2025年大学数学与应用数学（数学分析基础）试题及答案.doc

2025年大学数学与应用数学（数学分析基础）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
（总共6题，每题5分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母填在括号内）
w1. 函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x = 1$处（ ）
A. 有定义且极限存在 B. 无定义但极限存在 C. 有定义但极限不存在 D. 无定义且极限不存在
w2. 设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$等于（ ）
A. $f^\prime(x_0)$ B. $2f^\prime(x_0)$ C. $0$ D. $f^\prime(2x_0)$
w3. 若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，且$f^\prime(x) > 0$，则$f(x)$在$(a,b)$内（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
w4. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$的拐点是（ ）
A. $(0,1)$ B. $(1, -1)$ C. $(2, -3)$ D. $(3,1)$
w5. 定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$的值为（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $1$ D. $2$
w6. 下列级数中，收敛的是（ ）
A. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ B. $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ C. $\sum_{n = 1}^{\infty} n$ D. $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^n$

第II卷（非选择题 共70分）
w7. （10分）求函数$y = \ln(1 + x^2)$的导数。
w8. （15分）求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$的单调区间和极值。
w9. （15分）计算定积分$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$。
w10. （15分）判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$的敛散性。
w11. （15分）已知函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a) = f(b)$。证明：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi) = 0$。

答案：
w1. B
w2. B
w3. A
w4. B
w5. A
w6. B
w7. $y^\prime=\frac{2x}{1 + x^2}$
w8. 单调递增区间$(-\infty, -1)$和$(3, +\infty)$，单调递减区间$(-1,3)$；极大值$f(-1)=10$，极小值$f(3)= -22$
w9. $\pi$
w10. 收敛
w11. 证明：因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，由罗尔定理可知，在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi) = 0$。