2023-2024学年广东省广州市荔湾区七年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024学年广东省广州市荔湾区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）有4，-92，-3，0四个数，其中最小的是（　　）
A．4 B．-92 C．﹣3 D．0
2．（3分）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分，大约10分钟后成功进入预定轨道．把“450000”用科学记数法表示应为（　　）
A．4.5×105 B．4.5×106 C．45×104 D．0.45×106
3．（3分）多项式2a3b+ab2﹣ab的次数和项数分别是（　　）
A．3，3 B．4，3 C．3，2 D．2，2
4．（3分）下列式子计算正确的是（　　）
A．3x+2y＝5xy B．5x﹣3x＝2
C．﹣2（x﹣y）＝﹣2x﹣2y D．3x2y﹣2yx2＝x2y
5．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（　　）
A．x﹣y＝2 B．x2﹣2x＝0 C．x2=5 D．2x-5＝0
6．（3分）历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x＝﹣1时，多项式f（x）＝x2+3x﹣5的值记为f（﹣1），那么f（﹣1）等于（　　）
A．﹣7 B．﹣9 C．﹣3 D．﹣1
7．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a=23b+53 D．3ac＝2bc+5
8．（3分）如图，正方体的展开图为（　　）

A． B．
C． D．
9．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空：二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　）
A．4（x﹣1）＝2x+8 B．4（x+1）＝2x﹣8
C．x4+1=x+82 D．x4+1=x-82
10．（3分）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣1.5的相反数是　 　．
12．（3分）如果x＝﹣2是方程3kx﹣2k＝8的解，则k＝　 　．
13．（3分）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC＝　 　．

14．（3分）一个长方形的周长为8a+6b，其中长为a﹣2b，则宽为 　 　．
15．（3分）已知线段AB＝20，在直线AB上有一点C，且BC＝6，若点M，N分别是线段AB，BC的中点，则线段MN的长为 　 　．
16．（3分）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，以此类推，当摆放2024个时，实线部分长为 　 　．

三、解答题（本大题共9题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：x-32-2x3=1．
18．（4分）如图，已知点A，B，C，请按下列要求画图．
（1）画直线BC和线段AC；
（2）画射线AB，并在射线AB上用尺规作线段AE，使得AE＝3AC（注：不写作法，保留作图痕迹）．

19．（6分）计算：
（1）5﹣（﹣12）﹣15+（﹣8）；
（2）|-13|×(-1)2023-6÷(-32)．
20．（6分）先化简，再求值：2（x3﹣3xy）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3xy+2x3），其中x﹣y＝5，xy=13．
21．（8分）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．
棒次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
里程波动值
2
6
﹣5

3
﹣2
0
﹣5
﹣8

4
1
（1）第2棒火炬手的实际里程为 　 　米，第6棒火炬手的实际里程为 　 　米；
（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．
22．（10分）如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
（1）若∠COE=13∠BOC，求∠BOE的度数；
（2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数．

23．（10分）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下：
购票张数
1至40
41至80
80以上
每张票的价格
20元
18元
免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40．
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数；
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
24．（12分）已知a是最大的负整数，b，c满足（b﹣9）2+|c﹣2|＝0，数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，长度为c的线段CD在数轴上移动，设点C对应的数为x，点D在点C右侧．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）当点D移动到AB的中点时，求x的值；
（3）当线段CD在射线BA上移动时，是否存在BD﹣AC＝AD？若存在，求此时满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在4：00时，分针的位置为OB，时针的位置为OA，运动后的分针为OP，时针为OQ（本题中的角均指小于180°的角）．
（1）求4：00开始几分钟后分针第一次追上时针；
（2）若在4：00至5：00之间，OM在∠AOP内，ON在∠AOQ内，∠POM=13∠AOP，∠NOQ=13∠AOQ．
①当OP在∠AOB内时，求∠POM和∠AON之间的数量关系；
②从4：00开始几分钟后，∠MON＝111°．

2023-2024学年广东省广州市荔湾区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）有4，-92，-3，0四个数，其中最小的是（　　）
A．4 B．-92 C．﹣3 D．0
【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．
【解答】解：-92＜-3＜0＜4，
故最小的数为-92，
故选：B．
【点评】此题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．
2．（3分）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分，大约10分钟后成功进入预定轨道．把“450000”用科学记数法表示应为（　　）
A．4.5×105 B．4.5×106 C．45×104 D．0.45×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：450000＝4.5×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）多项式2a3b+ab2﹣ab的次数和项数分别是（　　）
A．3，3 B．4，3 C．3，2 D．2，2
【分析】根据多项式的项与次数即可求得答案．
【解答】解：多项式2a3b+ab2﹣ab的次数和项数分别是4，3，
故选：B．
【点评】本题考查多项式，熟练掌握相关定义是解题的关键．
4．（3分）下列式子计算正确的是（　　）
A．3x+2y＝5xy B．5x﹣3x＝2
C．﹣2（x﹣y）＝﹣2x﹣2y D．3x2y﹣2yx2＝x2y
【分析】利用合并同类项的方法和乘法分配律的应用来判断．
【解答】解：A选项中，式子中不含有同类项，不能进行相加，故不符合题意；
B选项中，结果应是2x，故不符合题意；
C选项中，结果应是﹣2x+2y，故不符合题意；
D选项中，3x2y﹣2yx2＝（3﹣2）x2y＝x2y，故符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，关键找到式子中的同类项进行计算再判断．
5．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（　　）
A．x﹣y＝2 B．x2﹣2x＝0 C．x2=5 D．2x-5＝0
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．
6．（3分）历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x＝﹣1时，多项式f（x）＝x2+3x﹣5的值记为f（﹣1），那么f（﹣1）等于（　　）
A．﹣7 B．﹣9 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把x＝﹣1代入f（x）计算即可确定出f（﹣1）的值．
【解答】解：根据题意得：f（﹣1）＝1﹣3﹣5＝﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a=23b+53 D．3ac＝2bc+5
【分析】按照等式的性质分析求解即可．
【解答】解：已知3a＝2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a﹣5＝2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1＝2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a=23b+53，故C一定成立；
选项D：只有在c＝1时，可由3a＝2b+5推得3ac＝2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质在等式变形中的应用，明确等式的性质是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
8．（3分）如图，正方体的展开图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项A中面“＜”与“＝”是对面，因此选项A不符合题意；
再根据上面“∧”符号开口和位置，可以判断选项D符合题意；选项B、C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
9．（3分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空：二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　）
A．4（x﹣1）＝2x+8 B．4（x+1）＝2x﹣8
C．x4+1=x+82 D．x4+1=x-82
【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为4（x﹣1）；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为2x+8．
【解答】解：根据题意可列出方程：4（x﹣1）＝2x+8．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系．
10．（3分）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，
∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，
∴abc＞0或abc＜0，选项①错误；
b+c＞0或b+c＜0，选项②错误；
|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确；
|a﹣c|＞|a|，选项④错误，
其中一定成立的结论个数为1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣1.5的相反数是　1.5　．
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣1.5的相反数是1.5；
故答案为：1.5．
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数时0．
12．（3分）如果x＝﹣2是方程3kx﹣2k＝8的解，则k＝　﹣1　．
【分析】将x＝﹣2代入方程3kx﹣2k＝8中，然后合并同类项，系数化为1即可得到k的值．
【解答】解：∵x＝﹣2，
∴3k×（﹣2）﹣2k＝8，
﹣6k﹣2k＝8，
合并同类项，得
﹣8k＝8，
系数化为1，得
k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查学生对一元一次方程的解理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
13．（3分）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC＝　52°　．

【分析】根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，再计算∠BOD＝∠AOD﹣90°＝38°，然后根据∠BOC＝∠COD﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝128°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝38°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣38°＝52°．
故答案为52°．
【点评】本题考查了角的计算，关键是熟记：1直角＝90°；1平角＝180°．
14．（3分）一个长方形的周长为8a+6b，其中长为a﹣2b，则宽为 　3a+5b　．
【分析】根据题意列出算式12（8a+6b）﹣（a﹣2b），再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：由题意知，宽为12（8a+6b）﹣（a﹣2b）
＝4a+3b﹣a+2b
＝3a+5b，
故答案为：3a+5b．
【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
15．（3分）已知线段AB＝20，在直线AB上有一点C，且BC＝6，若点M，N分别是线段AB，BC的中点，则线段MN的长为 　7或13　．
【分析】分两种情况：当点C在线段AB上时；当点C在线段AB的延长线时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点C在线段AB上时，如图：

∵点M，N分别是线段AB，BC的中点，AB＝20，BC＝6，
∴BM=12AB＝10，BN=12BC＝3，
∴MN＝BM﹣BN＝10﹣3＝7；
当点C在线段AB的延长线时，如图：

∵点M，N分别是线段AB，BC的中点，AB＝20，BC＝6，
∴BM=12AB＝10，BN=12BC＝3，
∴MN＝BM+BN＝10+3＝13；
综上所述：线段MN的长为7或13，
故答案为：7或13．
【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
16．（3分）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，以此类推，当摆放2024个时，实线部分长为 　5060　．

【分析】根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．
【解答】解：第1个图实线部分长3，
第2个图实线部分长3+2，
第3个图实线部分长3+2+3，
第4个图实线部分长3+2+3+2，
第5个图实线部分长3+2+3+2+3，
第6个图实线部分长3+2+3+2+3+2，
从上述规律可以看到，对于第n个图形，当n为奇数时，第n个图形实线部分长度为12（3+2）（n﹣1）+3，
当n为偶数时，第n个图形实线部分长度为12（3+2）n，
∴摆放2024个时，实线部分长为12（3+2）×2024＝5060，
故答案为：5060．
【点评】本题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：x-32-2x3=1．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：x-32-2x3=1，
3（x﹣3）﹣4x＝6，
3x﹣9﹣4x＝6，
3x﹣4x＝6+9，
﹣x＝15，
x＝﹣15．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．（4分）如图，已知点A，B，C，请按下列要求画图．
（1）画直线BC和线段AC；
（2）画射线AB，并在射线AB上用尺规作线段AE，使得AE＝3AC（注：不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】（1）根据直线，线段的定义画出图形；
（2）根据要求画出图形．
【解答】解：（1）如图，直线BC，线段AC即为所求；
（2）如图，线段AE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．（6分）计算：
（1）5﹣（﹣12）﹣15+（﹣8）；
（2）|-13|×(-1)2023-6÷(-32)．
【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算减法即可．
【解答】解：（1）原式＝5+12﹣15﹣8
＝17﹣15﹣8
＝2﹣8
＝﹣6；
（2）原式=13×（﹣1）﹣6÷（﹣9）
=-13+23
=13．
【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：2（x3﹣3xy）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3xy+2x3），其中x﹣y＝5，xy=13．
【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝2x3﹣6xy﹣x+2y﹣x+3xy﹣2x3
＝﹣3xy﹣2x+2y
＝﹣3xy﹣2（x﹣y）；
当x﹣y＝5，xy=13时，
原式＝﹣3×13-2×5＝﹣1﹣10＝﹣11．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（8分）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．
棒次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
里程波动值
2
6
﹣5

3
﹣2
0
﹣5
﹣8

4
1
（1）第2棒火炬手的实际里程为 　66　米，第6棒火炬手的实际里程为 　58　米；
（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）60+6＝66（米），60﹣2＝58（米），
即第2棒火炬手的实际里程为66米，第6棒火炬手的实际里程为58米，
故答案为：66；58；
（2）∵第4棒火炬手的实际里程为61米，
∴第4棒火炬手的里程波动值为1，
则60+0﹣（2+6﹣5+1+3﹣2+0﹣5﹣8+4+1）
＝60+3
＝63（米），
即第10棒火炬手的实际里程为63米．
【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
22．（10分）如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
（1）若∠COE=13∠BOC，求∠BOE的度数；
（2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数．

【分析】（1）先由角平分线的定义求出∠AOC＝∠BOC=12∠AOB＝57°，再由∠COE=13∠BOC得∠COE＝19°，进而根据∠BOE＝∠BOC﹣∠COE可得出答案；
（2）先由∠AOB＝114°得∠AOE+∠BOE＝114°，则∠BOE＝114°﹣∠AOE，再由∠AOE﹣∠BOE＝52°得∠AOE﹣（114°﹣∠AOE）＝52°，由此可求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB=12×114°＝57°，
∴∠COE=13∠BOC=13×57°＝19°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝57°﹣19°＝38°；
（2）∵∠AOB＝114°，
∴∠AOE+∠BOE＝114°，
即∠BOE＝114°﹣∠AOE，
又∵∠AOE﹣∠BOE＝52°，
∴∠AOE﹣（114°﹣∠AOE）＝52°，
∴∠AOE＝83°．
【点评】此题主要考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
23．（10分）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下：
购票张数
1至40
41至80
80以上
每张票的价格
20元
18元
免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40．
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数；
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
【分析】（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生，由“七（1）班的学生人数超过30，但不足40”，可得出七（2）班超过43且不足53，结合“两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出七（1）班学生的人数，再将其代入（83﹣x）中，即可求出七（2）班学生的人数；
（2）分别求出以班为单位单独购票、两班联合购买（83﹣7）张票及两个班联合购买81张票所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生，
根据题意得：20x+18（83﹣x）＝1572，
解得：x＝39，
∴83﹣x＝83﹣39＝44（人）．
答：七（2）班有44名学生；
（2）方案1：以班为单位单独购票，所需费用为20×（39﹣7）+18×44＝1432（元）；
方案2：两个班联合购买正好张数的票，所需费用为18×（83﹣7）＝1368（元）；
方案3：两个班联合购买81张票，所需费用为17×（81﹣2）＝1343（元）．
∵1432＞1368＞1343，
∴最省钱的方案为两个班联合购买81张票．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出各方案所需购票费用．
24．（12分）已知a是最大的负整数，b，c满足（b﹣9）2+|c﹣2|＝0，数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，长度为c的线段CD在数轴上移动，设点C对应的数为x，点D在点C右侧．
（1）a＝　﹣1　，b＝　9　，c＝　2　；
（2）当点D移动到AB的中点时，求x的值；
（3）当线段CD在射线BA上移动时，是否存在BD﹣AC＝AD？若存在，求此时满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据a是最大的负整数，b﹣9＝0，c﹣2＝0，即可得出答案；
（2）用线段AB的中点公式，即可算出D点对应2，又∵CD＝4，用两点间的距离公式即可算出答案；
（3）根据题意可知D对应x+2，BD＝|9﹣（X+2）|＝|7﹣x|，AC＝|﹣1﹣x|，AD＝|﹣1﹣（x+2）|＝|﹣3﹣x|，假设BD﹣AC＝AD，|7﹣x|﹣|﹣1﹣x|＝|﹣3﹣x|，分情况进行讨论，求得x的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知：a是最大的负整数，b﹣9＝0，c﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝9，c＝2，
故答案为：a＝﹣1，b＝9，c＝2．
（2）点A对应的数为a，点B对应的数为b，a＝﹣1，b＝9，
∴AB的中点为（﹣1+9）÷2＝4，
∵点D移动到AB的中点，
∴D对应着4，
∵线段CD＝c＝2，
∴C点对应4﹣2＝2，
故答案为：x＝2．
（3）∵C对应的数为x，点D在点C右侧，CD＝2，
即可知D对应x+2，
∴BD＝|9﹣（X+2）|＝|7﹣x|，AC＝|﹣1﹣x|，AD＝|﹣1﹣（x+2）|＝|﹣3﹣x|，
若BD﹣AC＝AD，|7﹣x|﹣|﹣1﹣x|＝|﹣3﹣x|，
①当x≤﹣3时，7﹣x﹣（﹣1﹣x）＝﹣3﹣x，解得x＝﹣11，
②当﹣3＜x≤﹣1时，7﹣x﹣（﹣1﹣x）＝3+x，解得x＝5（与﹣3＜x≤﹣1不符合题意，舍去），
③当﹣1＜x≤7时，7﹣x﹣（1+x）＝3+x，解得x＝1，
④当x＞7时，﹣7+x﹣（1+x）＝3+x，解得x＝﹣11（与x＞7不符合题意，舍去），
故答案为：存在，此时x为1或﹣11．
【点评】本题考查了数轴和绝对值的知识点，解题的关键在于正确去掉绝对值符号．
25．（12分）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在4：00时，分针的位置为OB，时针的位置为OA，运动后的分针为OP，时针为OQ（本题中的角均指小于180°的角）．
（1）求4：00开始几分钟后分针第一次追上时针；
（2）若在4：00至5：00之间，OM在∠AOP内，ON在∠AOQ内，∠POM=13∠AOP，∠NOQ=13∠AOQ．
①当OP在∠AOB内时，求∠POM和∠AON之间的数量关系；
②从4：00开始几分钟后，∠MON＝111°．

【分析】（1）设4：00开始x分钟后分针第一次追上时针，可得（6x）°﹣（0.5x）°＝4×30°，即可解得答案；
（2）①设运动时间为t分钟，可知∠BOP＝（6t）°，∠AOQ＝（0.5t）°，即得∠AOP＝120°﹣∠BOP＝120°﹣（6t）°，而∠POM=13∠AOP，∠NOQ=13∠AOQ，故∠POM＝40°﹣（2t）°，∠AON=23∠AOQ=23×（0.5t）°＝（13t）°，从而可得6∠AON+∠POM＝40°；
②设从4：00开始m分钟后，∠MON＝111°，当OP未追上OQ时，有∠MON＝∠AOM+∠AON=23（120°﹣6°m+0.5°m）＝80°﹣（113m）°，故80°﹣（113m）°＝111°，当OP超过OQ时，∠MON＝∠AOM﹣∠AON=23[（6m）°﹣120°]-23×（0.5m）＝（113m）°﹣80°，有（113m）°﹣80°＝111°，解方程可得答案．
【解答】解：时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°；
（1）设4：00开始x分钟后分针第一次追上时针，
∴（6x）°﹣（0.5x）°＝4×30°，
解得x=24011，
∴4：00开始24011分钟后分针第一次追上时针；
（2）①当OP在∠AOB内时，

设运动时间为t分钟，
∴∠BOP＝（6t）°，∠AOQ＝（0.5t）°，
∴∠AOP＝120°﹣∠BOP＝120°﹣（6t）°，
∵∠POM=13∠AOP，∠NOQ=13∠AOQ，
∴∠POM＝40°﹣（2t）°，∠AON=23∠AOQ=23×（0.5t）°＝（13t）°，
∴6∠AON＝（2t）°，
∴6∠AON+∠POM＝40°；
②设从4：00开始m分钟后，∠MON＝111°，
当OP未追上OQ时，
∵∠MON＝∠AOM+∠AON=23（120°﹣∠BOP）+23∠AOQ=23（120°﹣∠BOP+∠AOQ）=23（120°﹣6°m+0.5°m）＝80°﹣（113m）°，
∴80°﹣（113m）°＝111°，
∴（113m）°＝﹣31°＜0（舍去）；
当OP超过OQ时，
∵∠MON＝∠AOM﹣∠AON=23∠AOP-23∠AOQ=23[（6m）°﹣120°]-23×（0.5m）＝（113m）°﹣80°，
∴（113m）°﹣80°＝111°，
∴m=57311．
答：从4：00开始57311分钟后，∠MON＝111°．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握时针的运动速度是解题关键．
声
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