2025年中考数学一元二次方程组培优易错难题练习含答案含详细答案.doc

-中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案

一、一元二次方程
1．使得函数值为零自变量值称为函数零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数零点为和．
（2）见解析,
（3）AM解析式为．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出函数零点定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B有关直线y=x-10对称点B′，连接AB′，求出点B′坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM函数解析式
【详解】
（1）当=0时，该函数零点为和．

（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得．
∴函数解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B有关直线对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线交点就是满足条件M点．
易求得直线与x轴、y轴交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’解析式为，则
，解得
∴直线AB’解析式为，
即AM解析式为．

2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．
【答案】x1=1+，x2=1﹣
【解析】
试题分析：根据方程特点，先化为一般式，然后运用配措施求解即可.
试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，
解得：x1=1+，x2=1﹣．

3．解方程：．
【答案】x=或x=1
【解析】
【分析】
设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴或．
解得x=或x=1．
经检查：x=或x=1都是原方程解．
∴原方程解是x=或x=1．
【点睛】
考察了还原法解分式方程，用换元法解某些复杂分式方程是比较简单一种措施，根据方程特点设出对应未知数，解方程可以使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

4．图1是李晨在一次课外活动中所做问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF斜边DE与△ABC斜边AC重叠在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点一直在AC边上(移动开始时点D与点A重叠)．
（1）请回答李晨问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD最大度数为 ；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD面积s取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质，求出AC长，即可得到AD长.
（2）①当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形判定和性质，含30度角直角三角形性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形性质把FC用x来表达，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD面积s表达为x函数，根据x取值范围来确定s取值范围.
试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，∴∠FCD最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD面积s取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形判定和性质；3.平行性质；4.含30度角直角三角形性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

5．小王经营网店专门销售某种品牌一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元
【解析】
【分析】
表达出一件利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.
【详解】
设每天获得利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得利润最大，利润最大值为4000元．
【点睛】
本题考察了一元二次函数实际应用,中等难度,熟悉函数性质是解题关键.

6．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

7．有关x一元二次方程有两个不等实根，.
（1）求实数k取值范围；
（2）若方程两实根，满足，求k值.
【答案】(1) k＜;(2) k=0.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根鉴别式得出△＞0，求出不等式解集即可；
（2）根据根与系数关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．
【详解】
解：（1）∵有关x一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，
∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，
解得：k＜，
即实数k取值范围是k＜；
（2）由根与系数关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，
∵x1+x2+x1x2-1=0，
∴1-2k+k2-1=0，
∴k2-2k=0
∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根，
∴k=2不合题意，舍去，
∴k=0．
【点睛】
本题考察理解一元二次方程根鉴别式和根与系数关系等知识点，能熟记根鉴别式和根与系数关系内容是解此题关键，注意用根与系数关系解题时要考虑根鉴别式，以防错解．

8．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块构成长方体中，长方体个数是多少？
（探究）

探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2==3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为3×1×1=3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+3==6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为______．
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2==3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为×3×1=．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3==6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为______．
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．

探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2==3条线段，则图中长方体个数为××3=．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3==6条线段，则图中长方体个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（拓展）
假如在若干个小立方块构成正方体中共有1000个长方体，那么构成这个正方体小立方块个数是多少？请通过计算阐明你结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】： 180；【拓展】：构成这个正方体小立方块个数是64，见解析.
【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出成果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出成果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×1×1= ，
故答案为 ；
探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ××1=，
故答案为；
探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体个数为 ××6=，
故答案为；
(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，
则图中长方体个数为××=，
故答案为；
(应用)由(结论)知，，
∴在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体每条棱上均有x个小立方体，即a=b=c=x，
由题意得
=1000，
∴[x（x+1）]3=203，
∴x（x+1）=20，
∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）
∴4×4×4=64
因此构成这个正方体小立方块个数是64．
【点睛】
解此题关键在于根据已知得出规律，题目很好，但有一定难度，是一道比较容易出错题目．

9．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反应:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期销售量为y箱．
（1）求y与x之间函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期销售利润达到3570元？
（3）当每箱售价为多少元时，每星期销售利润最大，最大利润多少元?
【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元
【解析】
【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售数量为60-x,
（2）解一元二次方程即可求解,
（3）表达出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),
(2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570,
解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期销售利润达到3570元.
（3）设每星期利润为w，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,
∵-100,二次函数向下,函数有最大值,
当x=59时, 利润最大，为3610元.
【点睛】
本题考察了二次函数实际应用,中等难度,熟悉二次函数实际应用是解题关键.

10．有关x一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，运用根鉴别式判断方程根状况；
（2）若方程有两个相等实数根，写出一组满足条件a，b值，并求此时方程根．
【答案】（1）方程有两个不相等实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根鉴别式，判断其范围，即可判断方程根状况.
（2）方程有两个相等实数根，则，写出一组满足条件，值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考察一元二次方程根鉴别式，
当时，方程有两个不相等实数根.
当时，方程有两个相等实数根.
当时，方程没有实数根.

11．淘宝网举行“双十一”购物活动许多商家都会运用这个契机进行打折让利促销活动．甲网店销售A商品成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当日，甲网店持续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有某些淘宝商家在“双十一”购物活动当日先提高商品网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当日，乙网店先将A商品网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当日卖出A商品数量相比本来一周增长了2a%，“双十一”活动当日乙网店利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品售价为39.2元，根据原标价及通过两次降价后价格，即可得出有关x一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出a值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价为100元．
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，找准等量关系，对列出一元二次方程是解题关键．

12．已知有关x一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等实数根．
（1）求k取值范围；
（2）设方程①两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22值．
【答案】（1）k>–；（2）7
【解析】
【分析】
（1）由方程根鉴别式可得到有关k不等式，则可求得k取值范围；
（2）由根与系数关系，可求x1+x2=-3，x1x2=1，代入求值即可．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等实数根，
∴，即，解得；
（2）当时，方程为，
∵，，
∴.
【点睛】
本题重要考察根鉴别式及根与系数关系，纯熟掌握根鉴别式与根个数之间关系是解题关键．

13．已知：有关x一元二次方程.
（1）若此方程有两个实数根，求没最小整数值；
（2）若此方程两个实数根为，，且满足，求值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）运用根鉴别式意义得到△≥0，然后解不等式得到m范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）运用根与系数关系得到，，然后解有关m一元二次方程，即可确定m值．
【详解】
解：（1）∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
∴m最小整数值为：；
（2）由根与系数关系得：，，
由得：

∴，
解得：或；
∵，
∴.
【点睛】
本题考察了根与系数关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根时，则，．也考察了根鉴别式．解题关键是纯熟掌握根与系数关系和根鉴别式.

14．今年以来猪肉价格不停走高，引起了民众与区政府高度关注，当市场猪肉平均价格每 公斤达到一定单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据记录：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不停走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购置 5 公斤猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨进货价为年初排骨售价倍，按 11 月 10 日价格发售，平均一天能销售出 100 公斤，超市记录发现：若排骨售价每公斤下降 1 元，其日销售量就增长 20公斤，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元利润，为了尽量让顾客优惠应当将排骨 售价定位为每公斤多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价基础上下调 a%发售，A 超市按规定价发售一批储备排骨，该超市在非储备排骨价格不变状况下，该天两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增长了 a%，且储备排骨销量占总销量，两种排骨销售总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 值．
【答案】（1）售价为每公斤65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10售价和11月进货价，设每公斤降价x元，则每公斤利润为10-x元，日销量为100+20x 公斤，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽量让顾客优惠，对所得解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日售价为350÷5=70元/公斤
年初售价为：350÷5÷175％=40元/公斤，
11月进货价为： 元/公斤
设每公斤降价x元，则每公斤利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 公斤
则，
解得，
由于为了尽量让顾客优惠，因此降价5元，则售价为每公斤65元.
（2）根据题意可得
解得,(舍去)
因此a=35.
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，（1）中理清销售量伴随单价变化而变化数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a值.

15．阅读材料：各类方程解法
求解一元一次方程，根据等式基本性质，把方程转化为x=a形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程解法不尽相似，不过它们有一种共同基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”数学思想，我们还可以解某些新方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程解。
（1）问题：方程解是，_____，_____。
（2）拓展：用“转化”思想求方程解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD长，宽，小华把一根长为10m绳子一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD、DC走到点C处，把长绳剩余一段拉直，长绳另一端恰好落在点C。求AP长。

【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程具有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.
【详解】
（1）x3-x2-2x=0，
x（x2-x-2）=0，
x（x-2）（x+1）=0
因此x=0或x-2=0或x+1=0
∴x1=0，x2=2，x3=-1；
故答案为： 2，-1；
（2）
方程两边平方，得4x-3=x2
即x2-4x+3=0
（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0或x-1=0
∴x1=3，x2=1，
当x=3或1时,故意义，故是方程解.
（3）由于四边形ABCD是矩形，
因此∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,
设AP=xm，则PD=（6-x）m
由于BP+CP=10，BP=,CP= ,
因此=10-
两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16
整理，得3x+16=5,
两边平方并整理，得x2-6x+9=0
即（x-3）2=0
因此x=3．
经检查，x=3是方程解．
答：AP长为3m．
【点睛】
考察了转化思想措施，一元二次方程解法．解无理方程是注意到验根．处理（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．