数学模型姜启源.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,数 学 模 型,主讲,|,敬成林,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,课 程 名 称,学 时,36,数学模型与数学建模,Mathematical Modeling,学 分,3,课程类别,专业选修课,先 修 课 程,微积分、线性代数、概率论与数理统计,课 程 简 介,本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。,教 材 及 参 考 书 目,数学模型,，姜启源主编，高等教育出版社,课 程 简 介,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,数学模型,数学模型,姜启源 主编,第一章 建立数学模型,第二章,初等模型,第三章,简单的优化模型,第四章,数学规划模型,第五章,微分方程模型,第六章,稳定性模型,第七章,差分方程模型,第八章,离散模型,第九章,概率模型,第十章,统计回归模型,附录,:,数学建模实验,.,周次,节次,教学内容,课时,作业,执行情况,1,五,5,6,1.1-1.5,数学模型的介绍,1.6,数学模型的基本方法步骤、特点和分类,2,2,五,5,6,2.1,公平的席位分配,(,讨论课,),2.2,录像机计数器的用途,2.3,双层玻璃的功效,2,3,五,5,6,2.7,实物交换,3.2,生猪的出售时机,2,4,五,5,6,3.3,森林救火,(,讨论课,),3.4,最优价格,2,5,五,5,6,3.6,消费者的选择,4.3,汽车生产与原油采购,2,6,五,5,6,4.5,饮料厂的生产与检修,5.1,传染病模型,(,讨论课,),2,7,五,5,6,5.2,经济增长模型,5.6,人口的预测和控制,2,8,五,5,6,6.1,捕鱼业的持续收获,6.2,军备竞赛,(,讨论课,),2,教 学 进 度,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,9,五,5,6,6.4,种群的相互依存,7.1,市场经济中的蛛网模型,2,10,五,5,6,7.2,减肥计划,-,节食与运动,8.3,层次分析模型,2,12,五,5,6,8.4,效益的合理分配,9.2,报童的诀窍,(,讨论课,),2,13,五,5,6,9.5,随机人口模型,9.6,航空公司的预定票策略,2,14,五,5,6,10.1,牙膏的销售量,2,评估周,15,五,5,6,Mtlab,Mathematcia,数学软件学习,(,上机,),2,16,五,5,6,数学建模实验,(,上机,),2,17,五,5,6,数学建模实验,(,上机,),2,18,考试,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,数学模型,数学模型,姜启源 主编,第,一,章 建立数学模型,1.1,从现实对象到数学模型,1.2,数学建模的重要意义,1.3,数学建模示例,1.4,数学建模的方法和步骤,1.5,数学模型的特点和分类,1.6,怎样学习数学建模,.,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分,进行简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,你碰到过的数学模型,“,航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米,/,小时,.,甲乙两地相距,750,千米，船从甲到乙顺水航行需,30,小时，,从乙到甲逆水航行需,50,小时，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,航行问题,建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（,x,y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5,）；,回答原问题（船速每小时,20,千米,/,小时）。,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模（,Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,1.2,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,1.3,数学建模示例,1.3.1,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常,三只脚着地,放稳,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,),g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数,;,对任意,，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0,，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,第一章 建立数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子,旋转90,0,，对角线,AC,和,BD,互换。,由,g,(,0,)=0,，,f,(,0,)0,，知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,和,h,(,/2,),p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,第二章 初等模型,数学模型,姜启源 主编,.,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽量小,设,A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给,A,还是,B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对,A,不公平,对,A,的,相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“,公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,第二章 初等模型,数学模型,姜启源 主编,.,1,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给,A,2,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1),，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给,B,第二章 初等模型,数学模型,姜启源 主编,.,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,)640,g,=0.1,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,敏感性分析,研究,r,g,变化时对模型结果的影响,估计,r,=2,，,g,=0.1,设,g,=0.1,不变,t,对,r,的（相对）敏感度,生猪每天体重增加量,r,增加,1%,，出售时间推迟,3%,。,r,t,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,敏感性分析,估计,r,=2,，,g,=0.1,研究,r,g,变化时对模型结果的影响,设,r,=2,不变,t,对,g,的（相对）敏感度,生猪价格每天的降低量,g,增加,1%,，出售时间提前,3%,。,g,t,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,强健性分析,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,由,S,(,t,r,)=3,建议过一周后,(,t,=7),重新估计,再作计算。,研究,r,g,不是常数时对模型结果的影响,w,=80+,rt,w,=,w,(,t,),p,=8-,gt,p,=,p,(,t,),若,(10%),则 （,30%,）,每天利润的增值,每天投入的资金,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,3.3,森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小。,综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数,x,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,).,损失费,f,1,(,x,),是,x,的减函数,由烧毁面积,B,(,t,2,),决定,.,救援费,f,2,(,x,),是,x,的增函数,由队员人数和救火时间决定,.,存在恰当的,x,，使,f,1,(,x,),f,2,(,x,),之和最小,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,关键是对,B,(,t,),作出合理的简化假设,.,问题分析,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,画出时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,),的大致图形,t,1,t,2,0,t,B,B,(,t,2,),分析,B,(,t,),比较困难,转而讨论森林烧毁速度,dB/dt,.,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型假设,3,）,f,1,(,x,),与,B,(,t,2,),成正比，系数,c,1,(,烧毁单位面积损失费）,1,）,0,t,t,1,dB/dt,与,t,成正比，系数,(,火势蔓延速度）,2,）,t,1,t,t,2,降为,-x,(,为队员的平均灭火,速度）,4,）每个,队员的单位时间灭火费用,c,2,一次性费用,c,3,假设,1,）的解释,r,B,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比,面积,B,与,t,2,成正比，,dB/dt,与,t,成正比,.,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型建立,b,0,t,1,t,t,2,假设,1,）,目标函数,总费用,假设,3,）,4,）,假设,2,）,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型建立,目标函数,总费用,模型求解,求,x,使,C,(,x,),最小,结果解释,/,是火势不继续蔓延的最少队员数,b,0,t,1,t,2,t,其中,c,1,c,2,c,3,t,1,为已知参数,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型应用,c,1,c,2,c,3,已知,t,1,可估计,c,2,x,c,1,t,1,x,c,3,x,结果解释,c,1,烧毁单位面积损失费,c,2,每个,队员单位时间灭火费,c,3,每个,队员一次性费用,t,1,开始救火时刻,火,势蔓延速度,每个,队员平均灭火,速度,.,为什么,?,可,设置一系列数值,由模型决定队员数量,x,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,3.4,最优价格,问题,根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大,假设,1,）产量等于销量，记作,x,2,）收入与销量,x,成正比，系数,p,即价格,3,）支出与产量,x,成正比，系数,q,即成本,4,）销量,x,依赖于价格,p,x,(,p,),是减函数,建模与求解,收入,支出,利润,进一步设,求,p,使,U,(,p,),最大,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,使利润,U,(,p,),最大的最优价格,p,*,满足,最大利润在边际收入等于边际支出时达到,建模与求解,边际收入,边际支出,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,结果解释,q/,2,成本的一半,b,价格上升,1,单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）,a,绝对需求,(,p,很小时的需求,),b,p,*,a,p,*,思考：如何得到参数,a,b,?,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,q,2,U,(,q,1,q,2,)=,c,q,1,0,3.6,消费者均衡,问题,消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。,设甲乙数量为,q,1,q,2,消费者的无差别曲线族,(,单调减、下凸、不相交），记作,U,(,q,1,q,2,)=,c,U,(,q,1,q,2,),效用函数,已知甲乙价格,p,1,p,2,有钱,s,，试分配,s,购买甲乙数量,q,1,q,2,使,U,(,q,1,q,2,),最大,.,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,s,/,p,2,s/,p,1,q,2,U,(,q,1,q,2,)=,c,q,1,0,模型及,求解,已知价格,p,1,p,2,钱,s,求,q,1,q,2,或,p,1,q,1,/,p,2,q,2,使,U,(,q,1,q,2,),最大,几何解释,直线,MN:,最优解,Q,:,MN,与,l,2,切点,斜率,M,Q,N,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,结果解释,边际效用,消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。,效用函数,U,(,q,1,q,2,),应满足的条件,A.,U,(,q,1,q,2,)=,c,所确定的函数,q,2,=,q,2,(,q,1,),单调减、下凸,解释,B,的实际意义,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,效用函数,U,(,q,1,q,2,),几种常用,的形式,消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。,U,(,q,1,q,2,),中参数,分别表示消费者对甲乙,两种商品的偏爱程度。,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,购买两种商品费用之比与二者价格无关。,U,(,q,1,q,2,),中参数,分别表示对甲乙,的偏爱程度。,思考：如何推广到,m,(2),种商品的情况,效用函数,U,(,q,1,q,2,),几种常用,的形式,第三章 简单的优化模型,数学模型,姜启源 主编,.,第四章,数学规划模型,4.3,汽车生产与原油采购,4.5,饮料厂的生产与检修,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,数学规划模型,实际问题中,的优化模型,x,决策变量,f,(,x,),目标函数,g,i,(,x,),0,约束条件,多元函数条件极值,决策变量个数,n,和,约束条件个数,m,较大,最优解在可行域,的边界上取得,数学规划,线性规划,非线性规划,整数规划,重点在模型的建立和结果的分析,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,如果生产某一类型汽车，则至少要生产,80,辆，那么最优的生产计划应作何改变？,例,1,汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。,小型 中型 大型 现有量,钢材（吨）,1.5 3 5 600,劳动时间（小时）,280 250 400 60000,利润（万元）,2 3 4,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,4.3,汽车生产与原油采购,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为,x,1,x,2,x,3,汽车厂生产计划,模型建立,小型 中型 大型 现有量,钢材,1.5 3 5 600,时间,280 250 400 60000,利润,2 3 4,线性规划模型,(LP),第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型求解,3,）模型中增加条件：,x,1,x,2,x,3,均为整数，重新求解。,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)632.2581,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 64.516129,0.000000,X2 167.741928,0.000000,X3 0.000000 0.946237,ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES,2)0.000000 0.731183,3)0.000000 0.003226,结果为小数，怎么办？,1,）舍去小数：取,x,1,=64,，,x,2,=167,，算出目标函数值,z,=629,，与,LP,最优值,632.2581,相差不大。,2,）试探：如取,x,1,=65,，,x,2,=167,；,x,1,=64,，,x,2,=168,等，计算函数值,z,，通过比较可能得到更优的解。,但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,IP,可用,LINDO,直接求解,整数规划,(,Integer Programming,简记,IP,),“gin 3”,表示,“,前,3,个变量为整数,”,，等价于：,gin x1,gin x2,gin x3,IP,的最优解,x,1,=64,，,x,2,=168,，,x,3,=0,，最优值,z,=632,max 2x1+3x2+4x3,st,1.5x1+3x2+5x3600,280 x1+250 x2+400 x360000,end,gin 3,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)632.0000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 64.000000 -2.000000,X2 168.000000 -3.000000,X3 0.000000 -4.000000,模型求解,IP,结果输出,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,其中,3,个,子模型应,去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法,1,：分解为,8,个,LP,子模型,汽车厂生产计划,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,x,2,x,3,=0,或,80,x,1,=80,，,x,2,=150,，,x,3,=0,，最优值,z,=610,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,LINDO,中对,0-1,变量的限定：,int y1,int y2,int y3,方法,2,：,引入,0-1,变量，化为整数规划,M,为大的正数，可取,1000,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)610.0000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,X1 80.000000,-2.000000,X2 150.000000,-3.000000,X3 0.000000,-4.000000,Y1 1.000000 0.000000,Y2 1.000000 0.000000,Y3 0.000000 0.000000,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,=0,或,80,x,2,=0,或,80,x,3,=0,或,80,最优解同前,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,NLP,虽然可用现成的数学软件求解,(,如,LINGO,MATLAB,),，但是其结果常依赖于初值的选择。,方法,3,：,化为非线性规划,非线性规划（,Non-Linear Programming,，简记,NLP,）,实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。,若生产某类汽车，则至少生产,80,辆，求生产计划。,x,1,=0,或,80,x,2,=0,或,80,x,3,=0,或,80,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,应如何安排原油的采购和加工,？,例,2,原油采购与加工,市场上可买到不超过,1500,吨的原油,A,：,购买量不超过,500,吨时的单价为,10000,元,/,吨；,购买量超过,500,吨但不超过,1000,吨时，超过,500,吨的 部分,8000,元,/,吨；,购买量超过,1000,吨时，超过,1000,吨的部分,6000,元,/,吨。,售价,4800,元,/,吨,售价,5600,元,/,吨,库存,500,吨,库存,1000,吨,汽油甲,(A,50%),原油,A,原油,B,汽油乙,(A,60%),第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,决策变量,目标函数,问题分析,利润：销售汽油的收入,-,购买原油,A,的支出,难点：原油,A,的购价与购买量的关系较复杂,甲,(A,50%),A,B,乙,(A,60%),购买,x,x,11,x,12,x,21,x,22,4.8,千元,/,吨,5.6,千元,/,吨,原油,A,的购买量,原油,A,B,生产,汽油,甲,乙的数量,c,(,x,),购买原油,A,的支出,利润,(,千元,),c,(,x,),如何表述？,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,原油供应,约束条件,x,500,吨单价为,10,千,元,/,吨；,500,吨,x,1000,吨，超过,500,吨的,8,千,元,/,吨；,1000,吨,x,1500,吨，超过,1000,吨的,6,千,元,/,吨。,目标函数,购买,x,A,B,x,11,x,12,x,21,x,22,库存,500,吨,库存,1000,吨,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,目标函数中,c,(,x,),不是线性函数，是非线性规划；,对于用分段函数定义的,c,(,x,),，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；,想办法将模型化简，用现成的软件求解。,汽油含原油,A,的比例限制,约束条件,甲,(A,50%),A,B,乙,(A,60%),x,11,x,12,x,21,x,22,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,x,1,x,2,x,3,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,的吨数,目标函数,只有当以,10,千元,/,吨的价格购买,x,1,=500,(,吨,),时，才能以,8,千元,/,吨的价格购买,x,2,方法,1,非线性规划模型,，可以用,LINGO,求解,模型求解,x,=,x,1,+x,2,+x,3,c,(,x,)=10,x,1,+8,x,2,+6,x,3,500,吨,x,1000,吨，超过,500,吨的,8,千,元,/,吨,增加约束,x,=,x,1,+x,2,+x,3,c,(,x,)=10,x,1,+8,x,2,+6,x,3,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,方法,1,：,LINGO,求解,Model:,Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;,x11+x12 x+500;,x21+x22 0;,2*x12-3*x22 0;,x=x1+x2+x3;,(x1-500)*x2=0;,(x2-500)*x3=0;,x1 500;,x2 500;,x3 0;,x11 0;,x12 0;,x21 0;,x22 0;,x1 0;,x2 0;,x3 0;,end,Objective value:4800.000,Variable Value Reduced Cost,X11 500.0000,0.0000000E+00,X21 500.0000,0.0000000E+00,X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00,X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00,X1 0.1021405E-13 10.00000,X2 0.0000000E+00 8.000000,X3 0.0000000E+00 6.000000,X 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO,得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？,用库存的,500,吨原油,A,、,500,吨原油,B,生产汽油甲，不购买新的原油,A,，利润为,4,800,千,元。,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,y,1,y,2,y,3,=1,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,增加约束,方法,2,0-1,线性规划模型,，可用,LINDO,求解,y,1,y,2,y,3,=0,或,1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE,1)5000.000,VARIABLE VALUE REDUCED COST,Y1 1.000000 0.000000,Y2 1.000000 2200.000000,Y3 1.000000 1200.000000,X11 0.000000 0.800000,X21 0.000000 0.800000,X12 1500.000000 0.000000,X22 1000.000000 0.000000,X1,500.000000,0.000000,X2,500.000000,0.000000,X3 0.000000 0.400000,X,1000.000000,0.000000,购买,1000,吨原油,A,，与库存的,500,吨原油,A,和,1000,吨原油,B,一起，生产汽油乙，利润为,5,000,千元,。,x,1,x,2,x,3,以价格,10,8,6(,千元,/,吨,),采购,A,的吨数,y,=0,x,=0,x,0,y,=1,优于方法,1,的结果,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,b,1,b,2,b,3,b,4,方法,3,b,1,x,b,2,，,x,=,z,1,b,1,+,z,2,b,2,，,z,1,+,z,2,=1,，,z,1,z,2,0,c,(,x,)=,z,1,c,(,b,1,)+,z,2,c,(,b,2,).,c,(,x,),x,12000,9000,5000,0,500,1000,1500,b,2,x,b,3,，,x,=,z,2,b,2,+,z,3,b,3,，,z,2,+,z,3,=1,，,z,2,z,3,0,c,(,x,)=,z,2,c,(,b,2,)+,z,3,c,(,b,3,).,b,3,x,b,4,，,x,=,z,3,b,3,+,z,4,b,4,，,z,3,+,z,4,=1,，,z,3,z,4,0,c,(,x,)=,z,3,c,(,b,3,)+,z,4,c,(,b,4,).,直接处理处理分段线性函数,c,(,x,),第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,IP,模型，,LINDO,求解，得到的结果与方法,2,相同,.,处理分段线性函数，方法,3,更具一般性,b,k,x,b,k,+1,y,k,=1,否则,y,k,=0,方法,3,b,k,x,b,k,+1,x,=,z,k,b,k,+,z,k,+1,b,k,+1,z,k,+,z,k,+1,=1,，,z,k,z,k,+1,0,c,(,x,)=,z,k,c,(,b,k,)+,z,k,+1,c,(,b,k,+1,).,c,(,x,),x,12000,9000,5000,0,500,1000,1500,b,1,b,2,b,3,b,4,对于,k,=1,2,3,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,4.5,饮料厂的生产与检修,单阶段生产计划,多阶段生产计划,生产批量问题,企业生产计划,考虑与产量无关的固定费用,给优化模型求解带来新的困难,外部需求和内部资源随时间变化,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,安排生产计划,满足每周的需求,使,4,周总费用最小。,存贮费,:,每周每千箱饮料,0.2,千元。,例,1,饮料厂的生产与检修计划,在,4,周内安排一次设备检修，占用当周,15,千箱生产能力，能使检修后每周增产,5,千箱，检修应排在哪一周,?,周次,需求量,(,千箱,),生产能力,(,千箱,),成本,(,千元,/,千箱,),1,15,30,5.0,2,25,40,5.1,3,35,45,5.4,4,25,20,5.5,合计,100,135,某种饮料,4,周的需求量、生产能力和成本,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,问题分析,除第,4,周外每周的生产能力超过每周的需求；,生产成本逐周上升；,前几周应多生产一些。,周次,需求,能力,1,15,30,2,25,40,3,35,45,4,25,20,合计,100,135,成本,5.0,5.1,5.4,5.5,饮料厂在第,1,周开始时没有库存；,从费用最小考虑,第,4,周末不能有库存；,周末有库存时需支出一周的存贮费；,每周末的库存量等于下周初的库存量。,模型假设,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,目标函数,约束条件,产量、库存与需求平衡,决策变量,能力限制,非负限制,模型建立,x,1,x,4,：第,14,周,的生产量,y,1,y,3,：第,13,周末,库存量,周次,需求,能力,1,15,30,2,25,40,3,35,45,4,25,20,成本,5.0,5.1,5.4,5.5,存贮费,:,0.2,(,千元,/,周,千箱,),第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型求解,4,周生产计划的总费用为,528(,千元,),最优解：,x,1,x,4,：,15,，,40,，,25,，,20,；,y,1,y,3,：,0,，,15,，,5.,周次,需求,能力,1,15,30,2,25,40,3,35,45,4,25,20,成本,5.0,5.1,5.4,5.5,产量,15,40,25,20,库存,0,15,5,0,LINDO,求解,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,检修计划,0-1,变量,w,t,：,w,t,=1,检修安排在第,t,周,(,t,=1,2,3,4,）,在,4,周内安排一次设备检修，占用当周,15,千箱生产能力，能使检修后每周增产,5,千箱，检修应排在哪一周,?,检修安排在任一周均可,周次,需求,能力,1,15,30,2,25,40,3,35,45,4,25,20,成本,5.0,5.1,5.4,5.5,约束条件,能力限制,产量、库存与需求平衡条件不变,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,增加约束条件：检修,1,次,检修计划,目标函数不变,0-1,变量,w,t,：,w,t,=,1,检修安排在第,t,周,(,t,=1,2,3,4,）,LINDO,求解,总费用由,528,千元降,为,527,千元,检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。,最优解：,w,1,=,1,w,2,w,3,w,4,=0;,x,1,x,4,：,15,45,15,25,；,y,1,y,3,：,0,20,0.,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,例,2,饮料的生产批量问题,安排生产计划,满足每周的需求,使,4,周总费用最小。,存贮费,:,每周每千箱饮料,0.2,千元。,饮料厂使用同一条生产线轮流生产,多种,饮料。,若某周开工生产,某种,饮料,需支出,生产准备费,8,千元。,某种饮料,4,周的需求量、生产能力和成本,周次,需求量,(,千箱,),生产能力,(,千箱,),成本,(,千元,/,千箱,),1,15,30,5.0,2,25,40,5.1,3,35,45,5.4,4,25,20,5.5,合计,100,135,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,混合,0-1,规划模型,最优解：,x,1,x,4,：,15,，,40,，,45,，,0,；,总费用：,554.0(,千元,),生产批量问题的一般提法,将所给参数代入模型，用,LINDO,求解,第四章 数学规划模型,数学模型,姜启源 主编,.,第五章,微分方程模型,5.1,传染病模型,5.2,经济增长模型,5.6,人口预测和控制,数学模型,数学模型,姜启源 主编,.,动态模型,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,5.1,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,?,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,2,区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2,）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,3,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,0,3),经济增长的条件,第五章 微分方程模型,数学模型,姜启源 主编,.,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值,Z,(,t,)=,Q,(,t,)/,L,(,t,),增长