WYQ09-10材料力学扭转1(水利水电).ppt

,材 料 力 学,电 子 教 案,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 扭转,4,-,1,工程实际中的受扭杆,4,-,2,受扭杆的内力,扭矩 扭矩图,4,-,3,薄壁圆筒的扭转,4,-,4,圆轴扭转时的应力与应变,4,-,5,圆轴扭转时的应力状态分析,4,-,6,圆轴扭转时的破坏现象,4,-,7,圆轴扭转时的强度与刚度计算,*,4,-,8,非圆,截面杆在扭转时的应力与变形,1,4,-,1,工程实际中的受扭杆,变形特点：,.,相邻横截面绕杆的轴线相对转动；,.,杆表面的纵向线变成螺旋线；,.,实际构件在工作时除发生扭转变形外，,还伴随有弯曲或拉、压等变形。,受力特点：,一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶。,第四章 扭转,m,m,2,圆轴扭转变形,第四章 扭转,工程实例,：如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆,、钳工用双手转动丝锥攻螺纹时的丝锥杆,、,汽车方向盘下的轴等。,3,本章研究杆件发生除,扭转变形,外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面,(,实心圆截面或空心圆截面,),杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,第四章 扭转,4,4-2,受扭杆的内力,扭矩 扭矩图,.,传动轴的外力偶矩,当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在,t,秒,钟内所作功等于外力偶之矩,M,e,乘以轮在,t,秒钟内的转角,a,。,第四章 扭转,5,因此，外力偶,m,每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为,第四章 扭转,因此，在已知传动轴的转速,n,(,亦即传动轴上每个轮的转速,),和主动轮或从动轮所传递的功率 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：,其中：,N,k,功率，千瓦（,KW,）,n,转速，转,/,分（,rpm,）,6,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。,第四章 扭转,7,.,扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩,T,可利用,截面法,来计算。,第四章 扭转,m,m,1,1,m,m,8,扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,第四章 扭转,9,例,1,已知：一传动轴，,n,=300r/min,，,主动轮输入,N,K1,=500kW,，,从动轮输出,N,K2,=150kW,，,N,K3,=150kW,，,N,K4,=200kW,，,试绘制扭矩图。,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,解：计算外力偶矩,10,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,1,1,2,2,3,3,求扭矩（扭矩按正方向设）,11,绘制扭矩图,BC,段为危险截面。,n,A B C D,m,2,m,3,m,1,m,4,9.56,x,4.78,6.37,12,扭矩图简洁画法,扭矩图应与原轴平行对齐画,m,A,D,A,B,C,m,B,m,C,m,D,(,Nm,),351,702,468,n,M,13,作内力图要求：,1.,正确画出内力沿杆轴分布规律,m,A,D,A,B,C,m,B,m,C,m,D,2.,标明特殊截面的内力,数值,4.,注明单位,3.,标明正负号,(,Nm,),351,702,468,n,M,14,薄壁圆筒：,壁厚,（,r,0,：,为平均半径）,1,、实验：,实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,m,。,4,-,3,薄壁圆筒的扭转,15,薄壁圆筒的扭转,第四章 扭转,16,实验后：,圆周线不变；,纵向线变成斜直线,。,结论：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,17,横截面上的应力,m,T,：,=0,，,0,方向：对轴线的矩与扭,矩一致；,垂直于计算点所在半径；,假设 沿壁厚均匀分布；,18,薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式,：,由 根据应力分布可知,引进，上式亦可写作,，于是有,第四章 扭转,m,m,m,x,r,0,t,d,A,19,3,、剪应力互等定理：,上式称,为剪应力互等定理,。,该定理表明：,在单元体,相互垂直,的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两平面的交线。,a,c,d,d,x,b,d,y,t,z,20,a,c,d,d,x,b,d,y,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为,纯剪切应力状态。,21,4,、剪切虎克定律：,a,c,d,d,x,b,d,y,22,剪切虎克定律：,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（,p,),，,剪应力与剪应变成正比关系。,23,式中：,G,是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因,无量纲，故,G,的量纲与,相同，不同材料的,G,值可通过实验确定，钢材的,G,值约为,80GPa,。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,24,作业：,4-7,25,4,-,4,等直圆杆扭转时的应力,强度条件,.,横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(,问题的几何方面,),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力,-,应变关系,(,问题的物理方面,),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(,问题的静力学方面,),第四章 扭转,26,1.,表面变形情况：,(a),相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；,(b),纵向线倾斜了一个角度,g,。,平面假设,等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。,推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,(1),几何方面,第四章 扭转,27,2.,横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：,即,第四章 扭转,b,b,T,T,O,1,O,2,d,j,G,G,D,D,a,a,d,x,A,E,g,g,r,r,E,A,O,1,D,d,j,D,G,G,O,2,d,/2,d,x,g,r,g,r,28,式中,相对扭转角,j,沿杆长的变化率，常用,j,来表示，对于给定的横截面为常量。,可见，在横截面的同一半径,r,的圆周上各点处的切应变,g,r,均相同；,g,r,与,r,成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,第四章 扭转,b,b,T,T,O,1,O,2,d,j,G,G,D,D,a,a,d,x,A,E,g,g,r,r,29,(2),物理方面,由剪切胡克定律,t,=,G,g,知,第四章 扭转,可见，在横截面的同一半径,r,的圆周上各点处的切应力,t,r,均相同，其值,与,r,成正比，其方向,垂直于,半径。,30,(3),静力学方面,其中 称为横截面的,极惯性矩,I,p,，,它是横截面的几何性质。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式,以 代入上式得：,第四章 扭转,31,式中,W,p,称为,扭转截面系数,，其单位为,m,3,。,横截面周边上各点处,(,r,=,r,),的最大切应力为,第四章 扭转,32,实心圆截面：,圆截面的极惯性矩,I,p,和扭转截面系数,W,p,第四章 扭转,33,思考：,对于空心圆截面，,其原因是什么？,空心圆截面：,第四章 扭转,34,以横截面、径向截面以及与表面平行的面,(,切向截面,),从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体,单元体,。,可得：,.,单元体,切应力互等定理,由单元体的平衡条件,F,x,=0,和,M,z,=0,知单元体的上、下两个平面,(,即杆的径向截面上,),必有大小相等、指向相反的一对力,t,d,x,d,z,并组成其矩为,(,t,d,x,d,z,),d,y,力偶。,第四章 扭转,由,35,即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力,t,和,t,数值相等，且均指向,(,或背离,),该两个面的交线,切应力互等定理,。,第四章 扭转,36,思考：,对于图示单元体，切应力,t,t,t,t,是否,互等？,第四章 扭转,37,现分析,单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面,ef,(,如图,),上的应力。,.,斜截面上的应力,第四章 扭转,38,分离体上作用力的平衡方程为,利用,t,=,t,，,经整理得,第四章 扭转,39,由此可知：,(1),单元体的四个侧面,(,a,=0,和,a,=,90,),上切应力的绝对值最大；,(2),a,=-,45,和,a,=+,45,截面,上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,，如图所示。,第四章 扭转,40,至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为,纯剪切应力状态,。,第四章 扭转,41,低碳钢扭转试验开始,第四章 扭转,低碳钢扭转试验结束,42,低碳钢扭转破坏断口,第四章 扭转,43,铸铁扭转破坏试验过程,第四章 扭转,44,铸铁扭转破坏断口,第四章 扭转,45,思考：,低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图,a,及图,b,所示，试问为什么它们的断口形式不同？,第四章 扭转,46,例题,3,-,2,实心圆截面轴,(,图,a,),和空心圆截面轴,(,图,b),（）,除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，,D,2,与,d,1,之比以及两轴的重量比。,第四章 扭转,47,解：,第四章 扭转,由,t,1,max,=,t,2,max,，,并将,a,0.8,代入,得,48,两轴的重量比即为其横截面面积之比：,空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。,第四章 扭转,49,.,强度条件,此处,t,为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。,第四章 扭转,50,例题,3,-,4,图示阶梯状圆轴，,AB,段直径,d,1,=120 mm,，,BC,段直径,d,2,=100 mm,。,扭转力偶矩,M,A,=22,kN,m,，,M,B,=36,kN,m,，,M,C,=14,kN,m,，,材料的许用切应力,t,=,80,MPa,。,试校核该轴的强度。,第四章 扭转,51,BC,段内,AB,段内,解：,1.,绘扭矩图,2.,求每段轴的横截面上的最大切应力,第四章 扭转,52,3.,校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t,2,max,t,1,max,，,但有,t,2,max,t,=80MPa,，,故该轴满足强度条件。,第四章 扭转,53,3-5,等直圆杆扭转时的变形,刚度条件,.,扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的,相对扭转角,(,相对角位移,),j,来度量。,第四章 扭转,M,e,A,D,B,C,M,e,j,g,54,当等直圆杆相距,l,的两横截面之间，扭矩,T,及材料的切变模量,G,为常量时有,由,前已,得到的扭转角沿杆长的变化率,(,亦称,单位长度扭转角,),为 可知，杆的相距,l,的两横截面之间的相对扭转角,j,为,第四章 扭转,55,解：,1.,各段轴的横截面上的扭矩：,例题,3,-,5,图示钢制实心圆截面轴，已知：,M,1,=1 592 N,m,，,M,2,=955 Nm,，,M,3,=637 Nm,，,l,AB,=300 mm,，,l,AC,=500 mm,，,d,=70 mm,，,钢的切变模量,G,=80,GPa,。,试求横截面,C,相对于,B,的扭转角,j,CB,(,这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此,),。,第四章 扭转,56,3.,横截面,C,相对于,B,的扭转角：,2.,各段轴的两个端面间的相对扭转角：,第四章 扭转,57,.,刚度条件,式中的许可单位长度扭转角,j,的常用单位是,(,),/m,。,此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴,j,0.15,0.30,(),/m,；,对于一般的传动轴,j,2,(,),/,m,。,第四章 扭转,58,解,:,1.,按强度条件求所需外直径,D,例题,3-6,由,45,号,钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比,a,=,0.5,。,已知材料的许用切应力,t,=40,MPa,，,切变模量,G,=80,GPa,。,轴的横截面上扭矩的最大者为,T,max,=9.56,kN,m,，,轴的许可单位长度扭转角,j,=,0.3,(,),/m,。,试选择轴的直径。,第四章 扭转,59,2.,按刚度条件求所需外直径,D,3.,空心圆截面轴所需外直径为,D,125.5 mm(,由刚度条件控制,),，内直径则根据,a,=,d,/,D,=0.5,知,第四章 扭转,60,思考：,从图,a,所示受扭圆杆中取出的分离体如图,b,所示。根据横截面上切应力沿直径,CD,的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面,ABCD,上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？,第四章 扭转,61,3-6,等直圆杆扭转时的应变能,纯,剪切应力状态下的应变能密度,第四章 扭转,对处于纯剪切应力状态的单元体,(,图,a,),，,为计算其上的外力所作功,d,W,可使左侧面不动，此时的切应力,t,仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力,t,d,y,d,z,在相应的位移,g,d,x,上作功。,62,于是，当材料在线弹性范围内工作时,(,t,t,p,，,见图,b,),，,有,第四章 扭转,63,单元体内蓄积的应变能,d,V,数值上等于单元体上外力所作功,d,W,，即,d,V,=,d,W,。,单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,由,剪切胡克定律,t,=,G,g,，,该应变能密度的表达式可写为,第四章 扭转,64,在扭矩,T,为常量时，长度为,l,的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,第四章 扭转,65,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩,T,为常量，其长度为,l,范围内的应变能亦可如下求得：,第四章 扭转,66,例题,3-7,图示,AB,、,CD,为等直圆杆，其扭转刚度均为,GI,p,，,BC,为刚性块，,D,截面处作用有外力偶矩,M,e,。,试,求：（,1,）杆系内的应变能；（,2,）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求,D,截面的扭转角,j,D,。,第四章 扭转,A,B,C,D,M,e,l,/2,l,67,T,2,=M,e,D,M,e,T,1,=,-,M,e,B,C,D,M,e,解,:,1.,静力平衡求扭矩,2.,杆系应变能,其转向与,M,e,相同。,A,B,C,D,M,e,3.,求,D,截面的扭转角,j,D,68,例题,3,-,8,试推导密圈圆柱螺旋弹簧,(,螺旋线升角,a,5),受轴向压力,(,拉力,),F,作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短,(,伸长,),变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径,R,，,簧杆直径,d,，,弹簧的有效圈数,n,，,簧杆材料的切变模量,G,。,第四章 扭转,69,解：,1.,求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力,F,作用的弹簧轴线所在纵向平面内,(,如图,),，,于是有：,剪力,F,S,=,F,扭矩,T,=,FR,第四章 扭转,70,2.,求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力,F,S,相应的切应力通常远小于与扭矩,T,=,FR,相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径,D,=2,R,与簧杆直径,d,的比值,D,/,d,较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有,第四章 扭转,71,3.,求弹簧的缩短,(,伸长,),变形,当弹簧所受外力,F,不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力,t,max,不超过簧杆材料的剪切比例极限,t,p,时，变形,与外力,F,成线性关系,(,如图,),。,于是有外力所作功：,第四章 扭转,72,至于簧杆内的应变能,V,，,如近似认为簧杆长度,l,=2,p,Rn,，,且簧杆横截面上只有扭矩,T,=,FR,，则,根据能量守恒原理,W,=,V,，,即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短,(,伸长,),变形近似计算公式：,如,令 ，则有 ，式中,k,为弹簧的,刚度系数,(,N/m,),。,第四章 扭转,73,3,-,7,等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,.,等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转,(,纯扭转,),等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。,第四章 扭转,74,约束扭转,非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。,第四章 扭转,75,.,矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,一般矩形截面等直杆,狭长矩形截面等直杆,第四章 扭转,76,(1),一般矩形截面等直杆,横截面上的最大切应力在长边中点处：,W,t,扭转截面系数,，,W,t,=,b,b,3,，,b,为与,m,=,h,/,b,相关的因数,(,表,3,-,1,),。,横截面上短边中点处的切应力：,t,=,nt,max,n,为与,m,=,h,/,b,相关的因数,(,表,3-1),。,第四章 扭转,单位长度扭转角：,I,t,相当极惯性矩,，,a,为与,m,=,h,/,b,相关的因数,(,表,3,-,1,),。,77,表,3-1,矩形截面杆在自由扭转时的因数,a,，,b,和,n,第四章 扭转,m,=,h,/,b,1.0,1.2,1.5,2.0,2.5,3.0,4.0,6.0,8.0,10.0,a,b,n,0.140,0.208,1.000,0.199,0.263,_,0.294,0.346,0.858,0.457,0.493,0.796,0.622,0.645,_,0.790,0.801,0.753,1.123,1.150,0.745,1.789,1.789,0.743,2.456,2.456,0.743,3.123,3.123,0.743,78,(2),狭长矩形截面等直杆,第四章 扭转,79,思考：,如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零。为什么？,第四章 扭转,一般矩形截面等直杆,狭长矩形截面等直杆,80,*,3,-,8,开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形,.,开口薄壁截面杆,(,例如角钢、工字钢和槽钢,),第四章 扭转,81,2.,不考虑横截面相邻组成部分,(,矩形,),在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即,第四章 扭转,近似假设：,1.,认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角 相同，且就是杆的单位长度扭转角,j,，即,82,(1),应力及变形的计算公式,由,假设,(,1,),有,将上式中的前,n,项的分子分母各自相加后有,式中，,T,为杆的整个横截面上的扭矩，,I,t,为整个横截面的相当极惯性矩。,第四章 扭转,83,根据假设,2,并注意到 可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为,(2),各组成部分横截面上的最大切应力,t,max,而整个杆的横截面上的最大切应力,t,max,在厚度最大,(,d,max,),的那个矩形的长边中点处：,第四章 扭转,84,(3),杆的单位长度扭转角,根据实验结果有：,角钢截面,h,=1.00,槽钢截面,h,=,1.12,T,形钢截面,h,=,1.15,，,工字钢截面,h,=,1.20,。,式中，。对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数,h,后的相当极惯性矩,I,t,：,第四章 扭转,85,例题,3-9,钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所示。已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为,M,e,=30 Nm,，,平均直径,d,0,=40 mm,，,壁厚,d,=2 mm,；,钢的切变模量,G,=80,GPa,。,试计算：,(1),该开口环形截面杆横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角；,(2),若该杆无纵向切缝，求横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角。,第四章 扭转,86,解：,1.,有纵向切缝的杆,(,开口薄壁截面杆,),计算中可将开口环形薄壁截面展开为狭长矩形截面来处理。,第四章 扭转,87,横,截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如图,。,第四章 扭转,88,横截面上切应力沿厚度的变化规律及指向如图。,与有纵向切缝的杆相比，此杆横截面上的最大切应力和单位长扭转角的值以及横截面上的应力情况有了巨大变化。,第四章 扭转,2.,无纵向切缝的杆,(,薄壁圆筒,),89,近似假设：横截面上各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切。,.,闭口薄壁截面杆,(,任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件,),第四章 扭转,90,(1),应力的计算公式,由相距,d,x,的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体。如果横截面上,C,和,D,两点,处的切,应力分别为,t,1,和,t,2,，,则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力,t,1,和,t,2,。,第四章 扭转,91,若,C,和,D,两点处的壁厚分别为,d,1,和,d,2,，则由该,分离体的平衡条件,F,x,=0,有,t,1,d,1,d,x,=,t,2,d,2,d,x,从而知,亦即横截面上沿周边任一点处,td,为常量。,第四章 扭转,92,从而有,(,参见图,),：,于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计算公式：,薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公式。事实上此式即是,3-2,中导出的公式。,第四章 扭转,式中，,A,0,为壁厚中线所围的面积。,93,闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力,t,max,在最小壁厚,d,min,处：,值得注意的是，开口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力,t,max,是在壁厚最大的组成部分的长边中点处。,第四章 扭转,94,(2),杆的,单位长度扭转角的计算公式,杆内任一点处的应变能密度：,单位长度杆内的应变能：,当,壁,厚,d,为常数时有,单位长度杆两端截面上的扭矩作的功：,于是，根据,V,=,W,得单位长度扭转角的计算公式：,第四章 扭转,95,例题,3-10,一等厚度环形薄壁截面杆,(,图,a),和一等厚度正方的箱形薄壁截面杆,(,图,b),横截面面积相等,(,A,1,=,A,2,),，,壁厚,d,亦相等，两杆的材料和杆的横截面上的扭矩,T,都相同。试求两杆横截面上切应力之比 和两杆单位长度扭转角之比,(,j,1,/,j,2,),。,第四章 扭转,96,2.,求,3.,求,由以上结果可知，在横截面面积相等等规定条件下，环形截面杆的抗扭性能比正方的箱形截面杆要好。,解：,1.,根据,A,1,=,A,2,求,r,0,与,b,的关系,由,2p,r,0,d,=4,b,d,得,第四章 扭转,第四章 完,97,