备战中考数学压轴题专题复习—一元二次方程组的综合附答案解析.doc

-备战中考数学压轴题专题复习—一元二次方程组综合附答案解析

一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P坐标；
②当四边形PABC面积最大时，求四边形PABC面积最大值及此时点P坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣﹣1，2）；②P（﹣ ，）
【解析】
试题分析：（1）将B、C坐标代入已知抛物线解析式，由对称轴为即可得到抛物线解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x值即可求得点P坐标；
②，表达出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为，∴，解得：，∴二次函数解析式为=，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令，解得或，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在上，∴设点P（x，），
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴点P（，2）；
②设P(x，y)，则，∵
=OB•OC+AD•PD+(PD+OC)•OD==
===，
∴当x=时，=，当x=时，=，此时P（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数最值；3．最值问题；4．压轴题．

2．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0两个实数根，求△ABC周长．
【答案】△ABC周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种状况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再运用三角形周长公式可求出△ABC周长；当a=4为底边长时，由根鉴别式△=0可求出k值，将其代入原方程运用根与系数关系可求出b+c值，由b+c=a可得出此种状况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：
解得：
当时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c三条线段不能围成三角形．
∴△ABC周长为10．
【点睛】
本题考察了根鉴别式、根与系数关系、一元二次方程解、等腰三角形性质以及三角形三边关系，分a为腰长及底边长两种状况考虑是解题关键．

3．某中心都市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格发售，由于国家出台了有关调控房地产政策，开发商通过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元价格销售．
（1）求平均每次下调百分率；
（2）房产销售经理向开发商提议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理方案对购房者与否更优惠？为何？
【答案】（1）平均每次下调百分率为10%．（2）房产销售经理方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据运用一元二次方程处理增长率问题规定，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理方案对购房者更优惠．

4．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=.
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程解法，直接先移项，再运用ab=0关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣．

5．已知：有关方程有两个不相等实数根．
（1） 用含式子表达方程两实数根；
（2）设方程两实数根分别是，（其中），且，求值．
【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是有关x一元二次方程．
∴
由求根公式，得
． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检查是方程（﹡）根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再运用求根公式即可求出方程两根即可；
（2）有（1）可知方程两根，再有条件x1＞x2，可懂得x1和x2数值，代入计算即可．
一位数学老师参与本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节省用水、保护水资源，是科学发展观重要体现.根据这种理念，本市制定了一套节省用水管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反应了每月收取水费（元）与每月用水量（吨）之间函数关系.
请你解答下列问题：

6．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

7．已知有关x一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k取值范围；
（2）与否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，祈求出k值；若不存在，请阐明理由．
【答案】(1)当k≤时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根鉴别式列出不等式，解之即可；（2）本题运用韦达定理处理.
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数关系可得：
代入得：，
化简得：，
得.
由于取值范围为，
故不存在k使．

8．已知有关x一元二次方程．
若此方程有两个实数根，求m最小整数值；
若此方程两个实数根为，，且满足，求m值．
【答案】（1）最小整数值为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）运用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：

方程有两个实数根
，即

最小整数值为
（2）由根与系数关系得：，
由得：
，

【点睛】
本题考察了根鉴别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

9．已知有关x一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等实数根．
(1)求k取值范围；
(2)当k取最小整数时，求此时方程解．
【答案】(1)k＞﹣；(2)x1＝0，x2＝﹣1．
【解析】
【分析】
(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，解不等式即可求得答案；
(2)根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．
【详解】
(1)∵有关x一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等实数根，
∴△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，
∴k＞﹣；
(2)∵k取最小整数，
∴k＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考察了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)根鉴别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△＝0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根．

10．已知有关x方程（x-3）(x-2)-p2=0.
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p值.
【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.
【解析】
【分析】
（1）先把方程化成一般形式，再计算根鉴别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等实数根；（2）根据一元二次方程根与系数关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积形式，代入计算，得到一种有关p一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，
x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等实数根；
（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，
∴52=5（6﹣p2），
∴p=±1．
考点：根鉴别式；根与系数关系．

11．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每公斤40元，按每公斤60元发售，平均每天可售出100公斤，后来通过市场调查发现，单价每减少2元，则平均每天销售可增长20公斤，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每公斤核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变状况下，为尽量让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价几折发售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每公斤核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
答：每公斤核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每公斤核桃可降价4元或6元.
∵要尽量让利于顾客，∴每公斤核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），.
答：该店应按原售价九折发售.

12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s速度移动，两点同步出发．
(1)问几秒后，△PBQ面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ长为4cm ?
(3)△PBQ面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请阐明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q通过t秒，使△PBQ面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出体现式，解答出即可；
（2）设通过x秒后线段PQ长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，运用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ面积表达出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q通过t秒时，△PBQ面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q通过2或4秒时，△PBQ面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故通过秒或2秒后，线段PQ长为4 cm；
(3)设通过y秒，△PBQ面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握一元二次方程应用是本题解题关键.

13．今年以来猪肉价格不停走高，引起了民众与区政府高度关注，当市场猪肉平均价格每 公斤达到一定单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据记录：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不停走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购置 5 公斤猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨进货价为年初排骨售价倍，按 11 月 10 日价格发售，平均一天能销售出 100 公斤，超市记录发现：若排骨售价每公斤下降 1 元，其日销售量就增长 20公斤，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元利润，为了尽量让顾客优惠应当将排骨 售价定位为每公斤多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价基础上下调 a%发售，A 超市按规定价发售一批储备排骨，该超市在非储备排骨价格不变状况下，该天两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增长了 a%，且储备排骨销量占总销量，两种排骨销售总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 值．
【答案】（1）售价为每公斤65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10售价和11月进货价，设每公斤降价x元，则每公斤利润为10-x元，日销量为100+20x 公斤，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽量让顾客优惠，对所得解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日售价为350÷5=70元/公斤
年初售价为：350÷5÷175％=40元/公斤，
11月进货价为： 元/公斤
设每公斤降价x元，则每公斤利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 公斤
则，
解得，
由于为了尽量让顾客优惠，因此降价5元，则售价为每公斤65元.
（2）根据题意可得
解得,(舍去)
因此a=35.
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，（1）中理清销售量伴随单价变化而变化数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a值.

14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．

15．如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 方向以每秒2个单位长速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同步出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒）.

（1）当 时，求 面积；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .
（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形？
【答案】（1）；（2） ；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形，分三种状况，①，②，③分别求出t即可.
【详解】
解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.

∴，
∵，
当t=2时，则BQ=14，
则=×14×12=84；
（2）当四边形是平行四边形时，,
即
解得：
∴当时，四边形是平行四边形.
（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形，可以分为如下三种状况：
①若，在 中，，由得 解得： ；
②若，在 中，，由得 ，即，
此时， ,
因此此方程无解，因此 ；
③若，由得 ,
得 ，（不合题意，舍去）；
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点三角形是等腰三角形.
【点睛】
本题是对四边形即可中动点问题考察，纯熟掌握动点中线段表达、平行四边形和等腰三角形性质及判断是处理本题关键，难度适中.