2025年备战中考数学平行四边形大题培优易错难题.doc

备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)

一、平行四边形
1．假如两个三角形两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中△ABC分割成两个互补三角形；
（2）证明图2中△ABC分割成两个互补三角形；
（3）如图3，在图2基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4网格中（网格中每个小正方形边长为1）画出边长为、、三角形，并计算图3中六边形DEFGHI面积．
②若△ABC面积为2，求以EF、DI、HG长为边三角形面积．

【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6
【解析】
试题分析：（1）作BC边上中线AD即可．
（2）根据互补三角形定义证明即可．
（3）①画出图形后，运用割补法求面积即可．
②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．
试题解析：（1）如图1中，作BC边上中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．

（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．

∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，
∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．
（3）①边长为、、三角形如图4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，
∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．
②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，
∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，
∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，
∴△AEM≌△DBI，
∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，
∴△DBI和△ABC是互补三角形，
∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，
∴S△EFM=3S△ABC=6．
考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积

2．操作与证明：如图1，把一种含45°角直角三角板ECF和一种正方形ABCD摆放在一起，使三角板直角顶点和正方形顶点C重叠，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）条件下，请判断MD、MN数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN数量关系是 ；
结论2：DM、MN位置关系是 ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请阐明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据正方形性质以及等腰直角三角形知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN数量关系是相等，运用直角三角形斜边中线等于斜边二分之一和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，运用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标识出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，运用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等结论，再运用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN位置关系是垂直.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN数量关系是相等，DM、MN位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF中点，点N为EF中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．因此（2）中两个结论还成立.

考点：1.正方形性质；2.全等三角形判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转性质．

3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C对应点分别为D，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H坐标．
（3）记K为矩形AOBC对角线交点，S为△KDE面积，求S取值范围（直接写出成果即可）．

【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（，3）；（3）≤S≤．
【解析】
【分析】
（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可处理问题；
（2）①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可处理问题；
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK面积最小，当点D在BA延长线上时，△D′E′K面积最大，求出面积最小值以及最大值即可处理问题；
【详解】
（1）如图①中，

∵A（5，0），B（0，3），
∴OA=5，OB=3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD==4，
∴BD=BC-CD=1，
∴D（1，3）．
（2）①如图②中，

由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，
又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA=∠OAB，
∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，
在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，
∴m2=32+（5-m）2，
∴m=，
∴BH=，
∴H（，3）．
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK面积最小，最小值=•DE•DK=×3×（5-）=，

当点D在BA延长线上时，△D′E′K面积最大，最大面积=×D′E′×KD′=×3×（5+）=．
综上所述，≤S≤．
【点睛】
本题考察四边形综合题、矩形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、旋转变换等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识处理问题，学会运用参数构建方程处理问题．

4．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等矩形，若其他条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间数量关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，运用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）设正方形ABCD边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；

（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，因此有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2

考点：四边形综合题

5．图1、图2是两张形状、大小完全相似方格纸，方格纸中每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点．
（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
（2）在图2中以格点为顶点画一种正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点四个全等直角三角形和一种正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．

【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.
【解析】
试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．
试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点交点为N，连接MN，如图1所示；

（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：

考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.

6．已知AD是△ABC中线P是线段AD上一点（不与点A、D重叠），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC中点，AD与EF交于点M；

（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；
（2）如图2，当点P与点M重叠时，在不添加任何辅助线条件下，写出所有与△BPE面积相等三角形（不包括△BPE自身）．
【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；
（2）由△APE与△BPE底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上高等于△AEF底边EF上高二分之一，推出S△PGH=S△AEF=S△APF，即可得出成果．
【详解】
（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC中点，
∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝BC，GH∥BC，GH＝BC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥AP，
∵EG∥AP，
∴EF⊥EG，
∴平行四边形EGHF是矩形；
（2）∵PE是△APB中线，
∴△APE与△BPE底AE＝BE，又等高，
∴S△APE＝S△BPE，
∵AP是△AEF中线，
∴△APE与△APF底EP＝FP，又等高，
∴S△APE＝S△APF，
∴S△APF＝S△BPE，
∵PF是△APC中线，
∴△APF与△CPF底AF＝CF，又等高，
∴S△APF＝S△CPF，
∴S△CPF＝S△BPE，
∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC中点，
∴△AEF底边EF上高等于△ABC底边BC上高二分之一，△PGH底边GH上高等于△PBC底边BC上高二分之一，
∴△PGH底边GH上高等于△AEF底边EF上高二分之一，
∵GH＝EF，
∴S△PGH＝S△AEF＝S△APF，
综上所述，与△BPE面积相等三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．
【点睛】
本题考察了矩形判定与性质、平行四边形判定、三角形中位线定理、平行线性质、三角形面积计算等知识，纯熟掌握三角形中位线定理是处理问题关键．

7．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．
(1)如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF周长；
(2)如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重叠)，连AH．若∠EAH＝45°，
求证：EC＝HG+FC．

【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC＝AB＝4，求出AF＝3，CF＝AC﹣AF＝，求出△CEF是等腰直角三角形，得出EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF周长；
（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG＝CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴AC＝AB＝4，
∵4AF＝3AC＝12，
∴AF＝3，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∵EF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝，
∴△AEF周长＝AE+EF+AF＝；
（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：

则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，
∴CM＝CG，CG＝CF，
∴BM＝DG，
∵AF＝AB，
∴AF＝AD，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，
，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴FG＝DG，∴BM＝FG，
∵∠BAC＝∠EAH＝45°，
∴∠BAE＝∠FAH，
∵FG⊥AC，
∴∠AFH＝90°，
在△ABE和△AFH中，
，
∴△ABE≌△AFH（ASA），
∴BE＝FH，
∵BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，
∴EM＝HG，
∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，
∴EC＝HG+FC．
【点睛】
本题考察了正方形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识；纯熟掌握等腰直角三角形判定与性质，证明三角形全等是解题关键．

8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重叠：①求证：AF=DE；②若正方形边长为2，当∠DOE=15°时，求线段EF长；
（2）如图2，若Rt△PFE顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重叠），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．

【答案】（1）①证明见解析，②；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据正方形性质和旋转性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形性质证明；
②作OG⊥AB于G，根据余弦概念求出OF长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形判定和性质求出PE与PF数量关系．
【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠DOE=∠AOF，
在△AOF和△DOE中，
，
∴△AOF≌△DOE，
∴AF=DE；
②解：过点O作OG⊥AB于G，

∵正方形边长为2，
∴OG=BC=，
∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，
∴∠AOF=15°，
∴∠FOG=45°-15°=30°，
∴OF==2，
∴EF=；
（2）证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴，
∴PE=2PF．
【点睛】
此题属于四边形综合题．考察了正方形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质以及勾股定理．注意精确作出辅助线是解此题关键．

9．如图，点O是正方形ABCD两条对角线交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．
（1）如图1，若正方形OEFG对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；
（3）在（2）条件下，正方形OE′F′G′边OG′与正方形ABCD边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【解析】
【分析】
（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形中位线性质得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；
（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；
（3）分类讨论，根据三角形外角性质和等腰三角形性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，
∴ME=GE，
∵OG=2OD、OE=2OC，
∴CD∥GE，CD=GE，
∴CD=GE，
∴四边形CDME是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，
∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，
∴∠G′OD=∠E′OC，
∴∠AOG′=∠COE′，
在△AG′O与△ODE′中，
，
∴△AG′O≌△ODE′
∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，
∵∠1=∠2，
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，
∴AG′⊥DE′；
（3）①正方形OE′F′G′边OG′与正方形ABCD边AD相交于点N，如图3，

Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°-45°=45°；
②正方形OE′F′G′边OG′与正方形ABCD边AB相交于点N，如图4，

Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO+90°=112.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°+45°=135°，
Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，
综上所述：若△AON是等腰三角形时，α值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【点睛】
本题重要考察了正方形性质、全等三角形判定与性质、锐角三角函数、旋转变换性质综合运用，有一定综合性，分类讨论当△AON是等腰三角形时，求α度数是本题难点．

10．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PE⊥PC交直线AB于E．
（1） 求证：PC=PE;
（2） 延长AP交直线CD于点F.
①如图2，若点F是CD中点，求△APE面积；
②若ΔAPE面积是，则DF长为
（3） 如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E有关BD对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=，则△MNQ面积是

【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）
【解析】
【分析】
（1）运用正方形每个角都是90°，对角线平分对角性质，三角形外角等于和它不相邻两个内角和，等角对等边等性质容易得证;
（2）作出△ADP和△DFP高，由面积法容易求出这个高值.从而得到△PAE底和高，并求出面积.第2小问思绪同样，通过面积法列出方程求解即可;
（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积二分之一可得其面积.
【详解】
(1) 证明：∵点P在对角线BD上，
∴△ADP≌△CDP,
∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,
∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,
∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,
∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,
∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,
∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,
∴∠PEA=∠PAE,
∴PC=PE;
（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.
∵四边形ABCD是正方形，P在对角线上，
∴四边形HPGD是正方形，
∴PH=PG,PM⊥AB,
设PH=PG=a,
∵F是CD中点，AD＝6，则FD=3,=9,
∵==,
∴,解得a=2,
∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,
又∵PA=PE,
∴AM=EM,AE=4,
∵=,
②设HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,
∴=,
解得b=2.4,
∵==,
∴,
∴当b=2.4时，DF=4；当b＝3.6时，DF＝9,
即DF长为4或9;
（3）如图，

∵E、Q有关BP对称，PN∥CD,
∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,
∴∠1+∠4=45°,
∴∠3=∠4,
易证△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,
∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,
∴∠6+∠7=90°,
∴△MNQ是直角三角形,
设EM=a,NC=b列方程组
,
可得ab=,
∴,
【点睛】
本题是四边形综合题目，考察了正方形性质、等腰直角三角形判定与性质、全等三角形判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，纯熟掌握正方形性质，证明三角形全等是处理问题关键.要注意运用数形结合思想.

11．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE关系是___；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上点，其他条件不变，（1）中结论与否仍然成立？请作出判断并予以证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上点，其他条件不变，（1）中结论与否仍然成立？请直接写出你判断．

【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.
【解析】
试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；
（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，运用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，运用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；
（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．
试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；
（2）过点G作GH⊥CB延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；
（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．

12．问题情境
在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC延长线于点E，M是边AD中点，连接MB，ME.
特例探究
(1)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB与ME数量关系，位置关系；
(2)如图2，当∠ABC＝120°时，试探究线段MB与ME数量关系，并证明你结论；
拓展延伸
(3)如图3，当∠ABC＝α时，请直接用含α式子表达线段MB与ME之间数量关系．

【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝MB．证明见解析；(3)ME＝MB·tan.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接CM．只要证明△MBE是等腰直角三角形即可；
（2）结论：EM=MB．只要证明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30°即可；
（3）结论：EM=BM•tan．证明措施类似；
【详解】
(1) 如图1中，连接CM．

∵∠ACD=90°，AM=MD，
∴MC=MA=MD，
∵BA=BC，
∴BM垂直平分AC，
∵∠ABC=90°，BA=BC，
∴∠MBE=∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°，
∵AB∥DE，
∴∠ABE+∠DEC=180°，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，
∴EC=ED，∵MC=MD，
∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，
∴∠MEC=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．

∵DC⊥AC，M是边AD中点，
∴MC＝MA＝MD．
∵BA＝BC，
∴BM垂直平分AC．
∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠MBE＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°.
∵AB∥DE，
∴∠ABE＋∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝60°，
∴∠DCE＝∠DEC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴EC＝ED．
∵MC＝MD，
∴EM垂直平分CD，EM平分∠DEC，
∴∠MEC＝∠DEC＝30°，
∴∠MBE＋∠MEB＝90°，即∠BME＝90°.
在Rt△BME中，∵∠MEB＝30°，
∴ME＝MB．
(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan．

理由：同法可证：BM⊥EM，BM平分∠ABC，
因此EM=BM•tan．
【点睛】
本题考察四边形综合题、等腰直角三角形判定和性质、等边三角形判定和性质、等腰三角形性质、锐角三角函数等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识处理问题．

13．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB延长线于F．
求证：AE=AF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据同角余角相等证得∠BAF=∠DAE，再运用正方形性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形性质即可证得AF=AE．
【详解】
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE=90°，
又∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AF=AE．
【点睛】
本题重要考察了正方形性质、全等三角形判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是处理本题关键．

14．已知边长为1正方形ABCD中， P是对角线AC上一种动点（与点A、C不重叠），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）当点E落在线段CD上时（如图），
①求证：PB=PE；
②在点P运动过程中，PF长度与否发生变化？若不变，试求出这个不变值，若变化，试阐明理由；
（2）当点E落在线段DC延长线上时，在备用图上画出符合规定大体图形，并判断上述（1）中结论与否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？假如能，试求出AP长，假如不能，试阐明理由．

【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF长度不变，值为；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.
【解析】
分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO长即可．
（2）根据条件即可画出符合规定图形，同理可得（1）中结论仍然成立．
（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC延长线上两种状况讨论，通过计算就可求出符合规定AP长．
详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．
∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．
∵PE⊥PB即∠BPE=90°，
∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
，
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB=PE．
②连接BD，如图2．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°．
∵PE⊥PB即∠BPE=90°，
∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF．
∵EF⊥PC即∠PFE=90°，
∴∠BOP=∠PFE．
在△BOP和△PFE中，

∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO=PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BC=OB．
∵BC=1，∴OB=，
∴PF=．
∴点PP在运动过程中，PF长度不变，值为．
（2）当点E落在线段DC延长线上时，符合规定图形如图3所示．

同理可得：PB=PE，PF=．
（3）①若点E在线段DC上，如图1．

∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．
∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不也许是等腰三角形．
②若点E在线段DC延长线上，如图4．

若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE=135°，
∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°．
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，
∴∠PBR=∠CER=22.5°，
∴∠ABP=67.5°，
∴∠ABP=∠APB．
∴AP=AB=1．
∴AP长为1．
点睛：本题重要考察了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、角平分线性质、勾股定理、四边形内角和定理、三角形内角和定理及外角性质等知识，有一定综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是处理本题关键．

15．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同步出发，以相似速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF位置关系，并阐明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB延长线上时，连接AE和DF，（1）中结论还成立吗？（请你