的点,P,（,0,0,）,求过点,P(0,0),的切线方程,.,错解分析,本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义,.,在点,P,处的切线是指：曲线在点,P,附近取点,Q,，当点,Q,趋近于点,P,时，割线,PQ,的极限位置的直线就是过点,P,的切线，因此过点,P,的切线存在，为,y,轴（如上图所示）,.,正解,如上图，按切线的定义，当,x0,时割线,PQ,的极限位置为,y,轴（此时斜率不存在），因此，过点,P,的切线方程为,x=0.,错解,y=,在点,x=0,处不可导，因此过,P,点的切线不存在,.,考点演练,10.,点,P,是曲线,y=-ln x,上任意一点，则,P,到直线,y=x-2,的距离的最小值是,.,解析,:,作直线,y=x-2,的平行线使其与曲线,y=-ln x,相切，则切点到直线,y=x-2,的距离最小,.,由,y=2x-=1,得,x=1,，或,x=(,舍去,).,切点为（,1,，,1,）,它到直线,x-y-2=0,的距离为,d=,答案,:,11.,已知函数,f(x)=2 +ax,与,g(x)=b +c,的图象都过,P(2,0),且在点,P,处有相同的切线,.,求实数,a,b,c,的值,.,解析：,f(x),过点（,2,0,）,f(2)=2 +a2=0,得,a=-8.,同理,g(2)=4b+c=0.f(x)=6 -8,在点,P,处的切线斜率,k=f(2)=6 -8=16.,而,g(x)=2bx,2b2=16,b=4,，,c=-4b=-16.,综上，,a=-8,b=4,c=-16.,12.,（创新题）设曲线,C,：,y=-3x,和直线,x=a(a,0),的交点为,P,，曲线,C,在,P,点的切线与,x,轴交于点,Q,（,-a,0,），求,a,的值,.,解析：,依题意 解得,P(a,-3a).y=3 -3,，,所以在,P,点斜率为,3 -3,的曲线,C,的切线方程为,y-(-3a)=(3 -,3)(x-a).,令,y=0,得切线与,x,轴的交点为（，,0,），则有,=-a,，解得,a=0,或,a=.,由已知,a,0,，所以,a,的值为,.,第二节 导数的应用（,）,基础梳理,1.,函数的单调性,在某个区间,(,a,b,),内，若,f(x,),0,那么函数,y=,f(x,),在这个区间内单调递增；若,f(x,),0,，那么函数,y=,f(x,),在这个区间内单调递减,.,2.,函数的极值,设函数,f(x,),在点,x0,附近有定义,.,（,1,）如果在 附近的左侧,f(x,),0,右侧,f(x,),0,且,f()=0,那么,f(),是极大值；,（,2,）如果在 附近的左侧,f(x,),0,右侧,f(x,),0,且,f()=0,那么,f(),是极小值,.,典例分析,题型一 利用导数求函数的单调区间,分析,通过解,f(x)0,求单调递增区间,.,【,例,1】,已知,f(x)=-ax-1,求,f(x),的单调增区间,.,解,f(x)=-ax-1,f(x)=-a.,令,f(x)0,得 ,a.,当,a0,时，有,f(x),0,在,R,上恒成立；,当,a,0,时，有,xln a.,综上，当,a0,时，,f(x),的单调增区间为,(-,+);,当,a,0,时，,f(x),的单调增区间为,ln a,+).,举一反三,学后反思,求函数的单调区间，就是解,f(x),0,或,f(x),0,，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间,.,对可导函数，求单调区间的步骤如下：,（,1,）求,f(x),的定义域；,（,2,）求出,f(x),；,（,3,）令,f(x)=0,，求出全部驻点补充定义,:,若函数,f(x),在点,x0,处的导数,f()=0,，则称点 为函数,f(x),的驻点；,（,4,）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内,f(x),的符号，因而可确定,f(x),的单调区间,.,1.,函数,y=xsin x+cos x,x(-,),的单调增区间是,(),A.,（,-,-,）和（,0,）,B.,（,0,）和（,0,）,C.,（,-,-,）和（,）,D.,（,-,0,）和（,）,答案：,A,题型二 已知函数的单调性求参数范围,解析,:,y=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当,x,（,-,-,）时,y=xcos x,0,y,为增函数；,当,x,（,0,）时,y=xcos x,0,y,为减函数,;,当,x,（,0,）时,y=xcos x,0,y,为增函数；,当,x,（,）时,y=xcos x,0,y,为减函数,.,y=xsin x+cos x,在,(-,),和,(0,),上为增函数,.,【,例,2】,已知函数,f(x)=-ax-1.,(1),若,f(x),在实数集,R,上单调递增，求实数,a,的取值范围；,(2),是否存在实数,a,使,f(x),在,(-1,1),上单调递减？若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，说明理由,.,分析,函数的增区间是,f(x)0,恒成立的区间，函数的减区间是,f(x)0,恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）,.,解,(1),由已知,f(x)=3 -a,f(x),在（,-,+,）上是单调增函数，,f(x)=3 -a0,在,(-,+),上恒成立，,即,a3,在,xR,上恒成立,.,3 0,只需,a0.,又,a=0,时，,f(x)=3 0,f(x)=-1,在,R,上是增函数，,a0.,(2),由,f(x)=3 -a0,在,(-1,1),上恒成立，得,a3,在,x(-1,1),上恒成立,.,-1,x,1,3,3,只需,a3.,当,a3,时，,f(x)=3 -a,在,x(-1,1),上恒有,f(x),0,即,f(x),在（,-1,1,）上为减函数，,a3.,故存在实数,a3,使,f(x),在,(-1,1),上单调递减,.,举一反三,答案：,C,2.,已知,a,0,函数,f(x)=-+ax,在,1,+),上是减函数，则,a,的取值范围是,(),A.a1 B.0,a2,C.0,a3 D.1a3,解析,:,f(x)=-3 +a,f(x),在,1,+),上是减函数,-3 +a0,在,1,+),上恒成立，即,a3 .,而函数,y=3,在,1,+),上的最小值是,3,0,a3.,学后反思,关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如,af(x)(xD),得,a (xD);af(x)(xD),得,a (xD).,这种转化思想很重要，要注意掌握,.,题型三 利用导数求函数的极值,分析,按照求极值的基本方法，首先从方程,f(x)=0,求出在函数,f(x),定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值,.,【,例,3】,求函数,f(x)=-2,的极值,.,解,易知,f(x),的定义域为,R.,令,f(x)=0,解得,x=1,或,x=-1.,当,x,变化时，,f(x),、,f(x),的变化情况为：,x,(-,-1),-1,(-1,1),1,(1,+),f(x),-,0,+,0,-,f(x),极小值,-3,极大值,-1,当,x=-1,时，,f(x),有极小值,-3;,当,x=1,时，,f(x),有极大值,-1.,学后反思,求函数极值的一般步骤：,（,1,）确定函数的定义域；,（,2,）求导数,f(x);,（,3,）求方程,f(x)=0,的全部实根；,（,4,）检查方程,f(x)=0,的根左右两侧,f(x),的符号，如果左正右负，那么,f(x),在这个根处取得极大值,;,如果左负右正，那么,f(x),在这个根处取得极小值,.,为判断方程,f(x)=0,的根左右两侧,f(x),的符号，可用列表的方法：用方程,f(x)=0,的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格,.,根据极值定义找到相应的极值,.,举一反三,x,(-,-2),-2,(-2,0),0,(0,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),单调递增,单调递减,0,单调递增,3.,求函数,f(x)=,的极值,.,解析：,函数的定义域为,R.f(x)=2x +ex=x(x+2).,令,f(x)=0,解得,x=-2,或,x=0.,当,x,变化时，,f(x),f(x),的变化情况如下表：,因此，当,x=-2,时，,f(x),有极大值,f(-2)=;,当,x=0,时，,f(x),有极小值,f(0)=0.,题型四 已知函数的极值求参数的值,分析,本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法,.,首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值,.,【,例,4】(12,分,),已知函数,f(x,)=a +b -3x,在,x=1,处取得极值，试讨论,f(1),和,f(-1),是函数的极大值还是极小值,.,解,f(x,)=3a +2bx-3,.2,依题意得,f(1)=f(-1)=0,.4,所以,f(x,)=-3x,f(x)=3 -3=3(x+1)(x-1).,令,f(x,)=0,得,x=-1,或,x=1.6,若,x(-,-1,1,+),则,f(x)0,，,故,f(x,),在,(-,-1,和,1,+),上是增函数,8,若,x-1,1,则,f(x)0,故,f(x,),在,-1,1,上是减函数,.10,所以,f(-1)=2,是极大值，,f(1)=-2,是极小值,.12,学后反思,注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用,.,举一反三,4.,（,2009,江苏南通模拟）已知函数,f(x,)=+a +,bx+c,在点,x0,处取得极小值,-5,，其导函数,y=,f(x,),的图象经过点（,0,，,0,），（,2,，,0,）,.,（,1,）求,a,b,的值；,（,2,）求,x0,及函数,f(x,),的表达式,.,易错警示,解析：,（,1,）由题设可得,f(x)=3 +2ax+b.,f(x),的图象过点（,0,，,0,），（,2,，,0,）,解得,a=-3,b=0.,（,2,）由,f(x)=3 -6x,0,，得,x,2,或,x,0,，,在（,-,0,）上,f(x),0,，在（,0,，,2,）上,f(x),0,，,在（,2,，,+,）上,f(x),0,f,（,x,）在（,-,，,0,），（,2,，,+,）上递增，在（,0,，,2,）上递减，,因此,f(x),在,x=2,处取得极小值，所以,=2,，,由,f(2)=-5,，得,c=-1,f(x)=-3 -1.,【,例,】,函数,f(x)=,在,x=1,处有极值,10,求,a,、,b,的值,.,错解,f(x)=,由题意知,f(1)=0,且,f(1)=10,即,2a+b+3=0,且,+a+b+1=10,解得,a=4,b=-11,或,a=-3,b=3.,错解分析,错误的主要原因是把,f(),为极值的必要条件当作了充要条件,.,正解,f(),为极值的充要条件是,f()=0,且,f(x),在 附近两侧的符号相反,.,所以后面应该加上：当,a=4,b=-11,时，,f(x)=3+8x-11=(3x+11)(x-1),在,x=1,附近两侧的符号相反，,a=4,b=-11,满足题意,;,当,a=-3,b=3,时，,f(x)=3(x-1)2,在,x=1,附近两侧的符号相同，,a=-3,，,b=3,应舍去,.,综上所述，,a=4,b=-11.,考点演练,10.,（,2009,成都模拟）定义在,(-1,1),上的函数,f(x),满足：,f(-x)+f(x)=0.,当,x(-1,0),时，函数,f(x),的导函数,f(x),0,恒成立,.,如果,f(1-a)+f(1-),0,，则实数,a,的取值范围为,.,解析：,f(-x)=-f(x),x(-1,1),f(x),为奇函数；,又,x(-1,0),时，,f,（,x,）,0,f,（,x,）在（,-1,，,0,）上是单调递减函数,.,由奇函数的性质可知,f(x),在,x(-1,1),上为单调递减函数，,f(1-a)+f(1-),0f(1-a),f(-1),答案：,（,1,，）,11.,已知函数,f(x)=.,若,f(x),在区间,1,+),上是增函数，求实数,a,的取值范围,.,解析：,f(x)=3 -2ax-3.,f(x),在,1,+),上是增函数,f(x),在,1,+,）上恒有,f(x)0,，即,3 -2ax-30,在,1,+),上恒成立，则必有,令,g(x)=,又,g(x),在,1,+),上为增函数，,当,x=1,时，,g(x),取最小值,0,0,即,a0.,12.,（,2009,北京）设函数,f(x)=-3ax+b(a0).,（,1,）若曲线,y=f(x),在点（,2,f(2),）处与直线,y=8,相切，求,a,b,的值；,（,2,）求函数,f(x),的单调区间与极值点,.,解析：,（,1,）,f(x)=3 -3a.,因为曲线,y=f(x),在点（,2,，,f(2),）处与直线,y=8,相切，,解得,a=4,b=24.,（,2,）,f(x)=3,（,-a,）,(a0).,当,a,0,时，,f,（,x,）,0,，函数,f(x),在（,-,，,+,）上单调递增，此时函数,f(x),没有极值点,.,当,a,0,时，由,f(x)=0,得,x=.,当,x(-,，,-),时，,f(x),0,函数,f(x),单调递增；,当,x(-,，,),时，,f(x),0,，函数,f(x),单调递减；,当,x(,+),时，,f(x),0,，函数,f(x),单调递增,.,此时,x=-,是,f(x),的极大值点，,x=,是,f(x),的极小值点,.,第三节 导数的应用,(),基础梳理,1.,一般地，求函数,y=,f(x,),在,a,b,上的最大值与最小值的步骤如下：,（,1,）求函数,y=,f(x,),在（,a,b,）内的极值；,（,2,）将函数,y=,f(x,),的各极值与端点处的函数值,f,（,a,）、,f(b,),比较，,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,2.,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题,.,导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具,.,3.,导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用,.,典例分析,题型一 求函数的最值,分析,通过求导，令,f(x)=0,找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，来找到最值,.,【,例,1】,已知函数,f(x)=,求函数在,-1,1,上的最值,.,解,f(x)=,f(x)=,令,f(x)=0,得,x=0,，或,x=-2(,舍去,).,f(0)=0,f(-1)=,f(1)=e,=f(1)=e,=f(0)=0.,学后反思,求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值,.,对含有参数的问题，需注意分情况讨论,.,举一反三,（,2008,广东）已知,a,为实数，函数,f(x,)=(+1)(x+a).,若,f(-1)=0,求函数,y=,f(x,),在,1,上的最大值和最小值,.,解析,:,f(x,)=3 +2ax+1.f(-1)=0,3-2a+1=0,即,a=2.f(x)=3 +4x+1=3(x+)(x+1).,由,f,（,x,）,0,，得,x-1,或,x-;,由,f(x)0,得,-1x-.,因此，函数,f(x,),的单调递增区间为,-1,和,-,1,单调递减区间为,-1,-.,题型二 导数在实际问题中的应用,分析,本题根据给出的等量关系“平均综合费用,=,平均建筑费用,+,平均购地费用”，便可得到函数,f(x,),的关系式,.,利用导数的知识便可知函数何时取得极值,.,f(x,),在,x=-1,取得极大值,f(-1)=2;f(x),在,x=-,取得极小值,f(-)=.,又,f(-)=,f(1)=6,且 ,f(x,),在,-,1,上的最大值为,f(1)=6,最小值为,f(-)=.,【,例,2】,（,2008,广东）某单位用,2 160,万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少,10,层，每层,2 000,平方米的楼房,.,经测算，如果将楼房建为,x(x10),层，则每平方米的平均建筑费用为,560+48x,（单位：元）,.,为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房建为多少层？（注：平均综合费用,=,平均建筑费用,+,平均购地费用，平均购地,费用,=,）,答：,为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为,15,层,.,学后反思,在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合,.,用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,.,解,设楼房每平方米的平均综合费用为,f(x),元，则,f(x)=(560+48x)+=560+48x+(x10,，,xN*),，,f(x)=48-,，令,f(x)=0,得,x=15.,当,x,15,时，,f(x),0,；当,10 x,15,时，,f(x),0.,因此，当,x=15,时，,f(x),取得最小值,f(15)=2 000.,举一反三,2.,某造船公司年造船量是,20,艘，已知造船,x,艘的产值函数为,R,（,x,）,=3 700 x+45 -10 (,单位：万元,),，成本函数为,C,（,x)=460 x+5 000(,单位：万元,),，又在经济学中，函数,f(x),的边际函数,Mf(x),定义为,Mf(x)=f(x+1)-f(x).,(1),求利润函数,P(x),及边际利润函数,MP(x),；（提示：利润,=,产值,-,成本）,（,2,）问：年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？,解析：,（,1,）,P(x)=R(x)-C(x)=-10 +45x2+3 240 x-5 000,(xN*,且,1x20);,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30 +60 x+3 275(xN*,且,1x19).,（,2,）,P(x)=-30 +90 x+3 240=-30(x-12)(x+9),x,0,P(x)=0,时，,x=12,，,当,0,x,12,时，,P(x),0,，当,x,12,时，,P(x),0,，,x=12,时,P(x),有最大值,.,即年造船量安排,12,艘时，可使公司造船的年利润最大,.,题型三 用导数求解函数的字母参数问题,分析,先求函数的定义域，然后把问题转化为,f(x),0,在定义域上有解的问题来解决,.,【,例,3】,若函数,f(x)=ln x-2x,存在单调递减区间，求实数,a,的取值范围,.,解,函数,f(x),存在单调递减区间，就是不等式,f(x),0,有解，考虑到函数的定义域为（,0,+,），所以就是要求不等式,f(x),0,在（,0,+,）上有解,.,函数,f(x),的导函数,f(x)=-ax-2=-a +2x-1x.,由题意知，,f(x),0,在定义域（,0,+,）上有解，即,a +2x-1,0,在（,0,，,+,）上有解,.,（,1,）当,a,0,时，,y=a +2x-1,的图象是开口向上的抛物线，,a +2x-1,0,总有,x,0,的解；,学后反思,一般地，涉及到函数（尤其是一些非常规函数）的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解,.,函数在定义域内存在单调区间，就是不等式,f(x),0,或,f,（,x,）,0,在定义域内有解,.,这样就可以把问题转化为解不等式问题,.,就本例而言，因为函数,f(x),是（,0,，,+,）上的连续函数，所以只要当,x(0,+),时,f(x)0,不恒成立，就可以保证函数,f(x),存在单调递减区间,.,因此，运用补集思想，从问题的对立面出发也可解决问题,.,（,2,）当,a,0,时，,y=a +2x-1,的图象是开口向下的抛物线，且经过点（,0,，,-1,），要使,a +2x-1,0,总有,x,0,的解，,则有 只要,=4+4a,0,即可，,解得,a,-1,，,-1,a,0.,（,3,）当,a=0,时，显然符合题意,.,综上所述，实数,a,的取值范围是（,-1,，,+,）,.,举一反三,3.,（,2008,安徽）设函数,f(x)=(x,0,且,x1).,（,1,）求函数,f(x),的单调区间；,（,2,）已知 对任意,x(0,1),成立，求实数,a,的取值范围,.,x,(0,),(,1),(1,+),f(x),+,0,-,-,f(x),极大值,f(),解析：,（,1,）,f(x)=,，若,f(x)=0,，则,x=,，列表如下：,故函数,f(x),的单调增区间是,(0,),；单调减区间是,(,1),和（,1,，,+,）,.,题型四 导数与不等式的证明,（,2,）在 两边取对数，得,ln 2,aln x,，由于,0,x,1,，,所以,.,由（,1,）的结果可知，当,x(0,1),时，,f(x)f()=-e.,为使式对所有,x(0,1),成立，当且仅当 ,-e,即,a,-eln 2.,【,例,4】(12,分,),已知定义在正实数集上的函数,f(x)=+2ax,g(x)=3 ln x+b,其中,a,0.,设两曲线,y=f(x),y=g(x),有公共点，,且在该点处的切线相同,.,（,1,）用,a,表示,b,并求,b,的最大值,;,（,2,）求证：,f(x)g(x)(x,0).,分析,(1),利用好两个函数满足的两个条件，找出,a,与,b,的关系,.,（,2,）可转化为研究函数,F(x,)=,f(x)-g(x,),只要证明,F(x)0,（,x,0,）即可,.,解,（,1,）设,y=,f(x,),与,y=,g(x)(x,0),在公共点,(,),处的切线相同,1,f(x,)=x+2a,g(x)=,由题意知,f()=g(),f()=g(),即,.3,由,+2a=,得,=a,，或,=-3a(,舍去,),即有,.4,令,h(t,)=(t,0),则,h(t,)=2t(1-3ln t).,于是,当,t(1-3ln t),0,即,0,t,时，,h(t,),0;.5,当,t(1-3ln t),0,即,t,时，,h(t,),06,故,h(t,),在,(0,),上为增函数，在,(,+),上为减函数，,于是,h(t,),在,(0,+),上的最大值为,h()=,7,即,b,的最大值为,.8,学后反思,采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧,.,若证明,f(x,),g(x),x(a,b,),，可以等价转化为证明,f(x)-g(x,),0.,如果,f(x)-g(x,),0,，说明函数,f(x)-g(x,),在区间,(,a,b,),上是增函数,;,如果,f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当,x(a,b,),时，,f(x)-g(x,),0,，即,f(x,),g(x,).,利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式,.,这类试题在考查综合能力的同时充分体现导数的工具性和导数应用的灵活性,.,(2),证明：,设,F,（,x,）,=,f(x)-g(x,)=(x,0),则,(x,0).9,故,F(x,),在（,0,a,）上为减函数，在,(a,+),上为增函数,.10,于是,F(x,),在,(0,+),上的最小值是,F(a,)=F()=f()-g()=0.11,故当,x,0,时，有,f(x)-g(x)0,即当,x,0,时，,f(x)g(x).12,举一反三,4.,已知函数,f(x)=+ln x,求证,:x1,时，对任意的正整数,n,总有,f(x)x.,证明,:,x1,对任意正整数,n,，恒有 ,1,故只需证明,1+lnxx.,令,h(x)=1+ln x-x,x1,+),则,h(x)=-1.,当,x1,时，,h(x)0,故,h(x),在,1,+),上递减，,即,h,（,x,）,h(1)=1+ln 1-1=0,1+ln x-x0,即,1+ln xx,，,f(x)1+ln xx.,当,x1,时，对任意的正整数,n,，总有,f(x)x.,考点演练,答案：,（,-2,，,2,）,10.,（,2009,广州综测）若函数,f(x)=-3x+a,有,3,个不同的零点，则实数,a,的取值范围是,.,解析：,f(x)=3 -3=3(x-1)(x+1).,当,x,-1,时，,f(x),0,；当,-1,x,1,时，,f(x),0,；当,x,1,时，,f(x),0.,所以当,x=-1,时函数,f(x),有极大值，当,x=1,时函数,f(x),有极,小值,.,要使函数,f(x),有,3,个不同的零点，,只需满足 解得,-2,a,2.,11.,如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为,2r,，,短半轴长为,r.,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，,下底,AB,是半椭圆的短轴，上底,CD,的端点在椭圆上，,记,CD=2x,梯形面积为,S.,（,1,）求面积,S,以,x,为自变量的函数式，并写出其定义域；,（,2,）求面积,S,的最大值,.,解析：,(1),依题意，以,AB,的中点,O,为原点建立直角坐标系（如图），则点,C,的横坐标为,x.,设点,C,的纵坐标为,y,点,C,的坐标满足方程,(r,0),解得,y=(0,x,r).,S=(2x+2r)2,=2(x+r),其定义域为,x|0,x,r.,(2),记,f(x)=,0,x,r,则,f(x)=8 (r-2x).,令,f(x)=0,得,x=r.,因为当,0,x,r,时，,f(x),0;,当,r,x,r,时，,f(x),0,所以,f(r),是,f(x),的最大值,.,因此，当,x=r,时，,S,取得最大值，,最大值为 ，即梯形面积,S,的最大值为,.,12.(2008,天津,),已知,f(x)=x+b,（,x0,）,其中,a,bR.,(1),若曲线,y=f(x),在点,P,（,2,，,f(2),）处的切线方程为,y=3x+1,求,f(x),的解析式,;,（,2,）讨论,f(x),的单调性；,（,3,）若对任意的,a ,2,不等式,f(x)10,在,1,上恒成立，求,b,的取值范围,.,x,(-,-),(,0),(0,),(,+),f(x),+,0,-,-,0,+,解析：,(1)f(x)=1-,f(2)=3,a=-8.,由切点,P(2,f(2),在,y=3x+1,上,可得,b=9.,f(x),的解析式为,f(x)=x-8x+9.,(2)f(x)=1-,当,a0,时，显然,f(x),0(x0),，,这时,f(x),在（,-,0),和,(0,+),上是增函数；,当,a,0,时，由,f(x)=0,得,x=.,当,x,变化时，,f(x),变化情况是：,f(x),在,(-,),和（,+,）上是增函数，在,(,0),和,(0,),上是减函数,.,（,3,）由,(2),知,f(x),在,1,上的最大值为,f(),与,f(1),中的较大者,.,对任意的,a ,2,，不等式,f(x)10,在,1,上恒成立，,当且仅当,对任意的,a ,2,成立，从而得,b .,所以满足条件的,b,的取值范围是,(-,.,