线面垂直.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线与平面垂直,问题情境,如何定义一条直线与一个平面垂直？,A,B,直线与平面垂直,A,B,B,1,C,1,过点,B,的直线,不过点,B,的直线,B,1,C,1,B,1,C,1,AB,与平面内任意一条,垂直,直线与平面垂直,探究,任意一条直线,你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？,如果直线,l,与平面 内的,任意一条直线,都垂直，我们说,直线,l,与平面 互相垂直,，,记作,平面 的垂线,直线,l,的垂面,垂足,一、直线与平面垂直的定义,线面垂直,线线垂直,由定义知：,建构数学,直线与平面垂直,P,l,注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。,直线与平面垂直的画法,直线与平面垂直,1.,如果一条直线,l,和一个平面内的,无数条,直线都垂直，则直线,l,和平面,互相垂直,.,（）,思考,l,l,直线与平面垂直,1,、直线和平面垂直的定义,直线和平面垂直,如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说,这条直线和这个平面垂直,.,其中直线叫做,平面的垂线,，平面叫做,直线的垂面,.,交点叫做,垂足,.,A,平面的垂线,直线的,垂面,垂足,过空间一点有几条直线和已知平面垂直？,想一想,答：,有且只有一条,.,点,A,到平面 的距离,.,B,直线与平面垂直,A,a,过空间一点有几个平面与已知直线垂直？,a,A,答：,有且只有一个,想一想,直线与平面垂直,4.,常用结论：,若直线,l,垂直平面,直线,a,在平面,内,则,l,a,(3),过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,(4),过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,（,2,）,若直线,l,垂直平面,内任意直线,则直线,l,垂直平面,。,a,是,内任一条直线,5.,点到平面的距离,:,过平面外一点,A,向平面 引垂线，则点,A,和垂足,B,之间的距离叫做点,A,平面 的距离。,若 那么直线 吗？,例,1,求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。,已知：,a/,b,，,a ,求证；,b ,a,b,证明：设,m,是内的任意一 条直线,m,说 明,本题结论可直接用来判定线面垂直，作判定定理用,提出问题,:,假设书有无数页,竖立在桌面上,书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象,.,思考,书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系,?,书脊所在直线与桌面中任意一条的位置关系,?,垂直,垂直,m,问题,:,如图,，,使,书脊,AB,与桌面垂直，可否将若干书页取掉，但至少保留几页？,三定理探索,猜想：,如果一条直线和平面,内,两相交直线,都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面,两页,如果一条直线和一个平面内的,两条相交直线,垂直，那么这条,直线垂直于这个平面,。,2,、线面垂直的判定定理,建构数学,直线与平面垂直,线线垂直,线面垂直,简记,线不在多，,相交,则行,关键,二、直线和平面垂直的判定定理,1,定理：,如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。,3,符号语言：,2,图形语言：,4,线线垂直 线面垂直,强调,:(1),两条相交直线,;,(2),要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,.,练习：,判断下列命题是否真命题,(1),如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任何一条直线。,(2),一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么它就垂直于这个平面。,(3),一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么它垂直于这个平面。,(4),过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个,(5),过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条。,【,例,1,】,已知 是平行四边形 两对角线的交点，且,.,求证：,四,.,典例分析,.,例,2.,求证,:,与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂直,.,A,B,C,l,已知,:,如图,aAC,aBC,求证,:,aAB,.,证明,:,aAC,aBC,AC,BC,=C.,a,面,ABC.,AB,面,ABC,aAB,.,思考,:,此例为,”,线线垂直,”,的判断提供了一种什么方法？,如果已知一直线垂直于一平面,你能得,到一些什么结论,?,如果两条直线都垂直于一个平面呢,?,a,b,如图，若,设,b,与,a,不平行,.,o,三、,直线和平面垂直的性质定理,如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行,。,.,.,.,【,例,3】,已知直线 平面,求证：直线 上各点到平面 的距离相等。,如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。,练习、在空间，下列命题,（,1,）平行于同一直线的两条直线互相平行；,（,2,）垂直于同一直线的两条直线互相平行；,（,3,）平行于同一平面的两条直线互相平行；,（,4,）垂直于同一平面的两条直线互相平行。,正确的是（）,A.(1)(3)(4)B.(1)(4),C.(1)D.,四个命题都正确。,例,2,：已知：空间四边形，,，连接,求证：,直线与平面垂直,练习：,在正方体,ABCD-ABCD,中,求证：,BD,平面,ACCA.,A,D,B,B,C,D,C,A,直线与平面垂直,练习,2.,如图,PA,垂直于圆,O,所在面,AB,是圆,O,的直径,C,是圆周上一点,那么图,中有几个直角三角形,?,焦点,:,PBC,是不是,直角三角形,?,答案：个,例,2.,如图,已知,:,l,PA,于,PB,于,B,AQ,l,于,Q,求证,:,BQ,l,.,六课堂小结,线面垂直,线线垂直,线面垂直的判定定理,注意：,要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于,在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，,至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。,4.,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,5,、点到平面的距离及直线到平面的距离,小结,直线与平面,垂直的判定,定义法,间接法,直接法,如果两条,平行直线中的,一条垂直于一,个平面，那么,另一条也垂直,于同一个平面。,如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线,此直线垂直于这个平面,判定定理,如果一条直线垂直于一个平面内的,两条相交,直线，那么此直线垂直于这个平面。,直线与平面垂直,引入,P,P,1,Q,PQ呢?,PQ,是平面,的斜线，,Q,叫斜足。,与,一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫,这个平面的斜线,P,1,Q呢?,过平面外一点,P,向平面,引斜线和垂线，,那么过斜足,Q,和垂足,P,1,的直线就是斜线在平面内的正投影,（简称射影）,P,O,点,O,称为点,P,在平面,内的,射影,线段,PO,称为点,P,到平面,的,垂线段,（一）,点的射影,新课,P,A,B,PA,，,垂足为,A,PB呢?,PB,是平面,的斜线，,B,叫斜足。,与,一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫,这个平面的斜线,AB呢?,AB,叫,PB,在平面,上的射影,过平面外一点,P,向平面,引斜线和垂线，,那么过斜足,Q,和垂足,P,1,的直线就是斜线在平面内的正投影,（简称射影）,表示什么？,PB,与平面,所成的角,直线与平面所成的角,1,定义：,（,1,）直线和平面平行或直线在平面内,直线与平面所成的角是,0,度的角,（,2,）直线和平面垂直,直线与平面所成的角是直角,.,（,3,）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，,叫做这条直线和平面所成的角,直线和平面成角的范围是,0,90,1.,点,P,是,ABC,所在平面外一点，且,P,点到,ABC,三个顶点距离相等，则,P,点在,ABC,所在平面上的射影是,ABC,的,心。,P,C,B,A,O,练习,外,练习,2.,判断下列说法是否正确,（,1,）两条平行直线在同一平面内的射影,一定是平行直线 （）,（,2,）两条相交直线在同一平面内的射影,一定是相交直线 （）,（,3,）两条异面直线在同一平面内的射影,要么是平行直线，要么是相交直线（）,（,4,）若斜线段长相等，则它们在平面内,的射影长也相等 （）,X,X,X,X,两个点,练习,4.,两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？,3.,已知斜线段的长是它在平面,上射影的,2,倍，求斜线和平面,所成的角。,A,B,O,如图，斜线段,AB,是其射影,OB,的两倍，求,AB,与平面,所成的角。,如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？,X,5,、,如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的,距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）。,A.,平行,B.,相交,C.,平行或相交。,6,、,在空间，下列命题,（,1,）平行于同一直线的两条直线互相平行；,（,2,）垂直于同一直线的两条直线互相平行；,（,3,）平行于同一平面的两条直线互相平行；,（,4,）垂直于同一平面的两条直线互相平行。,正确的是（）,A.(1)(3)(4)B.(1)(4),C.(1)D.,四个命题都正确。,C,B,练习,例,3,、如图，已知,BAC,在平面,内，,P,不在,上，,PAB=PAC,，,求证：点,P,在平面,上的射影在,BAC,的平分线,上,P,A,B,O,E,D,C,