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全国备战中考数学一元二次方程组综合备战中考真题分类汇总附答案解析

一、一元二次方程
1．有关x方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出取值范围；
（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.

2．李明准备进行如下操作试验，把一根长40 cm铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一种正方形．
(1)要使这两个正方形面积之和等于58 cm2，李明应当怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形面积之和不也许等于48 cm2，你认为他说法对吗？请阐明理由．
【答案】 (1) 李明应当把铁丝剪成12 cm和28 cm两段；(2) 李明说法对，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成较短这段为xcm，较长这段就为（40﹣x）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成较短这段为mcm，较长这段就为（40﹣m）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于48cm2建立方程，假如方程有解就阐明李明说法错误，否则对．
试题解析：设其中一段长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不也许使得两正方形面积之和为48cm2，李明说法对．
考点：1．一元二次方程应用；2．几何图形问题．

3．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

4．某中心都市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格发售，由于国家出台了有关调控房地产政策，开发商通过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元价格销售．
（1）求平均每次下调百分率；
（2）房产销售经理向开发商提议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理方案对购房者与否更优惠？为何？
【答案】（1）平均每次下调百分率为10%．（2）房产销售经理方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据运用一元二次方程处理增长率问题规定，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理方案对购房者更优惠．

5．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得

开平方，得
，或
解得

6．图1是李晨在一次课外活动中所做问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF斜边DE与△ABC斜边AC重叠在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点一直在AC边上(移动开始时点D与点A重叠)．
（1）请回答李晨问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD最大度数为 ；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD面积s取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质，求出AC长，即可得到AD长.
（2）①当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形判定和性质，含30度角直角三角形性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形性质把FC用x来表达，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD面积s表达为x函数，根据x取值范围来确定s取值范围.
试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，∴∠FCD最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD面积s取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形判定和性质；3.平行性质；4.含30度角直角三角形性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

7．从图象来看，该函数是一种分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数体现式，计算出y值，若与表格中水费相等，则知收取方案．

8．小王经营网店专门销售某种品牌一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元
【解析】
【分析】
表达出一件利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.
【详解】
设每天获得利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元．
【点睛】
本题考察了一元二次函数实际应用,中等难度,熟悉函数性质是解题关键.

9．如图，在中，，，，既有两点、分别从点和点B同步出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，速度分别为，，且当其中一点抵达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问与否存在这样，使得四边形面积等于？若存在，祈求出此时值；若不存在，请阐明理由．

【答案】假设不成立，四边形面积面积不能等于，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ、PB体现式，再列出方程，判断根状况.
【详解】
解：∵，，，
∴．
∴，；
假设存在值，使得四边形面积等于，
则，
整理得：，
∵，
∴假设不成立，四边形面积面积不能等于．
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握方程根鉴别措施、理解方程意义是本题解题关键.

10．已知有关x一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根个数，根据根鉴别式可求出a取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，代换求值即可得到a值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．

11．已知有关x方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试阐明：此方程总有两个实数根．
(2) 假如此方程两个实数根都为正整数，求整数m值.
【答案】(1)≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，运用非负数性质得到△≥0，然后根据鉴别式意义即可得到结论；
（2）运用公式法可求出x1=，x2=-1，然后运用整除性即可得到m值．
详解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是有关x一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根鉴别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△=0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察理解一元二次方程．

12．已知有关x一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①一种根，求m值和方程①另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①根状况，并阐明理由．
【答案】（1）方程另一根为x=2；(2)方程总有两个不等实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m值，然后解方程即可求得方程另一种根；
（2）运用一元二次方程根状况可以转化为鉴别式△与0关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等实数根．
考点：本题考察是根鉴别式，一元二次方程解定义，解一元二次方程
点评：解答本题关键是纯熟掌握一元二次方程根状况与鉴别式△关系：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△=0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根

13．“分块计数法”：对有规律图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”措施．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形提成完全相似6块，每块黑点个数相似（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；因此容易求出图10、图n中黑点个数分别是　 　、　 　．
请你参照以上“分块计数法”，先将下面点阵进行分块（画在答题卡上），再完毕如下问题：
（1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈．
（2）小圆圈个数会等于271吗？假如会，祈求出是第几种点阵．

【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈个数会等于271，它是第10个点阵．

点睛：本题是图形类规律题，采用“分块计数”措施处理问题，仔细观测图形，根据图形中圆圈个数恰当地分块是关键．

14．今年以来猪肉价格不停走高，引起了民众与区政府高度关注，当市场猪肉平均价格每 公斤达到一定单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据记录：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不停走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购置 5 公斤猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨进货价为年初排骨售价倍，按 11 月 10 日价格发售，平均一天能销售出 100 公斤，超市记录发现：若排骨售价每公斤下降 1 元，其日销售量就增长 20公斤，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元利润，为了尽量让顾客优惠应当将排骨 售价定位为每公斤多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价基础上下调 a%发售，A 超市按规定价发售一批储备排骨，该超市在非储备排骨价格不变状况下，该天两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增长了 a%，且储备排骨销量占总销量，两种排骨销售总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 值．
【答案】（1）售价为每公斤65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10售价和11月进货价，设每公斤降价x元，则每公斤利润为10-x元，日销量为100+20x 公斤，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽量让顾客优惠，对所得解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日售价为350÷5=70元/公斤
年初售价为：350÷5÷175％=40元/公斤，
11月进货价为： 元/公斤
设每公斤降价x元，则每公斤利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 公斤
则，
解得，
由于为了尽量让顾客优惠，因此降价5元，则售价为每公斤65元.
（2）根据题意可得
解得,(舍去)
因此a=35.
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，（1）中理清销售量伴随单价变化而变化数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a值.

15．阅读材料：各类方程解法
求解一元一次方程，根据等式基本性质，把方程转化为x=a形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程解法不尽相似，不过它们有一种共同基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”数学思想，我们还可以解某些新方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程解。
（1）问题：方程解是，_____，_____。
（2）拓展：用“转化”思想求方程解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD长，宽，小华把一根长为10m绳子一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD、DC走到点C处，把长绳剩余一段拉直，长绳另一端恰好落在点C。求AP长。

【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程具有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.
【详解】
（1）x3-x2-2x=0，
x（x2-x-2）=0，
x（x-2）（x+1）=0
因此x=0或x-2=0或x+1=0
∴x1=0，x2=2，x3=-1；
故答案为： 2，-1；
（2）
方程两边平方，得4x-3=x2
即x2-4x+3=0
（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0或x-1=0
∴x1=3，x2=1，
当x=3或1时,故意义，故是方程解.
（3）由于四边形ABCD是矩形，
因此∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,
设AP=xm，则PD=（6-x）m
由于BP+CP=10，BP=,CP= ,
因此=10-
两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16
整理，得3x+16=5,
两边平方并整理，得x2-6x+9=0
即（x-3）2=0
因此x=3．
经检查，x=3是方程解．
答：AP长为3m．
【点睛】
考察了转化思想措施，一元二次方程解法．解无理方程是注意到验根．处理（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．