2024-2025学年广东省广州市白云区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）方程x2＝1的根为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝0
3．（3分）对于函数y＝（x+5）2﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．y的最大值是5 B．y的最小值是﹣5
C．y的最大值是4 D．y的最小值是﹣4
4．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）

A．52m B．4m C．5m D．6m
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是0.5，表示每抛硬币2次必有1次出现正面朝上
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
6．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　）

A．27 B．37 C．47 D．57
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π3 B．4π3 C．2π D．8π3
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（　　）

A．(-43，0) B．(23，0) C．(23，-6) D．(-23，6)
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④2a+b＝0；⑤若点（x1，y1）和点（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2，则y1＞y2，其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是　 　 ．
12．（3分）如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为 　 　 ．

13．（3分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1＝　 　 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到△CDO，若AB＝4，∠AOB＝30°，则旋转后点C的坐标为　 　 ．

15．（3分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为52，则k的值为 　 　 ．

16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝4，∠A＝45°，则△ABC面积的最大值为　 　 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
18．（4分）如图，⊙O的直径AB的长为12，P是AB延长线上的一点，且PB＝4，C是⊙O上的一点，PC＝8．求证：PC是⊙O的切线．

19．（6分）某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间满足反比例函数关系，其图象如图所示：
（1）请写出这一反比例函数的解析式；
（2）当它所受牵引力F为2000牛时，汽车的速度为多少？

20．（6分）某校计划购进一批图书供学生阅读，丰富学生课外生活．为了解学生的需求，学校对学生进行了抽样调查，被调查学生从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　 　 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）甲乙两人分别从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率．
21．（8分）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y平方米．
（1）y与x之间的函数解析式为 　 　 ，自变量x的取值范围为 　 　 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值．

22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=32，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD．
（1）线段CD的最小值是　 　 ；
（2）按要求尺规作图：将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，点D运动的过程中，AE+AD的值是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请求出它的值．

23．（10分）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝8，BC=25，求⊙O的半径．

24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，把线段BC绕点C顺时针90°得到线段CD，连接AD，交BC于点E．
（1）如图1，若∠BAC＝60°．
①求∠AEB的度数；
②如图2，作∠BCD的角平分线BF交AD于F，试探究线段AD与2DF+CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝a，线段AD是否存在最大值，如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由．

25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象经过点（1，m）、（3，n）和（0，0）三点．
（1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式．
（2）若a＝﹣1，3m﹣n＝6，m＜n，求b的取值范围．
（3）已知点（﹣1，y1）、（2，y2）、（4，y3）也都在该二次函数图象上，若二次函数图象开口向下且mn＜0，试比较y1、y2、y3的大小，并说明理由．

2024-2025学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
C
B
B
A
C
B

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称的知识，解题时掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）方程x2＝1的根为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝0
【分析】两边直接开平方即可得解．
【解答】解：两边直接开平方得：x1＝1，x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法是解决此题的关键．
3．（3分）对于函数y＝（x+5）2﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．y的最大值是5 B．y的最小值是﹣5
C．y的最大值是4 D．y的最小值是﹣4
【分析】根据函数解析式，可得到图象的开口方向和顶点坐标，从而得到 最值．
【解答】解：∵函数y＝（x+5）2﹣4的图象为抛物线，
∴图象的开口向上，顶点坐标为（﹣5，﹣4），
∴y有最小值是﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（3分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）

A．52m B．4m C．5m D．6m
【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，
∴AD＝DB=12AB＝2m，
设该桨轮船的轮子半径为rm，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2
即r2＝（r﹣1）2+22，
解得：r=52，
∴该桨轮船的轮子直径为52×2＝5（m），
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是0.5，表示每抛硬币2次必有1次出现正面朝上
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据相关知识逐项判定即可，掌握相关基础知识是解题的关键．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，不是相等，故此选项错误，不符合题意；
B、抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是0.5，表示每抛硬币2次不一定有1次出现正面朝上，概率一般不会等于频率，大量重复试验下，频率会趋近于概率，故此选项错误，不符合题意；
C、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的性质定理，故此选项正确，符合题意；
D、两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，例如SSA不能用于判断全等，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，概率与频率的关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定等知识，关键是相关知识的熟练掌握．
6．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　）

A．27 B．37 C．47 D．57
【分析】分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．
【解答】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，

∵共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处，
∴构成轴对称图形的概率是37，
故选：B．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，﹣k＜0，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，﹣k＜0，一次函数图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，﹣k＞0，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，﹣k＞0，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π3 B．4π3 C．2π D．8π3
【分析】将阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积计算即可．
【解答】解：如图，连接BC，

由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
又∵OC＝OD，OB＝OB，
∴△COB≌△DOB，则S△COB＝S△DOB，
∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝60°，
∵OA＝OB，
∴S△COB＝S△AOC，则S△COB＝S△DOB＝S△AOC
则阴影部分的面积为S△AOC+S弓形=S△BOD+S弓形=S扇形BOD=60360π×22=23π，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（　　）

A．(-43，0) B．(23，0) C．(23，-6) D．(-23，6)
【分析】根据所给图形，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：因为360°÷60°＝6，
所以每旋转六次，点B的位置重复出现．
又因为2024÷6＝337余2，
所以第2024次旋转后点B的位置与第2次旋转后点B的位置相同．

过点B作y轴的垂线，垂线为H，
因为∠OAB＝120°，
所以∠BAH＝60°．
因为点A坐标为（0，4），
所以AB＝AO＝4．
在Rt△ABH中，
sin∠BAH=BHAB，
所以BH=32×4=23．
同理可得，
AH＝2，
所以OH＝4+2＝6，
所以点B的坐标为（23，6）．
显然点B和点B′关于x轴对称，
所以点B′的坐标为（23，-6），
即第2024次旋转后，点B的坐标为（23，-6）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，能根据题意得出第2024次旋转后点B的位置与第2次旋转后点B的位置相同是解题的关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④2a+b＝0；⑤若点（x1，y1）和点（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2，则y1＞y2，其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①由抛物线开口向上可得a＞0，由抛物线交y轴于负半轴可得c＜0，由抛物线对称轴-b2a＞0及a＞0可得b＜0，据此即可判断结论①；②由抛物线与x轴有两个交点可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，因而可得Δ＝b2﹣4ac＞0，据此即可判断结论②；③由抛物线图象可知，当x＝1时，y＜0，据此即可判断结论③；④由抛物线图象可知，抛物线对称轴为x＝1，即-b2a=1，据此即可判断结论④；⑤由抛物线图象可知，抛物线对称轴为x＝1，因而当x＞1时，y随x的增大而增大，据此即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论．
【解答】解：①由条件可知a＞0，c＜0，
∵-b2a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故结论①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
故结论②正确；
③由抛物线图象可知，当x＝1时，y＜0，
∴当x＝1时，y＝a×12+b×1+c＝a+b+c＜0，
故结论③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故结论④正确；
⑤抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
即：若1＜x1＜x2，则y1＜y2，
故结论⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②③④，共4个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，一元二次方程根的判别式，y＝ax2+bx+c的图象与性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是x1＝0，x2＝2　 ．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．（3分）如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为 　12　 ．

【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：由图可知一共有4个洞穴，有2个洞穴有方糖，
∴小蚂蚁获得方糖的概率是24=12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了求概率，掌握概率公式是解题的关键．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1＝　3　 ．
【分析】先把（1，1）代入y＝ax2+bx﹣1可得a+b的值，然后利用整体代入的方法计算a+b+1的值．
【解答】解：把（1，1）代入y＝ax2+bx﹣1得a+b﹣1＝1，
所以a+b＝2，
所以a+b+1＝2+1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线上点的坐标代入抛物线解析式得到a、b的等量关系．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到△CDO，若AB＝4，∠AOB＝30°，则旋转后点C的坐标为　(4，43)　 ．

【分析】根据Rt△ABO中，AB＝4，∠AOB＝30°，可得OB=43，再由Rt△ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到△CDO，即可求出旋转后点C的坐标．
【解答】解：∵AB＝4，∠AOB＝30°，
∴OA＝8，
∴OB=AO2-AB2=82-42=43，
∵Rt△ABO绕原点O顺时针旋转90°，得到△CDO，
∴CD=AB=4，OD=OB=43，
∴C(4，43)．
故答案为：(4，43)．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．（3分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为52，则k的值为 　10　 ．

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得S△CDB＝S△AOB＝S△BCO=52，进而得出S△COD＝5，由系数k的几何意义可得答案．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
∵点B是AC的中点，
∴AB＝CB，
在△ABO和△BCD中，
∠AOB=∠CDB∠ABO=∠CBDAB=BC，
∴△CDB≌△AOB（AAS），
∴BD＝OB，
∴S△CDB＝S△AOB＝S△BCO=52，
∴S△COD＝5，
∴12|k|＝S△COD＝5，
∴|k|＝10，
∵k＞0，
∴k＝10．
故答案为：10．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝4，∠A＝45°，则△ABC面积的最大值为　42+4　 ．

【分析】连接OA、OB、OC，作OH⊥BC于点H，AI⊥BC于点I，由∠BAC＝45°，得∠BOC＝2∠BAC＝90°，则OH＝BH＝CH=12BC＝2，根据勾股定理得OA＝OC=OH2+CH2=22，由AI≤OA+OH，得AI≤22+2，则12BC•AI≤42+4，所以S△ABC≤42+4，则S△ABC最大值为42+4，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB、OC，作OH⊥BC于点H，AI⊥BC于点I，则BH＝CH，∠OHC＝90°，
∵BC＝4，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OH＝BH＝CH=12BC＝2，
∴OA＝OC=OH2+CH2=22+22=22，
∵AI≤OA+OH，
∴AI≤22+2，
∴12BC•AI≤12×4×（22+2），即12BC•AI≤42+4，
∵S△ABC≤42+4，
∴S△ABC最大值为42+4，
故答案为：42+4．

【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】把方程左边分解得到（x﹣2）（x﹣4）＝0，则原方程可化为x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2 x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（4分）如图，⊙O的直径AB的长为12，P是AB延长线上的一点，且PB＝4，C是⊙O上的一点，PC＝8．求证：PC是⊙O的切线．

【分析】由⊙O的直径AB的长为12，得到OB＝OC＝6，从而OC＝6，OP＝10，从而有PC2+OC2＝OP2，证得OC⊥PC，再有切线的判定方法即可解答．
【解答】证明：连接OC，

∵⊙O的直径AB的长为12，
∴OB＝OC＝6，
∵PB＝4，
∴PO＝PB+OB＝4+6＝10，
∵在△POC中，PC＝8，OC＝6，OP＝10，
∴PC2+OC2＝OP2，
∴△POC是直角三角形，∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
19．（6分）某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间满足反比例函数关系，其图象如图所示：
（1）请写出这一反比例函数的解析式；
（2）当它所受牵引力F为2000牛时，汽车的速度为多少？

【分析】（1）设v与F之间的函数关系式为v=PF，把（3000，20）代入即可；
（2）当F＝200牛0时，求出v即可；
【解答】解：（1）设v与F之间的函数关系式为v=PF，
把（3000，20）代入v=PF得，P＝60000，
∴反比例函数的解析式为v=60000F；
（2）把F＝2000牛，代入（1）中解析式得：
v=600002000=30（米/秒），
∴汽车的速度为30米/秒．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
20．（6分）某校计划购进一批图书供学生阅读，丰富学生课外生活．为了解学生的需求，学校对学生进行了抽样调查，被调查学生从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　200　 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）甲乙两人分别从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率．
【分析】（1）用条形统计图中“文史类”的人数除以扇形统计图中“文史类”的百分比可得本次调查的学生人数．
（2）分别求出选择“生活类”和“小说类”的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及二人恰好选择文史类的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）此次共调查了76÷38%＝200（名）学生．
故答案为：200．
（2）选择“生活类”的人数为200×15%＝30（人），
选择“小说类”的人数为200﹣24﹣76﹣30＝70（人）．
补全条形统计图1如图所示．

（3）将四类图书分别记为A，B，C，D，
列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
共有16种等可能的结果，其中二人恰好选择文史类的结果有1种，
∴二人恰好选择文史类的概率为116．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21．（8分）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y平方米．
（1）y与x之间的函数解析式为 y＝﹣2x2+36x ，自变量x的取值范围为 　10≤x＜18　 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值．

【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0＜36﹣2x≤16求出自变量x的取值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为154m2，则由y＝154可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【解答】解：（1）y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤16，
∴10≤x＜18．
∴y＝﹣2x2+36x（10≤x＜18），
故答案为：y＝﹣2x2+36x，（10≤x＜18）；
（2）由题意得：﹣2x2+36x＝154，解得：x1＝7，x2＝11，
∵10≤x＜18，
∴x＝7不符合题意，
∴x＝11．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=32，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD．
（1）线段CD的最小值是　3　 ；
（2）按要求尺规作图：将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，点D运动的过程中，AE+AD的值是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请求出它的值．

【分析】（1）由题意可得当CD⊥AB时，CD有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）过点C作CD的垂线，在垂线上截取CE＝CD，即可求解；
（3）由旋转的性质可得CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝90°，由SAS可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，即可求解．
【解答】解：（1）∵点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），
∴当CD⊥AB时，CD有最小值，
∵AC＝BC＝32，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
又∵CD⊥AB，
∴CD=12AB＝3，
故答案为：3；
（2）如图所示，CE为所求图形；
（3）AE+AD的值是不变的，理由如下：
∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
又∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
∵AC＝BC＝32，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
∴AE+AD＝AD+BD＝AB＝6．

【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（10分）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝8，BC=25，求⊙O的半径．

【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝4，DB＝25，利用勾股定理可求解DE＝2，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB=12∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝8，BC＝25，
∴BE＝4，DB＝25，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴DE=BD2-BE2=2，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣2）2+42，
解得OB＝5，
即⊙O的半径是5．

【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．
24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，把线段BC绕点C顺时针90°得到线段CD，连接AD，交BC于点E．
（1）如图1，若∠BAC＝60°．
①求∠AEB的度数；
②如图2，作∠BCD的角平分线BF交AD于F，试探究线段AD与2DF+CF之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝a，线段AD是否存在最大值，如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）①由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝90°，可得AC＝CD，∠ACD＝150°，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解；
②由SAS可证△ACH≌△DCF，可得CH＝DF，∠ACH＝∠DCF，可证△CFH是等边三角形，可得CF＝FH，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ACB≌△NCD，可得AB＝DN＝a，由三边关系可求解．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AB＝BC，∠ACB＝60°，
∵把线段BC绕点C顺时针90°得到线段CD，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴AC＝CD，∠ACD＝150°，
∴∠ADC＝∠CAD＝15°，
∴∠AEB＝15°+60°＝75°；
②AD＝2DF+CF，理由如下：
如图，在AD上截取AH＝DF，

∵AC＝CD，∠ADC＝∠CAD，AH＝DF，
∴△ACH≌△DCF（SAS），
∴CH＝DF，∠ACH＝∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ACH＝∠DCF＝45°，
∴∠FCH＝60°，
∴△CFH是等边三角形，
∴CF＝FH，
∴AD＝AH+HF+DF＝2DF+CF；
（2）如图，将AC绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接AN，DN，

∵将AC绕点C逆时针旋转90°，得到CN，
∴AC＝CN＝AB＝a，∠ACN＝90°＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠DCN，AN=2a，
又∵BC＝CD，
∴△ACB≌△NCD（SAS），
∴AB＝DN＝a，
∵AN+DN≥AD，
∴当点A，点N，点D三点共线时，AD有最小值为2a+a．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象经过点（1，m）、（3，n）和（0，0）三点．
（1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式．
（2）若a＝﹣1，3m﹣n＝6，m＜n，求b的取值范围．
（3）已知点（﹣1，y1）、（2，y2）、（4，y3）也都在该二次函数图象上，若二次函数图象开口向下且mn＜0，试比较y1、y2、y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）当m＝n＝﹣6时，用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x；
（2）当a＝﹣1时，可得，又m＜n，故﹣1+b＜﹣9+3b，得b＞4；
（3）由mn＜0，可得（a+b）（9a+3b）＜0，又a＜0，即可知a+b＞0且3a+b＜0；求出y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，用作差的方法可得到答案．
【解答】解：（1）当m＝n＝﹣6时，把（1，﹣6）和（3，﹣6）代入y＝ax2+bx得a+b=-69a+3b=-6，
解得a=2b=-8，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x；
（2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx，
把（1，m）和（3，n）代入得：
∵m＜n，
∴﹣1+b＜﹣9+3b，
解得b＞4，
∴b的取值范围是b＞4；
（3）把（1，m）和（3，n）代入y＝ax2+bx得：m=a+bn=9a+3b，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴①a+b＞09a+3b＜0或②a+b＜09a+3b＞0，
由②得：a+b＜03a+b＞0，
∵a＜0，
∴不等式组无解，
则a+b＞0且3a+b＜0，
把（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）代入y＝ax2+bx，
得：y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∴y1﹣y2＝a﹣b﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＜0，y1﹣y3＝a﹣b﹣（16a+4b）＝﹣5（3a+b）＞0，
∴y1＜y2，y1＞y3，
∴y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
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