九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题含答案.doc

九年级数学一元二次方程组专题培优练习题(含答案)

一、一元二次方程
1．使得函数值为零自变量值称为函数零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数零点为和．
（2）见解析,
（3）AM解析式为．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出函数零点定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B有关直线y=x-10对称点B′，连接AB′，求出点B′坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM函数解析式
【详解】
（1）当=0时，该函数零点为和．

（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得．
∴函数解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B有关直线对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线交点就是满足条件M点．
易求得直线与x轴、y轴交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’解析式为，则
，解得
∴直线AB’解析式为，
即AM解析式为．

2．李明准备进行如下操作试验，把一根长40 cm铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一种正方形．
(1)要使这两个正方形面积之和等于58 cm2，李明应当怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形面积之和不也许等于48 cm2，你认为他说法对吗？请阐明理由．
【答案】 (1) 李明应当把铁丝剪成12 cm和28 cm两段；(2) 李明说法对，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成较短这段为xcm，较长这段就为（40﹣x）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成较短这段为mcm，较长这段就为（40﹣m）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于48cm2建立方程，假如方程有解就阐明李明说法错误，否则对．
试题解析：设其中一段长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不也许使得两正方形面积之和为48cm2，李明说法对．
考点：1．一元二次方程应用；2．几何图形问题．

3．已知有关方程和，与否存在这样值，使第一种方程两个实数根差平方等于第二个方程一整数根？若存在，祈求出这样值；若不存在，请阐明理由？
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程根与系数关系，用含n式子表达出两个实数根差平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n值要使方程②根是整数.
【详解】
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，因此(x1-x2)2=4n2+3n+2，
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，
综上所述，n=0.

4．已知x1、x2是有关x﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0两个实数根．
（1）求a取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程定义及一元二次方程解与鉴别式之间关系解答即可；（2）根据根与系数关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得是正整数．根据a是整数，即可求得a值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是有关x一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6值为1、2、3或6，
∴a值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考察了根鉴别式和根与系数关系，能根据根鉴别式和根与系数关系得出有关a不等式是解此题关键．

5．图1是李晨在一次课外活动中所做问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF斜边DE与△ABC斜边AC重叠在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点一直在AC边上(移动开始时点D与点A重叠)．
（1）请回答李晨问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD最大度数为 ；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD面积s取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质，求出AC长，即可得到AD长.
（2）①当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形判定和性质，含30度角直角三角形性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形性质把FC用x来表达，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD面积s表达为x函数，根据x取值范围来确定s取值范围.
试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重叠时，∠FCD角度最大，∴∠FCD最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC长度为三边长三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD面积s取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形判定和性质；3.平行性质；4.含30度角直角三角形性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

6．已知有关x一元二次方程（m为常数）
（1）求证：不管m为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程有一种根是2，求m值及方程另一种根．
【答案】(1)见解析；
(2) 即m值为0，方程另一种根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根鉴别式，计算鉴别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不管m为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）设方程另一种根为t，运用根与系数关系得到2+t= ,2t=m,最终解出有关t和m方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
因此无论m为何值，方程总有两个不相等实数根.
(2)设方程另一种根为t，

根据题意得2+t= ,2t=m，
解得t=0，
因此m=0，
即m值为0，方程另一种根为0.
【点睛】
本题考察根鉴别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根鉴别式进行判断，在判断过程中注意对△分析，在分析时可借助平方非负性；问题（2）可先设另一种根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

7．已知两条线段长分别是一元二次方程两根，
（1）解方程求两条线段长。
（2）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形面积。
（3）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形面积。
【答案】（1）2和6；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最终求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得，
即：或，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上高为：
∴此等腰三角形面积为=．
（3）设分为及两段

∴，
∴，
∴面积为.
【点睛】
本题考察了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考察知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题关键.

8．如图，在中，，，，既有两点、分别从点和点B同步出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，速度分别为，，且当其中一点抵达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问与否存在这样，使得四边形面积等于？若存在，祈求出此时值；若不存在，请阐明理由．

【答案】假设不成立，四边形面积面积不能等于，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ、PB体现式，再列出方程，判断根状况.
【详解】
解：∵，，，
∴．
∴，；
假设存在值，使得四边形面积等于，
则，
整理得：，
∵，
∴假设不成立，四边形面积面积不能等于．
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握方程根鉴别措施、理解方程意义是本题解题关键.

9．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

10．有关x一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等实数根．
(1)求n取值范围；
(2)若n为取值范围内最小整数，求此方程根．
【答案】(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等实数根可知 ，即可求出 取值范围；
（2）根据题意得出 值，将其代入方程，即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知，
解之得：；
(2)∵ 且为取值范围内最小整数，
∴，
则方程为，
即，
解得．
【点睛】
本题重要考察了一元二次方程根鉴别式，明确和掌握一元二次方程 根与关系（①当 时，方程有两个不相等实数根；②当 时方程有两个相等实数根；③当 时，方程无实数根）是解题关键.

11．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m篱笆和这面墙围成一种矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2矩形花圃吗？若能，请举例阐明；若不能，请阐明理由．
（2）若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积能达到170m2吗？请阐明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB长度为x米，则BC长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB长度为y米，则BC长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB长度为x米，则BC长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB长度为y米，则BC长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增长4m，围成矩形花圃面积不能达到170m2．

12．已知有关x一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边长．
（1）假如x=﹣1是方程根，试判断△ABC形状，并阐明理由；
（2）假如方程有两个相等实数根，试判断△ABC形状，并阐明理由；
（3）假如△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程根．
【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出有关a，b等式，进而得出a=b，即可判断△ABC形状；
（2）运用根鉴别式进而得出有关a，b，c等式，进而判断△ABC形状；
（3）运用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点：一元二次方程应用．

13．若两个一次函数图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为　 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝　 ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0两根，求它们“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a值；
（2）根据“x牵手函数”定义得到a+b=0，根据根与系数关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种状况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
因此x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
因此0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1“x牵手点”为；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1“x牵手点”为（，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为或（，0）
【点睛】
本题考察了根与系数关系、一次函数性质和一次函数图象上点坐标特征运用．

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s速度移动，两点同步出发．
(1)问几秒后，△PBQ面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ长为4cm ?
(3)△PBQ面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请阐明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q通过t秒，使△PBQ面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出体现式，解答出即可；
（2）设通过x秒后线段PQ长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，运用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ面积表达出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q通过t秒时，△PBQ面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q通过2或4秒时，△PBQ面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故通过秒或2秒后，线段PQ长为4 cm；
(3)设通过y秒，△PBQ面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握一元二次方程应用是本题解题关键.

15．如图，一艘轮船以30km/h速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h速度由东向西移动，距台风中心200km圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线近来距离AB=300km．
（1）假如这艘船不变化航向，那么它会不会进入台风影响区？
（2）假如你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，通过多长时间它就会进入台风影响区？
（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响时间为多少小时？

【答案】（1）假如这艘船不变化航向，那么它会进入台风影响区．（2）通过15﹣h就会进入台风影响区；（3）2小时．
【解析】
【分析】
（1）作出肯定回答：这艘轮船不变化航向，那么它能进入台风影响区．
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而运用勾股定理得出等式求出即可．
（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响两个时间节点相减，即能得出受影响时间长.
【详解】
解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，

当B′C′=200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=，
整理得到：t2﹣30t+210=0，
解得t=15±，
由此可知，假如这艘船不变化航向，那么它会进入台风影响区．
（2）由（1）可知通过(15﹣)h就会进入台风影响区；
（3）由（1）可知受到台风影响时间为:15+﹣（15﹣）=2 h．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程应用以及勾股定理等知识，根据题意得出有关x等式是解题关键．