2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．
2．（3 分）把抛物线 y = - 1 x2 - 1 向右平移 1 个单位长度，得到新的抛物线的解析式是( )
2

第 9页（共 32页）

A． y = - 1 x2
2
C． y = - 1 x2 - 2
2
B． y = - 1 (x + 1)2 - 1 2
D． y = - 1 (x - 1)2 - 1 2

3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 - 10x + 21 = 0 ，下列变形正确的是( )

A． (x - 5)2 = 4
B． (x + 5)2 = 4
C． (x - 5)2 = 121
D． (x + 5)2 = 121

4．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-4, -3) ，以点 A 为圆心，4 为半径画e A ，则坐标原点O 与e A 的位置关系是( )
A．点O 在e A 内 B．点O 在e A 外 C．点O 在e A 上 D．以上都有可能 5．（3 分）下列事件为必然事件的是( )
A. 抛掷一枚硬币，正面向上

B. 在一个装有 5 只红球的袋子中摸出一个白球

C. 方程 x2 - 2x = 0 有两个不相等的实数根
D. 如果| a |=| b | ，那么 a = b
6．（3 分）如图，在RtDABC 中， ÐABC = 90° ， AB = 6 ， BC = 8 ．把DABC 绕点 A 逆时针
方向旋转到△ AB¢C¢ ，点 B¢ 恰好落在 AC 边上，则CC¢ = ( )

13
34
5
A．10 B． 2
C． 2
D． 4

7．（3 分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了 30 场次，则共有( ) 支队伍参赛．
A．4 B．5 C．6 D．7

8．（3 分）在同一平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = ax 与二次函数 y = ax2 - a 的图象可能是( )
A． B． C． D．
9．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ÐA = ÐB = 90° ，点 F 为边CD 上一点，且 FE ^ AB 交
AB 于点 E ，若 AD = 2 ， BC = 8 ，四边形 AEFD ~ 四边形 EBCF ，则 DF 的值是( )
FC

A. 1
4
B. 1
2
C. 1
5
D. 4
5

10．（3 分）已知点 P (x ，y ) ，P (x ，y ) 为抛物线 y = -ax2 + 4ax + c(a ¹ 0) 上两点，且 x < x ，
1 1 1 2 2 2 1 2

则下列说法正确的是( )

A．若 x1 + x2 < 4 ，则 y1 < y2 B．若 x1 + x2 > 4 ，则 y1 < y2

C．若 a(x1 + x2 - 4) > 0 ，则 y1 > y2 D．若 a(x1 + x2 - 4) < 0 ，则 y1 > y2

二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。
11．（3 分）已知点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a + b = ．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在 0.30 左右，则袋子中黄球的数量可能是 个． 13．（3 分）在某一时刻，测得一根长为 1.5 米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是 2 米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是 24 米，则旗杆的高度是 米．

14．（3 分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为 1，则该圆锥的侧面积是 ．

15．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是 s = 60t - 1.5t 2 ，则飞机停下前最后 10 秒滑行的距离是 米．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，eO 经过点C ，CM 为eO 的直径，且CM = 1 ．过
点 M 作eO 的切线分别交边 AB ， AD 于点G ， H ． BD 与CG ， CH 分别交于点 E ， F ，
eO 绕点C 在平面内旋转（始终保持圆心O 在正方形 ABCD 内部）．给出下列四个结论：
2
① HD = 2BG ；② ÐGCH = 45° ；③ H ， F ， E ，G 四点在同一个圆上；④四边形CGAH 面积的最大值为 2 - ．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．

三、解答题：本题共 9 小题，满分 72 分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，

17．（4 分）解方程： 2x2 + x -15 = 0 ．

18．（4 分）如图，已知ÐEAC = ÐDAB ， ÐD = ÐB ，求证： DABC∽DADE ．

19．（6 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫格点，

DABC 的三个顶点都在格点上．

（1） 在图中画出将DABC 绕点C 按逆时针方向旋转90° 后得到的△ A1 B1C1 ；
（2） 在（1）所画的图中，计算线段 AC 在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留p) ．

20．（6 分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人．
（1） 若从这 5 人中选 1 人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 ；

（2） 若从这 5 人中选 2 人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．

21．（8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = -2x + m 与二次函数 y = ax2 + bx + c

的图象相交于 A ， B 两点，点 A(1, 4) 为二次函数图象的顶点，点 B 在 x 轴上．

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 根据图象，求二次函数的函数值大于 0 时，自变量 x 的取值范围．

22．（10 分）如图，在DABC 中， ÐC = 90° ，点O 为边 BC 上一点．以O 为圆心， OC 为半
径的eO 与边 AB 相切于点 D ．
（1） 尺规作图：画出eO ，并标出点 D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）所作的图中，连接CD ，若CD = BD ，且 AC = 6 ．求劣弧C¶D 的长．

23．（10 分）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过 a 吨时，每吨按0.3a 元缴纳水费；每月超过 a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费．
（1） 若 a = 12 ，某户居民 3 月份用水量为 22 吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2） 若下表是某户居民 4 月份和 5 月份的用水量和缴费情况：

月份
用水量（吨)
交水费总金额（元)
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求 a 的值．

24．（12 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 AD 为直径的eO 交 AB 于点 E ，连接 DE ，

2
7
DA = 2 ， DE = ， DC = 5 ．过点 E 作直线l ．过点C 作CH ^ l ，垂足为 H ．

（1） 若l / / AD ，且l 与eO 交于另一点 F ，连接 DF ，求 DF 的长；
（2） 连接 BH ，当直线l 绕点 E 旋转时，求 BH 的最大值；

（3） 过点 A 作 AM ^ l ，垂足为 M ，当直线l 绕点 E 旋转时，求CH - 4 AM 的最大值．

25．（12 分）已知抛物线 y = - 1 x2 + mx + m + 1 与 x 轴交于点 A ， B （点 A 在点 B 的左侧），
2 2
与 y 轴交于点C(0, - 5 ) ，点
2
P 为抛物线在直线 AC 上方图象上一动点．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 求DPAC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；
（3） 在（2）的条件下，抛物线 y = - 1 x2 + mx + m + 1 在点 A 、B 之间的部分（含点 A 、B) 2 2
沿 x 轴向下翻折，得到图象G ．现将图象G 沿直线 AC 平移，得到新的图象 M 与线段 PC 只有一个交点，求图象 M 的顶点横坐标 n 的取值范围．

2021-2022 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3 分）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )

A. B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项 A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形重合， 所以是中心对称图形，
选项 B 、C 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形重合， 所以不是中心对称图形，
故选： A ．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
2．（3 分）把抛物线 y = - 1 x2 - 1 向右平移 1 个单位长度，得到新的抛物线的解析式是( )
2

A． y = - 1 x2
2
C． y = - 1 x2 - 2
2
B． y = - 1 (x + 1)2 - 1 2
D． y = - 1 (x - 1)2 - 1 2

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线 y = - 1 x2 - 1 的顶点坐标是(0, -1) ．
2
则该抛物线向右平移 1 个单位长度后的顶点坐标是(1, -1) ，
所以所得新抛物线的解析式是 y = - 1 (x - 1)2 - 1 ．
2
故选： D ．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减．
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 - 10x + 21 = 0 ，下列变形正确的是( )

A． (x - 5)2 = 4
B． (x + 5)2 = 4
C． (x - 5)2 = 121
D． (x + 5)2 = 121

【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上52 ，然后把方程左边写成完全平分的形式．
【解答】解： x2 - 10x = -21，
x2 - 10x + 52 = -21 + 52 ，

(x - 5)2 = 4 ．

故选： A ．

【点评】本题考查了解一元二次方程 - 配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-4, -3) ，以点 A 为圆心，4 为半径画e A ，
则坐标原点O 与e A 的位置关系是( )
A．点O 在e A 内 B．点O 在e A 外 C．点O 在e A 上 D．以上都有可能
【分析】先求出点 A 到圆心O 的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．

(-4)2 + (-3)2
【解答】解：Q圆心 A(-4, -3) 到原点O 的距离OA = = 5 ，

\OA = 5 > r = 4 ，
\点O 在e A 外， 故选： B ．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r ，点到圆心的距离为 d ，则有：当 d > r 时，点在圆外；当 d = r 时，点在圆上，当 d < r 时，点在圆内． 5．（3 分）下列事件为必然事件的是( )
A. 抛掷一枚硬币，正面向上

B. 在一个装有 5 只红球的袋子中摸出一个白球

C. 方程 x2 - 2x = 0 有两个不相等的实数根
D. 如果| a |=| b | ，那么 a = b

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件．

【解答】解： A 、是随机事件，故 A 选项不符合题意；

B 、是不可能事件，故 B 选项不符合题意；

C 、是必然事件，故C 选项符合题意； D 、是随机事件，故 D 选项不符合题意． 故选： C ．
【点评】本题主要考查了必然事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确 定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
6．（3 分）如图，在RtDABC 中， ÐABC = 90° ， AB = 6 ， BC = 8 ．把DABC 绕点 A 逆时针
方向旋转到△ AB¢C¢ ，点 B¢ 恰好落在 AC 边上，则CC¢ = ( )

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13
A．10 B． 2
C． 2
D． 4

34
5
【分析】在 RtDABC 中， 利用勾股定理可求 AC ， 由旋转的性质可得 AB = AB¢ = 6 ，
BC = B¢C¢ = 8 ， ÐB = ÐAB¢C¢ = 90° ，在 Rt △ CB¢C¢ 中，由勾股定理可求CC¢ 的长．
【解答】解：QÐABC = 90° ， AB = 6 ， BC = 8 ，

AB2 + BC2
\ AC = = 10 ，

Q将RtDABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt △ AB¢C¢ ，
\ AB¢ = AB = 6 ， B¢C¢ = BC = 8 ， ÐABC = ÐAB¢C¢ = 90° ，
\ B¢C = AC - AB¢ = 4 ， ÐC¢B¢C = 90° ，

B¢C¢2 + B¢C2
82 + 42
5
在 Rt △ B¢C¢C 中， CC¢ = = = 4 ，

故选： D ．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理的 应用等知识，由旋转的性质得出△ B¢C¢C 是直角三角形是解题的关键．
7．（3 分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了 30 场次，则共有( ) 支队伍参赛．

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关 系为：球队的个数´ （球队的个数-1) = 30 ，把相关数值代入即可．
【解答】解：设邀请 x 个球队参加比赛， 根据题意可列方程为： x(x - 1) = 30 ．
解得： x1 = 6 ， x2 = -5 （不合题意舍去），答：共有 6 支队伍参赛．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛 场数= 队数´ （队数-1) ¸ 2 ，进而得出方程是解题关键．
8．（3 分）在同一平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = ax 与二次函数 y = ax2 - a 的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据各选项图象判断 a 的取值范围求解．
【解答】解：选项 A ，直线下降 a < 0 ，抛物线开口向上， a > 0 ，不符合题意．
选项 B ，直线下降， a < 0 ，抛物线开口向下 a < 0 ，抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， -a < 0 ， 即 a > 0 ，不符合题意．
选项C ，直线上升， a > 0 ，抛物线开口向上 a > 0 ，抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， -a < 0 ，
即 a > 0 ，符合题意．
选项 D ，直线上升， a > 0 ，抛物线开口向下 a < 0 ，不符合题意． 故选： C ．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．

9．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ÐA = ÐB = 90° ，点 F 为边CD 上一点，且 FE ^ AB 交

AB 于点 E ，若 AD = 2 ， BC = 8 ，四边形 AEFD ~ 四边形 EBCF ，则 DF 的值是( )
FC

A. 1
4
B. 1
2
C. 1
5
D. 4
5

【分析】根据四边形 AEFD ~ 四边形 EBCF ，求得 EF = 4 ，根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解答】解：Q四边形 AEFD ~ 四边形 EBCF ，
\ AD = EF ，
EF BC
Q AD = 2 ， BC = 8 ，
\ EF 2 = 2´ 8 = 16 ，
\ EF = 4 ，
Q四边形 AEFD ~ 四边形 EBCF ，
\ DF = AD = 1 ，
CF EF 2
故选： B ．

【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．

10．（3 分）已知点 P (x ，y ) ，P (x ，y ) 为抛物线 y = -ax2 + 4ax + c(a ¹ 0) 上两点，且 x < x ，
1 1 1 2 2 2 1 2

则下列说法正确的是( )

A．若 x1 + x2 < 4 ，则 y1 < y2 B．若 x1 + x2 > 4 ，则 y1 < y2

C．若 a(x1 + x2 - 4) > 0 ，则 y1 > y2 D．若 a(x1 + x2 - 4) < 0 ，则 y1 > y2

【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论 a > 0 及 a < 0 时各选项求解．

【解答】解：Q y = -ax2 + 4ax + c ，

\抛物线对称轴为直线 x = -
4a

-2a

= 2 ，

P2 (x2 ， y2 ) 关于直线 x = 2 的对称点为 P(4 - x2 ， y2 ) ，

若 x1 + x2 < 4 ，由 x2 + 4 - x2 = 4 ， x1 < x2 ，可得 x1 < 4 - x2 ， 当抛物线开口向上时， y1 > y2 ，

\选项 A 错误．

若 x1 + x2 > 4 ，由 x2 + 4 - x2 = 4 ， x1 < x2 ，可得 4 - x2 < x1 < x2 ，

当抛物线开口向下时， y1 > y2 ，

\选项 B 错误．

若 a(x1 + x2 - 4) > 0 ，当 x1 + x2 < 4 时，则 a < 0 ， -a > 0 ，抛物线开口向上，

\ y1 > y2 ，

当 x1 + x2 > 4 时，则 a > 0 ， -a < 0 ，抛物线开口向下，

\ y1 > y2 ，选项C 正确．

若 a(x1 + x2 - 4) < 0 ，当 x1 + x2 < 4 时， a > 0 ， -a < 0 ，抛物线开口向下，

\ y1 < y2 ，选项 D 错误． 解法二：作差法，

Q y = -ax2 + 4ax + c ， y = -ax2 + 4ax
+ c ，

1 1 1 2 2 2

\ y - y = -ax2 + 4ax + c - (-ax2 + 4ax
+ c)

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2
= -a(x2 - x2 ) + 4a(x - x )

= -a(x1 + x2 )(x1 - x2 ) + 4a(x1 - x2 )

= -a(x1 - x2 )(x1 + x2 - 4)

Q x1 < x2 ，

\ x1 - x2 < 0 ，

当 a(x1 + x2 - 4) > 0 时，则-a(x1 - x2 )(x1 + x2 - 4) > 0 ，

\ y1 > y2 ， 故选： C ．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程 及不等式的关系，通过数形结合求解．
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。
11．（3 分）已知点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a + b = 1 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，得
a = -2 ， b = 3 ，
则 a + b = -2 + 3 = 1 ， 故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30 左右，则袋子中黄球的数量可能是 6 个．
【分析】袋子中装有红球、黄球共 20 个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在 0.30 左右， 据此用球的总个数乘以黄球的频率即概率，从而得出黄球个数的估计值．
【解答】解：Q袋子中装有红球、黄球共 20 个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在 0.30
左右，

\袋子中黄球的数量可能是 20 ´ 0.3 = 6 （个) ， 故答案为：6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位

置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势 来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3 分）在某一时刻，测得一根长为 1.5 米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是 2 米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是 24 米，则旗杆的高度是 18 米．
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得竹竿与影长构成的三角形和旗杆和 影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．
【解答】解：Q光线是平行的，影长都在地面上，
\光线和影长组成的角相等；旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角，
\竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，
设旗杆的高度为 x ，
x = 1.5 ，
24 2
解得 x = 18 ，
答：旗杆的高度是 18 米， 故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边 的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
14．（3 分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模
型．已知半圆的半径为 1，则该圆锥的侧面积是 p ．
2

【分析】根据圆锥的侧面积等于半圆的面积解决问题．
【解答】解：圆锥的侧面积= 半圆的面积= 1 ´p´12 = p，
2 2
故答案为： p．
2
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥的侧面积等于半圆面积．

15．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是 s = 60t - 1.5t 2 ，则飞机停下前最后 10 秒滑行的距离是 150 米．
【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为 20 秒，再求出

前 10 秒飞机滑行的距离即可．
【解答】解：Q s = 60t - 1.5t 2 = - 3 (t - 20)2 + 600 ，
2
- 3 < 0 ，抛物线开口向下，
2
\当t = 20 时， s 有最大值，此时 s = 600 ，
\飞机从落地到停下来共需 20 秒，

1
飞机前 10 秒滑行的距离为： s = 60 ´10 -1.5 ´102 = 450 （米) ，

\飞机停下前最后 10 秒滑行的距离为： 600 - 450 = 150 （米) ， 故答案为：150．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，eO 经过点C ，CM 为eO 的直径，且CM = 1 ．过点 M 作eO 的切线分别交边 AB ， AD 于点G ， H ． BD 与CG ， CH 分别交于点 E ， F ，
eO 绕点C 在平面内旋转（始终保持圆心O 在正方形 ABCD 内部）．给出下列四个结论：
2
① HD = 2BG ；② ÐGCH = 45° ；③ H ， F ， E ，G 四点在同一个圆上；④四边形CGAH 面积的最大值为 2 - ．
其中正确的结论有 ②③④ （填写所有正确结论的序号）．

【分析】①在eO 绕点C 在平面内旋转（始终保持圆心O 在正方形 ABCD 内部）过程中，BG 增大时， DH 随着减小， BG 减小时， DH 随着增大，可判断①不正确；
②先证明RtDCHD @ RtDCHM(HL) ，可得：HD = HM ，ÐHCD = ÐHCM ，ÐCHD = ÐCHM ， 同理： GB = GM ， ÐGCB = ÐGCM ， ÐCGB = ÐCGM ，即可得出： ÐGCH = 45° ，可判断
②正确；

③根据ÐCHD + ÐHCD = 90° ， ÐBCH + ÐHCD = 90° ，可得ÐCHD = ÐBCH ，进而推出：
ÐCHM + ÐFEG = 180° ，即 H ， F ， E ， G 四点在同一个圆上，即可判断③正确；
④设 HD = x ， BG = a ，则 HM = x ， MG = a ， AH = 1 - x ， AG = 1 - a ，利用勾股定理可

得 出 a = 1 - x
x + 1

， 设 四 边 形 CGAH 的 面 积 为 y ， 则 ：

y = S
- S - S
= 1 - 1 x + x - 1

，整理，得： x2 + (2 y - 2)x + (2 y -1) = 0 ，由

正方形ABCD
DCDH
DCBG
2 2 ( x + 1)

根的判别式得： △ = (2 y - 2)2 - 4 ´1´ (2 y -1)…0 ， 即 ( y - 2 +
2)( y - 2 -
2)…0 ， 可得出

2
2
y„2 - ，即四边形CGAH 的面积的最大值为 2 - ，可判断④正确．

【解答】解：①在eO 绕点C 在平面内旋转（始终保持圆心O 在正方形 ABCD 内部）过程中，
BG 增大时， DH 随着减小， BG 减小时， DH 随着增大，故①不正确；
②Q正方形 ABCD 的边长为 1，
\ÐA = ÐABC = ÐBCD = ÐADC = 90° ， AB = BC = CD = AD = 1，
QGH 与eO 相切于点 M ，
\ÐCMH = ÐCMG = 90° ，
Q CM 为eO 的直径，且CM = 1 ，
\ BC = CM = CD = 1 ，
在RtDCHD 和RtDCHM 中，

í
ìCD = CM ，
îCH = CH
\RtDCHD @ RtDCHM(HL) ，
\ HD = HM ， ÐHCD = ÐHCM ， ÐCHD = ÐCHM ，
同理： GB = GM ， ÐGCB = ÐGCM ， ÐCGB = ÐCGM ，
QÐHCD + ÐHCM + ÐGCB + ÐGCM = 90° ，
\ 2(ÐHCM + ÐGCM ) = 90° ，
\ÐGCH = 45° ，故②正确；
③QÐCHD + ÐHCD = 90° ， ÐBCH + ÐHCD = 90° ，
\ÐCHD = ÐBCH ，
QÐCHM = ÐCHD ，
\ÐCHM = ÐBCH = 45° + ÐGCB ，
QÐCEF = 45° + ÐGCB ，
\ÐCHM = ÐCEF ，
QÐCEF + ÐFEG = 180° ，
\ÐCHM + ÐFEG = 180° ，
\四边形 EFHG 是圆内接四边形，
即 H ， F ， E ， G 四点在同一个圆上，故③正确；

④设 HD = x ， BG = a ，则 HM = x ， MG = a ， AH = 1 - x ， AG = 1 - a ，
\GH = HM + GM = x + a ，
在RtDAGH 中， AH 2 + AG2 = GH 2 ，

\(1 - x)2 + (1 - a)2 = (x + a)2 ，
\ a = 1 - x ，
x + 1

设四边形CGAH 的面积为 y ， 则： y = S正方形ABCD - SDCDH - SDCBG
= AB2 - 1 CD × DH - 1 BC × BG
2 2
= 12 - 1 ×1× x - 1 ´1× 1 - x ，

2 2 x + 1
\ y = 1- 1 x + x -1 ，

2 2( x +1)

整理，得： x2 + (2 y - 2)x + (2 y -1) = 0 ，

\△ = (2 y - 2)2 - 4 ´1´ (2 y -1)…0 ，

\ y2 - 4 y + 2…0 ，

\( y - 2 +
2)( y - 2 -
2)…0 ，

\
ìï y - 2 +
í
2…0 ïì y - 2 +
或
í
2„0
，

ïî y - 2 -
2…0 ïî y - 2 -
2„0

2
解得： y…2 + 2 或 y„2 - ，

Q y„S正方形ABCD = 1，

2
\ y…2 +
不符合题意，舍去，

2
\ y„2 - ，

2
即 y 的最大值为2 - ，

2
\四边形CGAH 的面积的最大值为 2 - ， 故④正确，
故答案为：②③④．

【点评】本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的判定与性质，切线的性质，全等三角形 的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性 质．
三、解答题：本题共 9 小题，满分 72 分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，

17．（4 分）解方程： 2x2 + x -15 = 0 ．
【分析】利用因式分解法把方程转化为 2x - 5 = 0 或 x + 3 = 0 ，然后解两个一次方程即可．
【解答】解： (2x - 5)(x + 3) = 0 ，
2x - 5 = 0 或 x + 3 = 0 ， 所以 x = 5 ， x = -3 ．
1 2 2

【点评】本题考查了解一元二次方程 - 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．（4 分）如图，已知ÐEAC = ÐDAB ， ÐD = ÐB ，求证： DABC∽DADE ．

【分析】根据ÐEAC = ÐDAB 求出ÐDAE = ÐBAC ，再利用“两角法”来证 DABC∽DADE 即可．
【解答】证明：QÐEAC = ÐDAB ，
\ÐEAC + ÐCAD = ÐDAB + ÐCAD ， 即ÐDAE = ÐBAC ，
又QÐD = ÐB ，
\DABC∽DADE ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定是解此题的关键，两角法： 有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．（6 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫格点，

DABC 的三个顶点都在格点上．

（1） 在图中画出将DABC 绕点C 按逆时针方向旋转90° 后得到的△ A1 B1C1 ；
（2） 在（1）所画的图中，计算线段 AC 在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留p) ．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出 A ， B ， C 的对应点 A1 ， B1 ， C1 即可；

（2）利用扇形的面积公式求解即可．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C1 即为所求；

（2）Q AC =
= 10 ，
12 + 32
90p´ ( 10)2
5p

\线段 AC 在旋转过程中扫过的图形面积= = ．
360 2
【点评】本题考查作图 - 旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是掌握旋转变换
= npr2

的性质，记住扇形的面积
．
360

20．（6 分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小

组，其中男生 2 人，女生 3 人．
（1） 若从这 5 人中选 1 人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 3 ；
5
（2） 若从这 5 人中选 2 人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选中一男一女的情况数，然

后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）Q共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人，
\从这 5 人中选 1 人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 3 ；
5

（2）设男生用 A 表示，女生用 B 表示， 树状图如下所示：

由上可得，一共有 20 种可能性，其中恰好选中一男一女的有 12 种，
所以恰好选中一男一女的概率是 12 = 3 ．
20 5
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识 点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．
21．（8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = -2x + m 与二次函数 y = ax2 + bx + c

的图象相交于 A ， B 两点，点 A(1, 4) 为二次函数图象的顶点，点 B 在 x 轴上．

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 根据图象，求二次函数的函数值大于 0 时，自变量 x 的取值范围．

【分析】（1）根据题意，先可以求 m ，再求出点 B 的坐标，从而可以求得二次函数的解析式