2024-2025学年广东省广州市花都区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列四个字母中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是180°
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
3．（3分）在半径为10cm的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（　　）
A．5πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm
4．（3分）已知反比例函数y=n-3x的图象位于第一、三象限，则n的取值范围是（　　）
A．n≠0 B．n≠3 C．n＜3 D．n＞3
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
6．（3分）某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为x，则依题意可列出的方程为（　　）
A．25（1+x）×2＝36
B．25+25（1+x）+25（1+x）2＝36
C．25（1+x）2＝36
D．25（1+x）3＝36
7．（3分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣3，2），B（﹣2，0），D（4，0），则点C的坐标是（　　）

A．（4，﹣6） B．（6，﹣4） C．（6，﹣5） D．（﹣6，4）
9．（3分）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝26cm，MN为水面截线，MN＝24cm，GH为桌面截线，AB∥MN∥GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了7cm，则此时水面截线EF为（　　）

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（3，0），P是抛物线上第四象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当AQ+PQ取最大值时，点P的坐标为（　　）．

A．（1，9） B．(12，-254) C．(12，-9) D．（1，﹣6）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝4（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　 　 ．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOC＝130°，则∠ABC的度数为 　 　 ．

13．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点D恰好落在边AC上．若AB＝2，AE＝6．则CD的长为 　 　 ．

14．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=kx(k＞0)图象上的两点，则y1　 　 y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．（3分）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　 　 个．
16．（3分）如图，点P是△ABC外接圆⊙O上的一个动点（点P不与点A，B，C重合），AB＝6，∠APC＝∠CPB＝60°．则下列结论：①△ABC是等边三角形；②2PC＝PA+PB；③以A，P，B，C为顶点的四边形的最大面积是123；④若点M在⊙O内运动时，始终满足MA：MB：MC＝1：2：3，则点M运动的路径长度为2π．其中正确的是 　 　 .（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣5＝0．
18．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，直线CE与直径AB的延长线交于点D，CA＝CD．求证：CE是⊙O的切线．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）画出△A1B1C1，使得它与△ABC关于原点O对称；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．

20．（6分）已知A（2，3）是反比例函数图象上一点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若点P（1，a）是这个反比例函数图象上的点，连接OP（O为坐标原点），过点P作PB⊥x轴，求△POB的面积．
21．（8分）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了 　 　 名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 　 　 ；
（3）在选择“E”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
22．（10分）某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地ABCD布展，AB＝8米，AD＝12米．为了让展览效果更好，现将长方形场地ABCD划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度．

23．（10分）如图，在△ABC中，点E在边AC上，且∠ABE＝∠C，AE＝4，AB＝6，点D是BE的中点，连接AD并延长，交BC于点F，EG∥AF，交BC于点G．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）求CGBE的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=14x2先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点M（m，n）（m＞0）为新抛物线上一点．
（1）直接写出平移后新抛物线的表达式；
（2）当x＞0时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为G，过点M作y轴的垂线l，若直线l与图象G只有一个交点，求m的取值范围；
（3）若点M在原抛物线上的对应点为M′，连接OM，OM′，当△OMM′为直角三角形，且MM′为直角边，求点M的坐标．
25．（12分）如图，在▫OABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，以点O为圆心，作⊙O与直线AC相切，切点为点E，连接OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）延长EO交⊙O于点F，点G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长；
（3）点P是⊙O上一个动点，连接BP交直线AC于点H．在点P运动过程中，BPBH是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
A
C
C
B
B
D

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列四个字母中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】在一个平面内，如果一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A、字母M不是中心对称图形，不符合题意；
B、字母A不是中心对称图形，不符合题意；
C、字母T不是中心对称图形，不符合题意；
D、由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则有字母H是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是180°
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、三角形的内角和是180°，是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）在半径为10cm的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（　　）
A．5πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
在半径为10cm的圆中，90°的圆心角所对的弧长为：90⋅π⋅10180=5π（cm）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
4．（3分）已知反比例函数y=n-3x的图象位于第一、三象限，则n的取值范围是（　　）
A．n≠0 B．n≠3 C．n＜3 D．n＞3
【分析】根据反比例函数的性质构建不等式解决问题．
【解答】解：∵反比例函数y=n-3x的图象位于第一、三象限，
∴n﹣3＞0，
∴n＞3．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝22﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（3分）某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为x，则依题意可列出的方程为（　　）
A．25（1+x）×2＝36
B．25+25（1+x）+25（1+x）2＝36
C．25（1+x）2＝36
D．25（1+x）3＝36
【分析】由该厂今年1月份及3月份的产值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得25（1+x）2＝36．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣3，2），B（﹣2，0），D（4，0），则点C的坐标是（　　）

A．（4，﹣6） B．（6，﹣4） C．（6，﹣5） D．（﹣6，4）
【分析】根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，B（﹣2，0），D（4，0），
∴△OAB∽△OCD且相似比为1：2，
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点C的坐标是（﹣3×（﹣2），2×（﹣2）），即（6，﹣4），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．（3分）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝26cm，MN为水面截线，MN＝24cm，GH为桌面截线，AB∥MN∥GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了7cm，则此时水面截线EF为（　　）

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【分析】过O作OH⊥EF，由垂径定理得到EF＝2FH，由勾股定理求出FH＝5cm，得到EF＝10cm．即可得到答案．
【解答】解：过O作OH⊥EF，连接OF，
∴EF＝2FH，
∵水面高度下降了7cm，
∴OH＝5+7＝12（cm），
∵OF=12AB＝13cm，
∴FH=OF2-OH2=5（cm），
∴EF＝10cm．
故选：B．

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（3，0），P是抛物线上第四象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当AQ+PQ取最大值时，点P的坐标为（　　）．

A．（1，9） B．(12，-254) C．(12，-9) D．（1，﹣6）
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再设点P（m，m2﹣m﹣6），则Q（m，0），且0＜m＜3．列出AQ+PQ＝m+1﹣m2+m+6＝﹣m2+2m+7＝﹣（m﹣1）2+8，根据二次函数最值求法得到m值，代入点P（m，m2﹣m﹣6）求出坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（3，0），
∴4-2b+c=09+3b+c=0，解得b=-1c=-6，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣6．
设点P（m，m2﹣m﹣6），则Q（m，0），且0＜m＜3．
∴AQ+PQ＝m+1﹣m2+m+6＝﹣m2+2m+7＝﹣（m﹣1）2+8，
当m＝1时，AQ+PQ有最大值，最大值为8，
∴P（1，﹣6）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求出二次函数解析式是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝4（x﹣3）2+2的顶点坐标是 　（3，2）　 ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+2为抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOC＝130°，则∠ABC的度数为 　65°　 ．

【分析】根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半”即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∠ABC=12∠AOC=12×130°=65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半”是解题的关键．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点D恰好落在边AC上．若AB＝2，AE＝6．则CD的长为 　4　 ．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝2，AC＝AE＝6，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD＝2，AC＝AE＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=kx(k＞0)图象上的两点，则y1　＜　 y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：反比例函数y=kx(k＞0)中，k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（﹣1，y1），B（3，y2），
∴点A在第三象限、B在第一象限，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3分）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　16　 个．
【分析】设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8，
∴发现摸到白球的频率稳定于0.8，
设白球的个数有x个，
根据题意，得：xx+4=0.8，
解得x＝16，
经检验x＝16是分式方程的解，
∴估计箱子里白球的个数为16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
16．（3分）如图，点P是△ABC外接圆⊙O上的一个动点（点P不与点A，B，C重合），AB＝6，∠APC＝∠CPB＝60°．则下列结论：①△ABC是等边三角形；②2PC＝PA+PB；③以A，P，B，C为顶点的四边形的最大面积是123；④若点M在⊙O内运动时，始终满足MA：MB：MC＝1：2：3，则点M运动的路径长度为2π．其中正确的是 　①②　 .（填写所有正确结论的序号）

【分析】①根据圆周角定理，得到∠ABC＝∠BAC＝60°，从而判断；
②因为△ABC的面积为定值，所以当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，根据圆的性质以及垂径定理可知，OP⊥AB时，△PAB面积最大，根据等边三角形的性质以及外心的性质求出外接圆的半径，然后根据对角线垂直的四边形面积公式求解即可；
③将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCP′，根据等边三角形的判定可以得到△PBP′为等边三角形，再根据旋转的性质得到P′在PC上，从而可以求解PC，PA，PB的数量关系；
④将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△BCN，根据②可知△MBN为等边三角形，在根据MA：MB：MC，可以判定△CMN的形状，从而得到∠BNC，进而可以得到N点的位置，从而判断．
【解答】解：①∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
故①正确；
②∵△ABC的面积为定值，
∴当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，
以题图为例，
∵AB＝6，为定值，
∴当P到AB距离最大时，△PAB面积最大，
∴此时，OP⊥AB，
∴C，O，P共线，
连接CP，交AB于D，如图：

∵△ABC为等边三角形，CD⊥AB，
∴AD＝3，CD＝33，
∵O为△ABC外接圆圆心，
∴OC=23CD＝23，
∴PC＝2OC＝43，
∴S四边形APBC=12AB•PC＝123；
故②正确；
③将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCP′，如图：

∴∠BCP′＝∠PAB，CP′＝AP，BP＝BP′，∠PBP′＝60°，
∴△PBP′为等边三角形，
∴PP′＝BP，
∵∠PAB＝∠PCB，
∴∠BCP′＝∠PCB，
∴P′在PC上，
∴PC＝PP′+CP′＝AP+BP，
故②错误；
④将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△BCN，如图：

∴CN＝AM，
由②知，△MBN为等边三角形，
∴MN＝BM，∠BNM＝60°，
∵MA：MB：MC＝1：2：3，
∴CN：MN：MC＝1：2：3，
∴CN2+MN2＝MC2，
∴MN⊥CN，
∴∠BNC＝90°+60°＝150°，
∵∠BAC＝60°，
∴N在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，
又∵CN：BN＝1：2，
∴N点为定点，
∴M点为定点，没有运动轨迹；
故③错误；
综上所述，正确的是①②．
故答案为：①②．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，采用旋转构造特殊三角形是本题解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣5＝0．
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【解答】解：原方程变形为（x﹣1）（x+5）＝0
∴x1＝﹣5，x2＝1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
18．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，直线CE与直径AB的延长线交于点D，CA＝CD．求证：CE是⊙O的切线．

【分析】连接OC，由圆周角定理求得∠BOC＝60°，由等腰三角形的性质求得∠CDA＝30°，即可求得∠OCD＝90°，根据切线的判定定理即可证得CE是⊙O的切线．
【解答】证明：∵∠CAB＝30°，CA＝CD．
∴∠CDA＝∠CAB＝30°，
连接OC，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°
∴∠BOC+∠CDA＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CE，
∵点C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，证明∠OCD＝90°是解决问题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）画出△A1B1C1，使得它与△ABC关于原点O对称；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，4），B1（4，2），C1（﹣1，2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
20．（6分）已知A（2，3）是反比例函数图象上一点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若点P（1，a）是这个反比例函数图象上的点，连接OP（O为坐标原点），过点P作PB⊥x轴，求△POB的面积．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．利用待定系数法求解；
（2）求出点P的坐标，利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．
∵A（2，3）是反比例函数图象上一点，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
（2）∵点P（1，a）是这个反比例函数图象上的点，
∴a＝6，
∴P（1，6），
∵PB⊥x轴，
∴△POB的面积=12×1×6＝3．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
21．（8分）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了 　80　 名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 　72°　 ；
（3）在选择“E”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
【分析】（1）根据A的人数及所占百分比求出总人数；
（2）总人数减去ABCE的人数，可求D人数，再补全统计图即可；360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好选到相同性别学生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）8÷10%＝80（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）D的人数＝80﹣8﹣16﹣32﹣4＝20（名），
补全统计图如图所示：
，
360°×1680=72°，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为72°．
故答案为：72°；
（3）作树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为412=13．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地ABCD布展，AB＝8米，AD＝12米．为了让展览效果更好，现将长方形场地ABCD划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度．

【分析】设通道的宽度为x米，则六个展区的长为（12﹣2x）米，宽为（8﹣x）米，根据六个展区的总面积为70平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设通道的宽度为x米，则六个展区的长为（12﹣2x）米，宽为（8﹣x）米，
由题意得：（12﹣2x）（8﹣x）＝70，
整理得：x2﹣14x+13＝0，
解得：x1＝1，x2＝13（不符合题意，舍去），
答：通道的宽度为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，点E在边AC上，且∠ABE＝∠C，AE＝4，AB＝6，点D是BE的中点，连接AD并延长，交BC于点F，EG∥AF，交BC于点G．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）求CGBE的值．

【分析】（1）由∠ABE＝∠C，∠EAB＝∠BAC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE∽△ACB；
（2）由DE＝DB，EG∥AF，得FGFB=DEDB=1，则FG＝FB=12BG，由△ABE∽△ACB，AE＝4，AB＝6，得BECB=ABAC=AEAB=46=23，则BE=23CB，AC＝9，所以CE＝5，则CGFG=CEAE=54，即CG12BG=54，求得CGBG=58，则CG=513CB，所以CGBE=1526．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠C，∠EAB＝∠BAC，
∴△ABE∽△ACB．
（2）解：∵点D是BE的中点，
∴DE＝DB，
∵EG∥AF，
∴FGFB=DEDB=1，
∴FG＝FB=12BG，
∵△ABE∽△ACB，AE＝4，AB＝6，
∴BECB=ABAC=AEAB=46=23，
∴BE=23CB，AC=AB2AE=624=9，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5，
∴CGFG=CEAE=54，
∴CG12BG=54，
∴CGBG=58，
∴CG=55+8CB=513CB，
∴CGBE=513CB23CB=1526，
∴CGBE的值是1526．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，推导出BECB=23及CGBG=58是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=14x2先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点M（m，n）（m＞0）为新抛物线上一点．
（1）直接写出平移后新抛物线的表达式；
（2）当x＞0时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为G，过点M作y轴的垂线l，若直线l与图象G只有一个交点，求m的取值范围；
（3）若点M在原抛物线上的对应点为M′，连接OM，OM′，当△OMM′为直角三角形，且MM′为直角边，求点M的坐标．
【分析】（1）根据函数图象的平移规律即可得出答案；
（2）画出图象G的示意图，仔细观察图象即可得出答案；
（3）分两种情况：①当∠OM'M＝90°时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解；②当∠OMM'＝90°时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解．
【解答】解：（1）将抛物线y=14x2先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线y=14(x-2)2-4=14x2-x-3．
（2）图象G如图1所示，新抛物线y=14x2-x-3的顶点坐标为（2，﹣4），令0=14x2-x-3，
可得x＝﹣2或6，故新抛物线y=14x2-x-3交x轴正半轴于点（6，0），交y轴于点（0，﹣3），
根据对称性可得新抛物线过点（4，﹣3），

当直线l与图象G只有一个交点时，观察图象可得：m＝2或4＜m＜6．
（3）设M（m，14m2-m-3），M'为M的对应点，
∴M'的坐标为（m﹣2，14m2-m+1），
当△OMM′为直角三角形，MM′为直角边，
①当∠OM'M＝90°时，如图2：

过M'作M'A⊥y轴于点A，作MB⊥AM'交AM'于点B，
∵∠AOM'+∠AM'O＝90°，∠AM'O+∠BM'M＝90°，
∴∠AOM'＝∠BM'M，
∴tan∠AOM'＝tan∠BM'M，即AM′AO=BMBM′，
∵AO=14m2-m+1，AM'＝m﹣2，BM'＝2，BM＝4，
∴m-214m2-m+1=2，解得：m＝2或4．
当m＝2时，M'（0，0）与原点重合，不符合题意，故m＝4，
此时可得M（4，﹣3）；
②当∠OMM'＝90°时，如图3：

同理可证得∠M'MC＝∠MOD，
∴tan∠M'MC＝tan∠MOD，即MDOD=CM′CM，
∵OD＝m，MD=14m2-m-3，CM＝4，CM'＝2，
∴14m2-m-3m=12，解得m=3±21（m＞0，负值舍去），
故m=3+21，此时M（3+21，3+212），
综上，M坐标为（4，﹣3）或（3+21，3+212）．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，三角形相似的判定，三角函数，一线三垂直模型的运用以及分类讨论的数学思想，构造出“三垂直模型”是解题的关键．
25．（12分）如图，在▫OABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，以点O为圆心，作⊙O与直线AC相切，切点为点E，连接OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）延长EO交⊙O于点F，点G是射线EC上一点，若△EFG与△EOC相似，请求出EG的长；
（3）点P是⊙O上一个动点，连接BP交直线AC于点H．在点P运动过程中，BPBH是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）可推出OC＝AB＝2，∠ACO＝∠BAC＝30°，进一步得出结果；
（2）分两种情形：当△EFG∽△ECO时，此时∠F＝∠ECO＝30°，进一步得出结果；当△EFG∽△EOC时，∠FGE＝∠ECO＝30°，进一步得出结果；
（3）作PQ∥AB，交AC的延长线于点Q，可推出△PQH∽△BAH，从而PHBH=PQAB，进而得出BPBH=PQ2+1，从而得出当PQ最大时，BPBH最大，平移AQ，使平移后的直线与⊙O相切，设切点为P′，作P′Q′∥AB，交AQ于Q′，连接OP′，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AB＝2，OC∥AB，
∴∠ACO＝∠BAC＝30°，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠CEO＝90°，
∴OE=12OC＝1，
∴⊙O的半径为：1；
（2）如图1﹣1，
当△EFG∽△ECO时，
∠F＝∠ECO＝30°，
∵∠FEC＝90°，EF＝2OE＝2，
∴EG＝EF•tanF＝2•tan30°＝2×33=233，

如图1﹣2，
当△EFG∽△EOC时，
∠FGE＝∠ECO＝30°，
∴∠F＝90°﹣∠ECO＝60°，
∴EG＝EF•tan60°＝23，
综上所述：EG=233或23；
（3）如图2，

作PQ∥AB，交AC的延长线于点Q，
∴△PQH∽△BAH，
∴PHBH=PQAB，
∴PH+BHBH=PQ+ABAB，
∴BPBH=PQ2+1，
∴当PQ最大时，BPBH最大，
平移AQ，使平移后的直线与⊙O相切，设切点为P′，作P′Q′∥AB，交AQ于Q′，连接OP′，
当点P在P′时，BPBH最大，
由上知，∵P′Q′＝2EP′＝4，
∴P′Q′2+1=3，
∴BPBH最大值为：3．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
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