2024-2025学年广东省广州市黄埔区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形的三边长分别是4、7、a，则a的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）要使分式3x-3有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3
4．（3分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　）

A．105° B．120° C．75° D．45°
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3
6．（3分）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△ABC）上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△ABC的（　　）

A．三条中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．以上都不对
7．（3分）如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（　　）

A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA
8．（3分）根据分式的基本性质，分式-aa-b可变形为（　　）
A．a-a-b B．ab-a C．aa-b D．aa+b
9．（3分）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）

A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+12∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在0.000007m左右．数据0.000007用科学记数法表示为　 　 ．
12．（3分）因式分解：x2+3x＝　 　 ．
13．（3分）已知正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数为　 　 ．
14．（3分）如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 　 　 ．

15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延长AD到点E，使DE＝4，连接CE，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　 　 秒时，△CDP与△DCE全等．

16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是 　 　 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：
（1）（﹣24x2y）÷6xy；
（2）（a+1）（a﹣1）+4a2．
18．（4分）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的中点，连接AE．若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长．

19．（6分）先化简，再求值：(m+4m+4m)⋅2m2m+2，其中m满足m2+2m﹣3＝0．
20．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：BD＝CD．

21．（8分）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD，CD，AD＝CD．过点D作DE∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度数．

22．（10分）已知△ABC为底角为30°的等腰三角形，
（1）尺规作图作线段AC的垂直平分线，与AC交于点D，与BC交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC＝6，求DE的长．

23．（10分）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．
（1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；
（2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？
24．（12分）【阅读材料】若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣3＝b．则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣2）＝1，则（4﹣x）2+（x﹣2）2的值为 　 　 ．
（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH．求阴影部分的面积．

25．（12分）在平面直角坐标系内，已知A（a，0），B（0，b），且满足（a﹣b）2＝0．
（1）如图1，∠ABO＝　 　 °；
（2）如图2，点D是线段OA上一点，点C在第一象限，连接OC、CD、BC．若CD交AB于点E．满足∠CBE＝∠CEB，OC⊥BC，BC＝5，DE＝7，求点A到OC的距离；
（3）如图3，若∠AOC＝45°，点A（4，0），点P在射线OC上运动，连接PA，以AP为斜边向下作等腰直角△APQ，当点P运动的过程中，求BQ的最小值．

2024-2025学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
A
B
C
B
B
D

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、D选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字；
C选项中的图标能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若三角形的三边长分别是4、7、a，则a的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜a＜11，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得到：7﹣4＜a＜7+4，
∴3＜a＜11，
∴a的取值可以是4．
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．（3分）要使分式3x-3有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据分式的分母不为零求解即可．
【解答】解：要使分式3x-3有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
4．（3分）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　）

A．105° B．120° C．75° D．45°
【分析】三角形内角和是180°，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ECA＝45°，∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是180°．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项符合题意；
B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故此选项不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△ABC）上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△ABC的（　　）

A．三条中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．以上都不对
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△ABC的三条角平分线的交点处．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（3分）如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（　　）

A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
A、由SAS判定△ABC≌△CDA，故A不符合题意；
B、由AAS判定△ABC≌△CDA，故B不符合题意；
C、∠DAC和∠ACB，分别是DC和AB的对角，不能判定△ABC≌△CDA，故C符合题意；
D、由ASA判定△ABC≌△CDA，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
8．（3分）根据分式的基本性质，分式-aa-b可变形为（　　）
A．a-a-b B．ab-a C．aa-b D．aa+b
【分析】利用分式的性质即可求得答案．
【解答】解：-aa-b=ab-a=-aa-b，
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
9．（3分）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）

A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积＝a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；
剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+12∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】由∠OAB＝∠OAC=12∠CAB，∠OBA＝∠OBC=12∠CBA，推导出∠OAB+∠OBA＝90°-12∠ACB，则∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝90°+12∠ACB，可判断①正确；连接OC，作OL⊥AC于点L，OM⊥AB于点M，由角平分线的性质得OL＝OM＝OD＝a，求得S△ABC=12a（AB+BC+CA）=12ab≠ab，可判断②错误；在AB上截取AH＝AF，连接OB，由∠C＝60°，求得∠AOB＝90°+12∠C＝120°，则∠AOF＝∠BOE＝60°，可证明△AOH≌△AOF，得∠AOH＝∠AOF＝60°，则∠BOH＝∠BOE＝60°，再证明△BOH≌△BOE，得BH＝BE，则AF+BE＝AH+BH＝AB，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC的角平分线AE、BF交于点O，
∴∠OAB＝∠OAC=12∠CAB，∠OBA＝∠OBC=12∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=12（∠CAB+∠CBA）=12（180°﹣∠ACB）＝90°-12∠ACB，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（90°-12∠ACB）＝90°+12∠ACB，
故①正确；
如图1，连接OC，作OL⊥AC于点L，OM⊥AB于点M，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE交BF于点O，且OD⊥BC于点D，
∴OL＝OM＝OD＝a，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB•OM+12BC•OD+12CA•OL=12a（AB+BC+CA）
∵AB+BC+CA＝b，
∴S△ABC=12ab≠ab，
故②错误；
如图2，在AB上截取AH＝AF，连接OB，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝90°+12∠C＝120°，
∴∠AOF＝∠BOE＝180°﹣∠AOB＝60°，
在△AOH和△AOF中，
AH=AF∠OAH=∠OAFOA=OA，
∴△AOH≌△AOF（SAS），
∴∠AOH＝∠AOF＝60°，
∴∠BOH＝∠AOB﹣∠AOH＝60°，
∴∠BOH＝∠BOE，
在△BOH和△BOE中，
∠OBH=∠BOEOB=OB∠OBH=∠OBE，
∴△BOH≌△BOE（ASA），
∴BH＝BE，
∴AF+BE＝AH+BH＝AB，
故③正确，
故选：D．

【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在0.000007m左右．数据0.000007用科学记数法表示为　7×10﹣6　 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000007＝7×10﹣6．
故答案为：7×10﹣6．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）因式分解：x2+3x＝　x（x+3）　 ．
【分析】根据因式分解的一般步骤计算即可．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
故答案为：x（x+3）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的相关知识是解题的关键．
13．（3分）已知正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数为　6　 ．
【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【解答】解：360°÷60°＝6，
即正多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
14．（3分）如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 　50°　 ．

【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝70°，
∴∠CDE＝∠C′DE＝110°，
∴∠C′DA′＝40°，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延长AD到点E，使DE＝4，连接CE，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　43或5　 秒时，△CDP与△DCE全等．

【分析】根据题意分两种情况：△CDP≌△DCE和△CDP≌△CDE，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，当△CDP≌△DCE时，

∴CP＝DE＝4，
∵在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴BC＝AD＝5，
∴BP＝BC﹣PC＝1，
∴AB+BP＝3+1＝4，
∵点P的运动时间为每秒3个单位，
∴t=4÷3=43（秒）；
如图所示，当△CDP≌△CDE时，

∴DP＝DE＝4，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴AB+BC+CD+PD＝3+5+3+4＝15，
∴t＝15÷3＝5（秒），
综上所述，当t的值为43或5秒时，△CDP与△DCE全等．
故答案为：43或5．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，关键是矩形性质的熟练掌握．
16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是 　12a+b　 ．

【分析】作射线CF，由等边三角形的性质得AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝∠EAF＝60°，推导出∠CAF＝∠BAE，则△CAF≌△BAE，的以∠ACF＝∠ABE＝30°，可知点F在射线CF上运动，作点A关于直线CF的对称点H，连接AH、CH，DH、FH，可证明△AHC是等边三角形，推导出HD＝BD＝b，而AC＝a，则AD＝CD=12a，由HF+DF≥DH，得AD+AF+DF≥12a+b，则△ADF周长的最小值为12a+b，于是得到问是的答案．
【解答】解：作射线CF，
∵△ABC和△AEF都是等边三角形，
∴AC＝AB，AF＝AE，∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠BAE＝60°﹣∠CAE，
在△CAF和△BAE中，
AC=AB∠CAF=∠BAEAF=AE，
∴△CAF≌△BAE（SAS），
∵BD为等边△ABC的中线，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝30°，BD⊥AC，AD＝CD，
∴∠ACF＝∠ABE＝30°，
∴点F在射线CF上运动，
作点A关于直线CF的对称点H，连接AH、CH，DH、FH，
∵CF垂直平分AH，
∴HC＝AC，HF＝AF，
∴∠HCF＝∠ACF＝30°，
∴∠ACH＝2∠ACF＝60°，
∴△AHC是等边三角形，
∴AH＝AC＝AB，HD⊥AC，
∴∠ADH＝∠ADB＝90°，
∴∠ADH+∠ADB＝180°，
∴B、D、H三点在同一条直线上，
∵AH＝AB，AD⊥BH，
∴HD＝BD＝b，
∵AC＝a，
∴AD＝CD=12a，
∵HF+DF≥DH，
∴AD+AF+DF≥AD+DH，
∴AD+AF+DF≥12a+b，
∴△ADF周长的最小值为12a+b，
故答案为：12a+b．

【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称﹣最短路线问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：
（1）（﹣24x2y）÷6xy；
（2）（a+1）（a﹣1）+4a2．
【分析】（1）根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式计算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣24÷6）•（x2÷x）•（y÷y）
＝﹣4x；
（2）原式＝a2﹣1+4a2
＝5a2﹣1．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则．
18．（4分）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的中点，连接AE．若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长．

【分析】先利用三角形的面积求出BC＝10，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，△ABC的面积为20，
∴12AD•BC＝20，
∵AD＝4，
∴BC＝10，
∵点E为边BC上的中点，
∴BE=12BC＝5．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：(m+4m+4m)⋅2m2m+2，其中m满足m2+2m﹣3＝0．
【分析】先把小括号内的式子通分，然后计算分式乘法化简，最后代值计算即可．
【解答】解：(m+4m+4m)⋅2m2m+2，
=m2+4m+4m⋅2m2m+2
=(m+2)2m⋅2m2m+2
＝2m（m+2）
＝2m2+4m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6，
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：BD＝CD．

【分析】由AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F得DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BED≌△CFD，得BD＝CD．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
BE=CF∠BED=∠CFDDE=DF，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】此题重点考查角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BED≌△CFD是解题的关键．
21．（8分）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD，CD，AD＝CD．过点D作DE∥BC交AB于点E，交AC于点F．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度数．

【分析】（1）结论：△AEF是等边三角形．证明∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°即可；
（2）求出∠EDC＝100°可得结论．
【解答】解：（1）结论：△AEF是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥CB，
∴∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵DA＝DC，∠ADC＝140°，
∴∠DAC＝∠DCA＝20°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝80°，
∵DE∥CB，
∴∠EDC＝180°﹣∠DCB＝100°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC140°﹣100°＝40°．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）已知△ABC为底角为30°的等腰三角形，
（1）尺规作图作线段AC的垂直平分线，与AC交于点D，与BC交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC＝6，求DE的长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）连接AE，由题意得∠B＝∠C＝30°．由线段垂直平分线的性质可得∠CDE＝90°，AE＝CE，则∠CAE＝∠C＝30°，∠AEB＝∠C+∠EAC＝60°，则∠BAE＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质可得BE＝2AE，进而可得AE＝CE＝2．在Rt△CDE中，可得DE=12CE=1．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．

（2）连接AE，
∵△ABC为底角为30°的等腰三角形，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵直线DE为线段AC的垂直平分线，
∴∠CDE＝90°，AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝30°．
∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝2AE．
∵BC＝6，
∴BE+CE＝2AE+AE＝6，
∴AE＝2，
∴CE＝2．
在Rt△CDE中，∠C＝30°，
∴DE=12CE=1．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．
（1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；
（2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？
【分析】（1）设甲图书每本的价格为x元，则乙图书每本的价格是（x+10）元，根据用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲图书m本，则购买乙图书（50﹣m）本，根据购书总费用不超过2860元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设甲图书每本的价格为x元，则乙图书每本的价格是（x+10）元，
由题意得：5000x=6000x+10，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝50+10＝60，
答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元；
（2）设购买甲图书m本，则购买乙图书（50﹣m）本，
由题意得：50m+60（50﹣m）≤2860，
解得：m≥14，
答：最少购进甲图书14本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）【阅读材料】若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣3＝b．则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣2）＝1，则（4﹣x）2+（x﹣2）2的值为 　2　 ．
（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH．求阴影部分的面积．

【分析】（1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据题意易得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，然后设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则a﹣b＝2，ab＝24，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）设4﹣x＝a，x﹣2＝b，
∴a+b＝4﹣x+x﹣2＝2，
∵（4﹣x）（x﹣2）＝1，
∴ab＝1，
∴（4﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝22﹣2×1
＝4﹣2
＝2，
故答案为：2；
（2）设n﹣2022＝a，2025﹣n＝b，
∴a+b＝n﹣2022+2025﹣n＝3，
∵（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，
∴a2+b2＝4，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝9﹣4
＝5，
∴ab＝2.5，
∴（n﹣2022）（2025﹣n）的值为2.5；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴DE＝MF＝x﹣1，ME＝DF＝x﹣3，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
∴a﹣b＝x﹣1﹣（x﹣3）＝2，
∵长方形EMFD的面积是24，
∴EM•MF＝24，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝24，
∴ab＝24，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
＝4+4×24
＝4+96
＝100，
∵a+b＞0，
∴a+b＝10，
∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积
＝MF2﹣DF2
＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×2
＝20．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（12分）在平面直角坐标系内，已知A（a，0），B（0，b），且满足（a﹣b）2＝0．
（1）如图1，∠ABO＝　45　 °；
（2）如图2，点D是线段OA上一点，点C在第一象限，连接OC、CD、BC．若CD交AB于点E．满足∠CBE＝∠CEB，OC⊥BC，BC＝5，DE＝7，求点A到OC的距离；
（3）如图3，若∠AOC＝45°，点A（4，0），点P在射线OC上运动，连接PA，以AP为斜边向下作等腰直角△APQ，当点P运动的过程中，求BQ的最小值．
【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值，即可得出答案；
（2）过点A做AH⊥OC于点H，根据AAS证明△OBC≌△OHA得AH＝OC，再证明CE＝CB即可得出结论；
（3）分B、Q在AP的同侧和异侧两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝0．
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∵A（a，0），B（0，b），
∴OA＝OB，
∵∠BOA＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
故答案为：45；
（2）过点A做AH⊥OC于点H，如图1，

∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△OBC和△OHA中，
∠1=∠3∠OCB=∠OHAOB=OA，
∴△OBC≌△OHA（AAS），
∴OC＝AH，
∵CO＝CD，OB＝OA，
∴∠2＝∠4，∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠4＝∠5+∠OAB＝∠5+45°，
∠2＝∠OBC＝∠7+∠OBA＝∠7+45°，
∴∠5＝∠7，
又∵∠5＝∠6，
∴∠6＝∠7，
∴CE＝CB＝5，
∴AH＝CO＝CD＝CE+ED＝5+7＝12；
（3）分别过P、Q点作PM∥x轴，MN∥y轴，

∵∠PQA＝90°，PQ＝AQ，
∴∠PQM+∠AQN＝90°，
又∵∠MPQ+∠PQM＝90°，
∴∠MPQ＝∠NQA，
在△PMQ和△QNA中，
∠PMQ=∠QNA=90°∠MPQ=∠NQAPQ=QA，
∴△PMQ≌△QNA（AAS），
∴MQ＝AN，QN＝PM，
∴设Q（x，y），
∵P（t，t），A（m，0），
∴m-x+y=tx+y=t，
解得x=m2y=t-m2，
∴Q点在垂直x轴的直线上运动，
∴BQ≥12m，
如图3，当B、Q在AP的异侧时，同理可得：

∴x-m+y=tx-y=t，
解得x=t+m2y=m2，
∴Q点在垂直y轴的直线上运动且x＞m2，
∴BQ＞22m，
综上所述，BQ的最小值为12m．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
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