代数学：具体—抽象.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,代数学：具体,抽象,从巴比伦到古希腊,阿尔,-,花拉子模到韦达的代数术,伽罗瓦与群论,诺特与抽象代数,从巴比伦到古希腊,一、巴比伦的代数知识积累,二、古埃及的算术方法,四、丢番图的缩写代数,三、古希腊的几何代数法,从巴比伦到古希腊,一巴比伦的代数知识积累：,1,巴比伦泥板中的基本问题,“求一个数使它与它的倒数之和等于一个已知数。”,“,已知两个数之和与两个数之积，求此两数。”,“,已知两正方形面积之和为,1000,，其中一个正方形的边长为另一个正方形边长的三分之二 还少,10,，求两正方形的边长各为多少？”,2,用数表求解方程：,x,+,x,=10,x x,x,x,+x,1 1 1 2,用线性插值法：,2 4 8 12,10,在,2,12,之间,8/10,处,3 9 27 36,故,x,=1,8,4 16 64 80,3,复利问题：,“设利息为,20%,，何时能使本与利之和为本金的两倍？”,(1+20%),n,=2,，首先注意到,3,n,4,，然后插值得：,(1+20%),4,-2,4-,n,=,(1+20%),4,-(1+20%),二古埃及的算术方法：,Rhind,纸草书第,31,题：,“一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来是,33,。”,古埃及人用简单的算术方法就可以求解。,Rhind,纸草书第,63,题：,“把,700,块面包分给,4,个人，第一个人得三分之二，第二个人得二分之一，第三个人得三分之一，第四个人四分之一。”,Rhind,纸草书第,40,题：,“,5,个人分,100,块面包，欲使各人所得面包数之差相等，并使最大三个数之和的七分之一等于最小两个数之和。”,三古希腊的几何代数法：,原本,第,2,卷“几何代数法”：用线段长表示 数，面积大小表示数积，体积大小表示立方积。,定义：加、减、乘、除、开方。,原本,第,2,卷命题,1 10,分别可以表示成关系式：,a,(,b+c+d+,),=ab+ac+ad+,(,a+b,),a+,(,a+b,),b=,(,a+b,),(,a+b,),a=a,+ab,(,a+b,),=a,+b,+,2,ab,ab+,(,a+b)/,2,-b,=,(,a+b,)/2,(,a+b,),b+,(,a,/2),=,(,a,/2+,b,),(,a+b,),+a,=2(,a+b,),a+b,4(,a+b,),a+b,=,(2,a+b,),(,a+b,),+b,=,2(,a/,2),+,(,a/,2,+b,)(,a-b,),+b,=,2(,a/2,),+,(,a/,2,-b,),原本,第,2,卷 命题,11,：,“分已知线段为两部分，使它和一部分所成矩形等于另一部分上的正方形。”,设,AB=a,，,AH=x,，,应有,a,(,a-x,),=x,x,+ax-,a,=0,作正方形,ABCD,取,AE=ED,延长,EA,，,使,EF=EB,作正方形,AFGH,AH,为所求。,四丢番图的缩写代数：,x,x,x,x,4,x,5,x,6,_,。,_,3,x,+,12,：,M,“,”,表示,“,=”,_ _,。,_,x,+,2,x+,3,：,M,_,_,_ _,。,_,x,6,-,5,x,4,+,x,-,3,x-,2,：,M,解题步骤用文字表示，运算纯算术性，不借助任何几何直观作说明。,从阿尔,-,花拉子模到韦达的代数术,一、阿拉伯的代数术,二、印度的代数术,三、中世纪欧洲的代数术,从阿尔,-,花拉子模到韦达的代数术,一阿拉伯的代数术：,1,阿尔,-,花拉子模,(,Al-Khowarizmi,，,Mohammed ibn Musa,，,约,780 840,，一说,850),著有,Al-jabr Wal muqabala,。,其书名意为“复原与化简”，译为拉丁文,Algebra,，李善兰译为中文,代数学,。,其内容讨论一元一次和一元二次方程的求解，用“数”、“根”和“平方”表示常数、,x,和,x,，讨论了以下,6,种方程：,ax,=bx ax,=c bx=c ax,=bx+c ax,+bx=c ax,+c=bx,譬如,x,+10,x,=39,称之为“平方和根等于数”型，对于每一种方程给出解法，求出“根”和“平方”两个结果，但是一般只有正根，另外给出几何“证明”，以示其解法的合理性。,例 求解方程,x,+10,x,=39,的正根,解法步骤：,在此，我们同时看到巴比伦的代数算法和古希腊的几何命题！,几何示意：,2,阿布,-,卡米尔（,Abu Kamil,约,850 930,）,在证明一元二次方程解法的合理性时，直接引用,原本,第,2,卷 命题,6,：,“若平分一线段并在同一线段上加上一线段，则合成线段与所加线段构成的矩形、原线段一半上的正方形之和等于原线段的一半与所加线段之和上的正方形的面积。”,3,阿布尔,-,韦法（,Abul Wefa,940 998,一说,997,）,引进新思想，注释丢番图的,算术,。,4,阿尔,-,卡拉吉（,al Karaji,？,1016,）,结合阿尔,-,花拉子模以来的阿拉伯代数术与丢番图的不定分析，提出了一些相对而言较为正规的代数运算；,摈弃对几何论证的依赖性，也摈弃了丢番图的缩写代数，但承认下列运算：,5,海雅姆（,Khayyam,，,Omar,1048,约,1131,一说,1122,）,代数学,（,1079,）：,1,）对方程分类，最早建立方程求解理论；,2,）最早研究几何图象与代数方程解之间的关系；,3,）对,x,+,bx=c,，令,b=p,，,c=p,r,，则,x,=,p,(,r-x,),，并将此方程作为,x,=,py,与,y,=,x,(,r-x,),消去,y,的结果。,二印度的代数术：,1,阿利阿伯哈塔（,Aryabhatta,476 550,）,阿利耶比陀历书,（,499,年）,符号与运算法则，,不定方程,ax,by=c,，连分数求解不定方程。,2,婆罗摩及多（,Brahmagupta,598 660,）,婆罗摩修正体系,（,628,年）,不定方程,Dx,+1=,y,二次方程,x,+,px-q,=0,的根,3,婆什迦罗（,Bhaskara,1114 1185,）,丽罗娃提,算法本原,二次方程,x,-45,x,=250,，有两个根,x,=50,，,-5,，但舍弃了负根；,打破无理数与有理数之间的界限，同样运算；,对于以下无理方程，,歌谣给出解,x,=72,：,素磬花开香扑鼻，,诱得蜜蜂来采蜜。,熙熙攘攘不知数，,一群飞入花丛里，,试问此群数有几？,全体之半平方根，,另有两只在一起，,总数那九分之几，,徘徊在外做游戏。,三中世纪欧洲的代数术：,1,菲波那契（,Fibonacci,，,Leanardo,1170 1230,）,Libor abbaci,算盘书（,1202,年）兼容理论与实用计算技巧。,形成“算盘学派”，对几何论证提出异议。,2,杰拉德（,Gerard of Cremona,1147 1187,）,解三次方程,ax,=,bx+c,，,ax,=,bx,+,c,，,ax,=,bx,+,cx+d,，可惜他错误地运用二次方程的求根公式，且不验根。,3,贝内德托（,Benedetto,，,Maestro,）,探究三次方程求解，提出未知数不同方幂的缩写：,cosa,x,，,c,census,x,，,b,cubo,x,，,cc,censo di censo,x,4,，,br,cubo relato cosa,x,5,，,bb,cubo di cubo cosa,x,6,4,帕西奥里（,Pacioli,，,Luca,1445 1517,一说,1454 1514,）,著有,Summa de arithmetica,，,geometria,，,proportionie proportionalita,(,算术、几何、比与比例集成,1494,年）影响很大，四大特色显著：,1,）用意大利语、拉丁语、地方土语融合写成；,2,）兼收并蓄算术、代数、几何和商业数学，给出论证各种技巧的准则；,3,）采用缩写代数；,4,）讨论了三次方程的求解，但是认为这个问题与化圆为方一样不可以解。,5,三次、四次方程的求解：,1,）费罗（,Ferro,，,Scipone dal,1465 1526,）,据传他于,1504,年成功地求解,x,+,px,=,q,型的三次方程，但秘而不宣；,2,）菲奥尔（,Fiore,）,1530,年曾向达科依,(,da Coi,),挑战三次方程的求解，未果；转向泰塔格利亚，,1535,年两人对擂赛于米兰大教堂，各人出题,30,道，泰塔格利亚获胜；,3,）泰塔格利亚（,Tartaglia,，,Niccolo,1500 1557,）,最迟,1535,年前，泰塔格利亚确实能解出,x,+,px=q,型的三次方程；,4,）卡丹（,Cardano,，,Girolamo,1501 1576,）,1539,年从泰塔格利亚处获取求解,x,+,px=q,型的三次方程的秘诀，先信誓旦旦保密，后背信弃义出书；,1545,年出版,大法,公布了三次方程的求根公式；,5,）费拉里（,Ferrari,，,Ludovico,1522 1565,）,1545,年给出四次方程的求根公式，也在,大法,公布。,例,x,+6,x,=20,x,+,px=q,泰塔格利亚的方法：,=,-,+,-,=,-,=,-,+,-,=,-,=,-,=,-,=,-,+,-,-,=,20,),(,8,),(,20,),(,2,),(,20,6,3,),(,3,),(,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,n,m,n,m,n,m,n,m,n,m,mn,n,m,n,m,mn,n,m,n,m,x,考虑到,设,在,AE,中划分出,DC,，使,DC=CL,，产生如下分割：,DC BC,，,DF,AB,，,DE BCAB,，,DA ABBC,，,AE AC,，,BC,=,CK,；,由图可见：,AC,-,BC,=3,DA,+3,DE+DF,(1),由,AC,CK,=2,，,AC,3,CK,=6,，,AB,AC,3,CK,=6,AB,，,3,AB,AC,BC=,6,AB,(2),而,AB,AC,BC DA+DE,，,6,AB,=3,AB,AC,BC,=3,DA,+3,DE,(3),将,(3),代入,(1),：,AC,-,BC,=6,AB,+,DF,，,即,AB,+,6,AB,=20,，故,AB=AC-BC,卡丹的几何证明：,考虑两个立方,AE,，,CL,，其体积之差值为,20,。,若令,AC,CK,=2,，能作出,BC=CK,，则,AB=AC-BC,为所求；,在,AE,中划分出,DC,，使,DC=CL,，产生如下分割：,DC BC,，,DF AB,，,DE BC,AB,，,DA AB,BC,，,AE AC,，,BC=CK,；,由图可见：,AC,-,BC,=3,DA,+3,DE+DF,(1),由,AC,CK,=2,，,AC,3,CK,=6,，,AB,AC,3,CK,=6,AB,，,3,AB,AC,BC,=6,AB,(2),而,AB,AC,BC,DA,+,DE,，,6,AB,=3,AB,AC,BC,=3,DA,+3,DE,(3),将,(3),代入,(1),：,AC,-,BC,=6,AB,+,DF,，,即,AB,+,6,AB,=20,，故,AB,=,AC,-,BC,费拉里解四次方程的思路：,令,对于方程,(3),的任何一个根,y,0,方程,(2),可写成,:,由方程,(4),可分解为两个方程,:,解之得方程,(1),的四个根。,即,在,大法,中有,x,4,=bx,+ax+n,，,x,4,=bx,+cx,+n,，,x,4,=cx,+n,，,x,4,=ax+n,等类型；,对于四次方程的求解过程，卡丹只能给出主要代数步骤的几何证明，却无法给出象对三次方程求解过程的几何证明；,卡丹不得不考虑放弃几何证明这个准则，而依赖于代数规则系统本身的合理性；,此外，负数、虚数的几何意义何在？也一直困扰着卡丹，在求解,x+y,=10,，,x,y,=40,时会出现如下结果：,6,丢番图的,算术,再度被发掘：,1),不依赖几何的代数准则,重见天日：,“求三个数，使其中任意一个的平方减去其次一个，其差为平方数。”（,算术,第,2,卷之一问）,丢番图的解法,取,x,+1,、,2,x,+1,、,4,x,+1,(,x,+1)-(2,x,+1)=,x,，,(2,x,+1)-(4,x,+1)=4,x,，,(4,x,+1)-(,x,+1)=16,x,+7,x,令,16,x,+7,x,=25,x,，解之得,x,=7/9,，,从而,16/9,、,23/9,、,27/9,为所求。,2,）代数思维推进的“载体”：“缩写代数”,_ _,“,将已知数,(100),分为两个数，使其差为,(40),，求这两数。,”（,算术,第,1,卷之一问）,_,。,_,丢番图的解法,设较小数为,，较大数为,，,_,。,_,。,_ _,。,_ _,。,_,其和为,_,。,_,。,_ (100)(60)(30),(70),7,蓬贝利（,Bombelli,，,Raphael,1526 1572,）,16,世纪,60,年代后半期，安东尼奥,马里亚,帕茨在罗马教廷图书馆发现丢番图,算术,原稿抄本，并将它送给蓬贝利看。他们确信这部著作的价值后，决定将它翻译成拉丁文出版。,1572,年,蓬贝利的,代数学,只出版了前,3,卷，计划中的第,4,、,5,卷从未付印，他接受了丢番图的思想观念。,8,韦达（,Vieta,，,Francis,1540 1603,）代数术：,1591,年出版,分析术引论,提出“类的筹算术”，他自称人文主义者、复古派，批判阿拉伯代数学，复兴古希腊丢番图代数学。,他研读了丢番图的,算术,、帕普斯的,数学汇编,，精通卡丹、泰塔格利亚、蓬贝利等人的著作及其思想观念，他认为，在“数的筹算术”中，即使几何地论证了其中某些结论，仍然不足以揭示出他称之为“无与伦比的金子般的世俗人不可理解的秘密。”,1,）确立“分析法”、“综合法”，建立求解方程式或比例式的法则；,分析法,从结论出发，“执果索因”；,综合法,从条件出发，“由因导果”；,在古希腊有：满足条件型（问题性、几何）和探究真理型（理论性、代数）两类问题，都是探求统一的、普遍的解题理论，人们比较多地关注满足条件型问题，而忽略了探究真理型问题的研究。,2,）改进“符号代数”取代“缩写代数”，建立“类”的相关理论；,丢番图的问题改进为：和,D,、差,B,，,若较小数,A,、较大数,A,+,B,，由,2,A,+,B=D,，得,A=D,/2-,B,/2,；,或较大数,E,、较小数,E-B,，由,2,E,-,B=D,，得,E=D,/2+,B,/2,。,“类”,符号,未知量的位置占据体,法则,初等代数就此宣告建立。,伽罗瓦与群论,一、,16 17,世纪关于方程求解的工作,二、,18,世纪的进展,三、阿贝尔的工作,五、伽罗瓦之后,四、伽罗瓦工作要点,伽罗瓦与群论,一,16 17,世纪关于方程求解的工作：,16,世纪，四次及其以下次数的多项式方程，已有求解公式：用方程的系数经过有限次的 加、减、乘、除、开方五则运算表示方程的根；,一般由方根的不同来区别方程根的不同，因而，也称方程有根式解。,17,世纪，英国的格雷戈里（,Gregory,，,Jemes,16381675,）德国的莱布尼茨（,Leibniz,，,Gottfried Wilhelm,16461716,）和德国的契尔恩豪森（,Tschirnhausen,，,Ehrenfried Walter von,1651 1708,）都付出了努力，却留下问题：,1,一个方程究竟有多少个根？,2,如何预知方程的正、负、复根的个数？,3,方程的根与系数关系如何？,4,方程是否一定有根式解存在？,二,18,世纪的进展：,18,世纪，问题集中到两个：,1,证明一个,n,次方程有,n,个根；,2,寻求,4,次以上方程的根式解。,高斯从,1799 1848,年间，先后四次证明了现在所谓的：“代数基本定理”，圆满地解决了第一个问题。,法国的拉格朗日（,Lagrange,，,Joseph Louis,1736 1813,）对第二个问题进行了研究，发现了方程的预解式和预解方程。,譬如一元二次方程：,两根的区别在于平方根的双值性。,这种方法遇到5次方程失败了，,拉格朗日误认为,4,次以上的方程完全无法求根式解。,先解预解方程得预解式，再用预解式表示方程的根为：,由于,称,为预解方程。,由于,称,为预解式。,三阿贝尔（,Abel,，,Niels Henrik,1802 1829,）的工作：,1824,年阿贝尔利用鲁菲尼（,Ruffini,，,Paolo,1765 1822,）提出的一个定理，证明了,4,次以上的方程一般不可根式解。,由于阿贝尔并不知道鲁菲尼的工作，致使证明迂回、复杂，而且其中的函数分类还存在一个错误。后来，他又给出了两个精心的证明。,1879,年克罗内克（,Kronecker,，,Leopold,1823 1891,）作出了简捷、严密的证明。,阿贝尔之前曾有一段时期，解,n,次方程问题集中到求解二项方程,x,n,-1=0,的情形，但未能从根本上解决问题。,阿贝尔，,1802,年,8,月,5,日出生在挪威斯蒂安尼亚（现奥斯陆）附近的芬多村，父亲是一个清苦的牧师，曾经进入过议会。阿贝尔,18,岁那年，父亲去世了，从此家境更加恶化，所幸的是这并没有影响阿贝尔的成才。,幼年时，父亲给了阿贝尔良好的教育。,15,岁上中学时，阿贝尔就显示出在学习和研究方面的才能，是一位数学老师激发了他一定要学好数学的强烈愿望。当时阿贝尔就自学了著名数学家泊松、高斯、拉格朗日等人的著作。,16,岁时，他证明了二项式定理在一般情况下都成立，此前欧拉只证明了有理指数的情况。,1821,年阿贝尔进入斯蒂安尼亚大学学习，他在边工作边学习的情况下，研究数学，尤其是潜心于,4,次以上的一般代数方程能否用根式求解的问题。功夫不负有心人，,1824,年他得到了,4,次以上的代数方程一般不可以用根式求解的结论，这一结论为以后法国伽罗瓦创立群论打下了坚实的基础。,大学毕业后，阿贝尔又先后赴巴黎和柏林留学。,1827,年回到挪威，不幸的是阿贝尔已患上了肺结核病，,1829,年,4,月,6,日他在贫病交加之下于费罗兰德去世，年仅,27,岁。更令人伤感的是阿贝尔去世后两天，柏林大学聘他为教授的信函才寄到，阿贝尔却永远也看不到了。,阿贝尔无论在代数学，还是在分析学方面的数学成就都达到当时国际一流的水平，但在当时并没有受到应有的注意，甚至他有一篇非常重要的著作，直到他去世,12,年才得以发表。,法国数学家埃尔米特说：,“,阿贝尔留下的工作，足以使以后的数学家忙碌,150,年。,”,事实上，现在的数学家仍然在阿贝尔开辟的各个领域中忙碌，何止,150,年！为纪念这位数学英才，以阿贝尔的名字命名的数学名词达,20,多个，阿贝尔群的国际会议仍然定期召开。,四 伽罗瓦（,Galois,，,Evarist,1811 1832,）工作要点,1,定义方程根的置换：,简记为,定义,置换的乘法：,这个,乘法是“封闭”的；四次方程,4,个根的所有置换共有,4!,个，构成一个“群”。,2,实例：,其中,相互,独立，它,们的,有理表达式构成一个域，方程,4,个根的所有置换共有,24,个，构成一个群,G,。,方程的,4,个根：,在,R,中,关系成立。,在,G,中只有,8,个置换使上述关系在,R,中保持不变：,可以证明：仅有以上,8,个置换使根之间在,R,中的全部关系都保持不变，并构成群,H,注意：,（,1,）方程对于它所属域的群，是其根的置换群或其子群；,（,2,）方程的群要使方程根的关系在所属域上保持不变；,（,3,）方程的群的元素多少是对根能否区分的一个尺度。,在,H,中只有,4,个置换,(,E,0,E,1,E,2,E,3,),，使上述关系在中不变。,3,扩域缩群：,(1),添加预解式,于,R,，形成,在,R,中，,关系成立。,q,P,4,2,-,在,K,中只有,2,个置换,(,E,0,E,1,),使上述关系在中不变。,可以证明：仅有上述,2,个置换，使根之间在,R,中的全部关系都保持不变，并构成群,L,，。,可以证明：仅有上述,4,个置换，使根之间在,R,中的全部关系都保持不变，并构成群,K,，,（,2,）添加,（,3,）添加,于,R,中，形成,在,R,中，,关系成立。,于,R,中，形成,在,R,中，,关系成立。,在,L,中只有,1,个置换,(,E,0,),使上述关系在,R,中不变。,可以证明：仅有上述,1,个置换，使根之间在,R,中的全部关系都保持不变，并构成群,E,，,E,L,。,4,合成序列及其指数：,G H K L E,合成序列,24 8 4 2 1,阶,24/8,（,3,）,8/4,（,2,）,4/2,（,2,）,2/1,（,2,）指数,5,正规子群及结论：,若,H,G,，,g,G,，有,gH=Hg,，则,H,为,G,的一个正规子群。,“若方程的合成序列中，每一项都是其前一项的极大正规子群，而且其合成序列的指数都为素数，则此方程可根式解，否则不可根式解。”,二次方程的合成序列的指数：,2,三次方程的合成序列的指数：,2,、,3,四次方程的合成序列的指数：,3,、,2,、,2,、,2,伽罗瓦给出了基本原理完全相同的理论，判定方程可否根式解，只是手续更复杂而已。,伽罗瓦，,1811,年,19,月,25,日生于法国巴黎附近的布尔格,-,勒,-,雷思，家境富裕，从小受母亲的教育，,12,岁进入巴黎一所著名的公立中学学习，当时并不十分出色。,1828,年伽罗瓦遇到博学多才的、研究方程论的数学教师里沙，在里沙的指导下，伽罗瓦很快表现出杰出的数学天才。里沙称赞伽罗瓦是法国的阿贝尔，并认为应该把他免试保送到巴黎多科工艺学校学习数学。由于主考人的烦琐要求，他两次落榜。,1829,年，伽罗瓦进入巴黎高等师范学校学习。,1830,年法国七月革命期间，伽罗瓦因公开批评校方不支持革命而遭学校开除。又因参加革命活动两次被捕入狱，直到,1832,年,4,月最后出狱。出狱不久，便因政治和爱情的纠纷，于,1832,年,5,月,31,日在一场决斗中身亡，年仅,21,岁。,伽罗瓦在学校学习的第一年，就发表了关于方程根式解的四篇论文。,1829,年，他把解方程的两篇论文呈送法国巴黎科学院，这些论文被托给柯西，结果论文被遗失了。,1830,年,1,月，伽罗瓦又把另外一篇仔细写成的论文交给法国巴黎科学院，论文送到傅立叶那里，不久傅立叶去世了，论文又被遗失。,后来，在泊松的提议下，伽罗瓦于,1831,年写了一篇题为,关于用根式解方程的可解性条件,的论文，这是他仅有的一篇完成了的论文，但是这篇论文又被泊松作为难以理解而退回，并劝他写一份较为详细的说明材料。,在去世的前夜，伽罗瓦匆匆写了一份说明，并托给了他的朋友谢瓦利埃（,A,Chevalier,），就是这个说明被保存下来了。,1846,年，刘维尔在,数学教师学报,上介绍了伽罗瓦的部分论文，其中包括,1831,年论文的一个修订稿。,1866,年，塞雷特（,Ser-ret,）在一本,高等代数教程,第三版中，也曾经对伽罗瓦的思想方法作了一个叙述。,1870,年，法国数学家约当（,Jordan,，,Camil,1838,1922,），第一次全面而清楚地介绍了伽罗瓦理论。,五伽罗瓦之后,伽罗瓦的工作基于拉格朗日、阿贝尔、高斯等先驱，他的创造性成果在于：,1,把方程根的层次性结构的形成同域的扩张联系起来；,2,把每一层次对应的域的形成要素归结为预解方程求解；,3,把预解式的寻求归结为置换群各阶子群的结构分析。,伽罗瓦的理论太深奥，远远走在同时代人的前面，加上全新的概念并未形成，直到,19,世纪,60,年代之后，才为人们逐步接受。从此，方程论宣告结束，代数学开启了新纪元。,法国的约当（,Jordan,，,Camil,1838 1922,），于,1870,年第一次介绍伽罗瓦理论；,挪威的李（,Lie,，,Sophus,1842 1899,），,1874,年发表微分方程连续群；,英国的凯利（,Cayley,，,Arthur,1821 1895,），,1878,年发表四篇抽象群的文章；,“过早的抽象落到聋子的耳朵里。”（凯利,1849,年语）,英国的冯,代克（,von Dyck,1856 1935,）提出群论的,3,个来源：方程论、数论、无限变换群，并将它们统一起来，提出“生成元”概念；,20,世纪，集合论、公理化方法为群论找到了表示方式：,一个具有二元运算的非空集合,G,，满足,4,条公理：,1,）,a,、,b,G,，,ab,G,；封闭性,2,）,a,、,b,、,c,G,，有,(,ab,),c,=,a,(,bc,),；结合性,3,）,a,G,，,I,G,，使,aI=Ia=,a,；单位元,4,）,a,G,，,a,-,1,G,，使,a,a,-,1,=,a,-,1,a=I,。逆元,群论就是那屏弃其内容而化为纯粹形式结构的整个数学。,Heri Poincare,（,1854 1912,）,诺特与抽象代数,一、域论,伽罗瓦为先驱,二、环论,诺特贡献突出,诺特与抽象代数,一域论,伽罗瓦为先驱,库默（,Kummer,，,Ernst Edward,1810 1893,）代数数论；,戴德金（,Dedekind,，,Juins Wilhelm Richard,1831 1916,）代数数论；,希尔伯特（,Hilbert,，,David,1862 1943,）,1897,年，代数数域；,亨塞尔（,Hensel,，,Kurt,1861 1941,）,1908,年，,p-adic,域；,施泰尼茨（,Steinitz,，,Ernst,1871 1928,）,1910,年发表：,域的代数理论,，抽象代数的重要里程碑。,二环论,诺特贡献突出,一个具有两种运算,(+,、,),的非空集合,R,，满足：,1,）,R,是一个加群（对,+,定义的交换群）；,2,）,R,对乘法,(),封闭，即,a,、,b,R,，,ab,R,；,3,）适合结合律：,a,、,b,、,c,R,，有,(,ab,),c=a,(,bc,),；,4,）两个分配律成立：,a,、,b,、,c,R,，有,a,(,b+c,)=,ab+ac,，,(,b+c,),a=ba+bc,。,理想（子环）,U,R,的一个非空子集，满足：,1）,a,、,b,U,a-b,U,；,2,）,a,U,，,r,R,ar,、,ra,U,。,戴德金,1879,年创立了“理想”理论，提出“交换环”；,哈密尔顿（,Hamilton,，,William Rowan,1805 1869,）,1843,年创立了“超复数”（四元数）；,皮尔斯（,Peirce,，,Benjamin,1809 1880,）,1870,年提出多种超复数、线性结合代数、结合环；,韦德伯（,Wedderburn,，,Joseph Henry Maclagen,1882 1948,）,1907,年发表,论超复数,：超复数系结构定理，线性结合代数理论；,诺特（,Noether,，,Emmy,1882 1935,）,1920 1926,年间，一般理想论,标志抽象代数创立；,1927 1929,年间，,超复数系研究，线性结合代数研究；,1932 1935,年间，应用到数论的各种具体问题之中。,诺特（,Noether,，,Emmy,1882 1935,）的故事,1882,年,3,月,23,日生于德国爱尔兰根市一个犹太人家庭，父亲,MaxNoether,（,1844 1921,）研究代数函数，代数几何学家，弟弟,FritzNoether,（,1884,？）应用数学家。,WeylHermanm,说：这是“数学天才遗传性的一个十分引人注目的例子”。,12,岁上爱尔兰根市立高级女子学校，,1900,年,4,月通过英、法语教师资格考试，同年秋，改学数学，在爱尔兰根大学旁听。,1903,年,7,月通过大学考试，当年冬到哥廷根大学，,1904,年回到爱尔兰根大学注册，,1907,年完成博士论文“三元双二次型的不变量的完全系”，其中列出,331,个“完全组”。,导师戈丹（,Gordan,，,Paul Albert,1837 1912,）,1910,年退休，施密特、费歇尔先后成为她的导师，逐步实现从戈丹的形式观念转向希尔伯特的研究方式。,1913,年偶尔替父亲上课，,1915,年应克莱因、希尔伯特邀请来到哥廷根大学，协助研究相对论，,1916,年定居哥廷根，受歧视。,1919,年当讲师，,1922 1933,年为编外副教授。,1918,年，发表两篇重要论文：黎曼几何和广义相对论中微分不变式问题化为代数不变式问题；物理守恒律与不变性的“诺特定理”。,1920,年以后，独立创建“抽象代数”：,1920,年与,Schmeidler,，,Werner Johann,合作研究微分算子环，一般算子理论；,1921,年发表“环中的理想论”,“,任何理想都可表为准素理想之交。”,1932,年与布劳尔、哈塞合作解决了“代数主定理”,“,代数数域上每一个中心单代数都是循环代数。”,终身发表论文仅,40,多篇，而“诺特的孩子们”对数学的影响更大。荷兰阿姆斯特丹大学来的范,德,瓦尔登，,1930,年发表,代数学,成为经典，其他学生大多数成为著名数学家，包括中国人曾炯之。,在世界数学家大会上，,1928,年意大利波隆那，,30,分钟分组报告；,1932,年苏黎士，,1,小时全会报告，令人心悦诚服，与阿廷合作获阿克曼,特布纳奖。,1933,年,1,月，希特勒上台，迫害犹太人。哥廷根大学,6,名犹太人理科教授被勒令离境，其中包括诺特。,她曾经于,1928 1929,年间，在莫斯科大学指导代数几何讨论班。此时，她希望能到苏联，由亚里山德罗夫向苏联政府提出建议，但没有结果，走投无路。,1933,年,9,月，经,Weyl,介绍来到美国，在布林马尔女子学院任教，每周一次到普林斯顿讲课。学生们缅怀她：不高、略胖、肤黑、短发、灰丝、近视，英语不特连贯，爱远足，全神贯注谈论数学。她受到尊重、同情、和友谊。,1934,年夏，回到哥廷根，见到哈塞努力成功重建哥廷根的传统，由衷高兴。,1935,年春返美，检查出癌症，手术后期待康复，不幸并发症，,1935,年,4,月,14,日猝然去世。,1935,年,4,月,26,日布林马尔女子学院举行了追悼会。爱因斯坦出席，韦尔主持并致长篇悼词。,爱因斯坦发表讣文：,根据现代权威数学家们判断，诺特女士是自从妇女开始接受高等教育以来，最重要、最富于创造性的数学天才。在最有天赋的数学家为之忙碌了多少世纪的代数领域，她发现了一套方法，当前一代年轻数学家的成长已经证明了它的巨大意义，依赖这套方法，纯粹数学成为一首逻辑概念的诗篇。,韦尔致长篇悼词：,她曾经是充满生命活力的典范，以她那刚毅的心情和生活的勇气，坚定健康地屹立在我们这个星球上，所以大家对此毫无思想准备，她正处于她的数学创造能力的顶峰。她那深远的想象力，同她那长期经验积累起来的技能，已经达到完美和谐的结合。她正热烈地开始了新问题的研究，而这一切现在突然宣告结束，她的工作猝然中断了：,坠落到了黑暗的坟墓，,美丽的、仁慈的、善良的，他们都轻轻地去了；,聪颖的、机智的、勇敢的，他们都平静地去了；,我知道，但我决不认可，,而且，我永远不会顺从！”,确实，有两个品质决定了她的特性。首先是她的数学才华的天然生产力，她并不是上帝的艺术之手塑造出来的形状和谐的瓷土，而是上帝把他的生命创造气息吹入其内的粗犷的原始人；其次是她内心没有任何恶念，她不相信邪恶,邪恶从未进入她的内心。对我来说，再也没有比,1933,年我们在哥廷根一起度过的那个风暴的夏天，更能强烈地显示这一点。,我们对她的科学工作和人格的记忆决不会很快消失，她是一位伟大的数学家，而且我坚信，也是历史上曾经产生过的最伟大的女性之一。,