第八章----理想流体有旋流动和无旋流动.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动,第 八 章,理想流体的有旋流动和无旋流动,1,.,在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在,垂直于流动方向,的横截面上也要发生变化。,要研究此类问题，就要用,多维流动,的分析方法。,本章主要讨论,理想流体,多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究,粘性流体,多维流动奠定必要的基础。,2,.,本章内容,微分形式的连续方程,流体微团运动分解,理想流体运动方程 定解条件,理想流体运动微分方程的积分,涡线 涡管 涡束 涡通量,速度环量 斯托克斯定理,汤姆孙定理 亥姆霍兹定理,平面涡流,速度势 流函数 流网,几种简单的平面势流,简单平面势流的叠加,均匀等速流绕过圆柱体的平面流动,均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动,3,.,第一节,微分形式的连续方程,4,.,当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。,对于一定的控制体，必须满足,它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。,5,.,直角坐标系中微分形式的连续性方程,在流场中取出微元六面体,ABCDEFG,微元六面体中心点上流体质点的速度为,v,x,、,v,y,、,v,z,密度为,和,x,轴垂直的两个平面上的速度和密度,6,.,在,x,方向上，,dt,时间内通过左面流入的流体质量为：,dt,时间通过右面流出的流体质量为：,则,dt,时间内沿,x,轴通过微元体表面的质量净通量为,7,.,在,dt,时间内沿,y,轴和,z,轴方向流体质量的净通量分别为：,在,dt,时间内经过微元六面体的流体质量总变化为,开始瞬时流体的密度为,，经过,dt,时间后的密度为,在,dt,时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为,8,.,连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。,它适用于,理想流体,和,粘性流体,、,定常流动,和,非定常流动,。,可压缩流体非定常三维流动的连续性方程,9,.,定常,不可压缩定常,物理意义：,在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。,10,.,柱坐标系中微分形式的连续性方程,定常,不可压缩定常,11,.,球坐标系中微分形式的连续性方程,定常,不可压缩定常,12,.,【,例,】,已知不可压缩流体运动速度,v,在,x,，,y,两个轴方向的分量为,v,x,=2x,2,+y,，,v,y,=2y,2,+z,。且在,z=0,处，有,v,z,=0,。试求,z,轴方向的速度分量,v,z,。,13,.,第二节,流体微团运动分解,14,.,流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。,流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。,一般情况下，流体微团的运动可以分解为,移动,，,转动,和,变形,运动。,15,.,在流场中任取一微元平行六面体,边长分别为,dx,、,dy,、,dz,。,t,瞬时,A,点的速度为,顶点,M,速度为,16,.,17,.,线速度,线变形速率,剪切变形速率,旋转角速度,18,.,在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：,以流体微团中某点的速度作整体平移运动,线速度,绕通过该点轴的旋转运动,旋转角速度,微团本身的变形运动,线变形速率、剪切变形速率,19,.,oxy,坐标面内，,t,时刻矩形,ABCD,的运动,20,.,平移运动,矩形,ABCD,各角点具有相同的速度分量,v,x,、,v,y,。导致矩形,ABCD,平移,v,x,t,上移,v,y,t,ABCD,的形状不变。,21,.,线变形运动,x,方向的速度差,y,方向的速度差,AB,、,DC,在,t,时间内伸长,AD,、,BC,在,t,时间内缩短,22,.,定义：,单位时间,内,单位长度,流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。,沿,x,轴方向的线变形速率为,沿,y,轴、,z,轴方向的线变形速率为,23,.,对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。,三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。,不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。,24,.,角变形运动,25,.,角变形速度,：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量,剪切变形速率,该夹角变化的平均值在单位时间内的变化,角变形速度的平均值,26,.,旋转运动,流体微团只发生角变形,流体微团只发生旋转，不发生角变形,流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动,27,.,旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量,角平分线的旋转量,旋转角速度,单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值,28,.,29,.,30,.,亥姆霍兹速度分解定理,在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：,（1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；,（2）绕该点的旋转运动；,（3）含有线变形和角变形的变形运动。,微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团,流体微团的运动分解定理,31,.,亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响：,由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成,无旋运动和有旋运动,；,正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体,变形速度与流体应力,联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。,32,.,根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类,有旋流动,流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。,流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件）,无旋流动,如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。,流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）,33,.,无旋流动,需要指出的是，,有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。,34,.,【例】,给定直角坐标系中速度场,v,x,=x,2,y+y,2,，,v,y,=x,2,-xy,2,，,v,z,=0,。求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。,35,.,【,例】,给定两个流场：,（1）,v,x,=-y，v,y,=x；v,z,=0,；,（2）,v,x,=-y,/(,x,2,+y,2,),，v,y,=x,/(,x,2,+y,2,),，v,z,=0,。,求这两个流场的迹线和旋转角速度。,36,.,第三节,理想流体运动微分方程 定解条件,37,.,一、理想流体运动方程,在流场中取一平行六面体,边长分别为,x,，,y,，,z,中心点为,(,x,y,z,),中心点的压强为,p=p,(,x,y,z,),密度为,=,(,x,y,z,),因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力,作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为,f,x,，,f,y,，,f,z,以该六面体为控制体，应用动量方程,38,.,沿,x,方向从左面单位时间流入控制体的动量为,从右面流出的动量为,沿,x,方向单位时间流出与流入控制体的动量差,y,方向、,z,方向,经过控制面单位时间流体动量的净通量为,39,.,控制体内单位时间流体动量的变化,作用在控制体内流体上的质量力,沿,x,方向压强的合力,y,方向、,z,方向,作用在控制面上压强的合力为,40,.,41,.,理想流体微分形式的运动方程，又称流体运动的欧拉方程。,表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：,在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。,该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的,可压流体,和,不可压缩流体,，适用于,有旋流动,和,无旋流动。,v,x,=,v,y,=,v,z,=0,，方程变为流体平衡的欧拉方程。,42,.,柱坐标系中的欧拉运动微分方程式,球坐标系中的欧拉运动微分方程式,43,.,兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）,兰姆方程,44,.,质量力有势,正压流场,压强函数,45,.,理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系,46,.,二、定解条件,对于不可压缩理想流体，未知量有,v,x,、,v,y,、,v,z,、,p,四个，除三个运动微分方程外，还有连续方程，联立可以求解；,对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量,，需补充物态方程，方可求解；,对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量,T,，还需补充能量方程，才能求解；,满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的定解条件，包括起始条件和边界条件。,47,.,1.起始条件,方程组的解在起始瞬时（,t=0,）应满足的条件，是起始瞬时流动参数在流场中的分布规律，即,起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流动时，可以不必给出。,48,.,2.边界条件,方程组的解在流场边界上应满足的条件。,边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动力学的，也可以是热力学的。,49,.,固体壁面,理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空隙，壁面上流体质点的法向速度,v,ln,应等于对应点上壁面的法向速度,v,bn,，即,v,ln,=,v,bn,。,如果壁面静止不动，则,v,ln,=0,。,流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。,50,.,流体交界面,若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同一点上的法向速度应相等，通常两侧的温度也是连续的，即,v,1n,=,v,2n,，,T,1,=,T,2,若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足,p,1,-,p,2,=,(1/,R,1,+1/,R,2,),若交界面是平面，,R,1,=,R,2,，则,p,1,=,p,2,若交界面是自由表面，则,p,=,p,amb,若自由表面上是大气，则,p,=,p,a,51,.,无穷远处,一般给定该处流体的流速,v,、压强,p,和密度,。,流道进出口处,此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。,52,.,第四节,理想流体运动方程的积分,53,.,一、欧拉积分,正压的理想流体在有势的质量力作用下作,定常无旋,流动,在流场中任取一有向微元线段,54,.,正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的动能,v,2,/2,、质量力位势能,、压强势能,P,F,之和在流场中保持不变。,55,.,二、伯努利积分,正压的理想流体在有势的质量力作用下作,定常有旋,流动。,流线与迹线重合,在流场中沿流线取一有向微元线段,在三个坐标轴上的投影分别为,56,.,正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的动能,v,2,/2,、质量力位势能,、压强势能,P,F,之和沿同一流线保持不变。,一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。,57,.,不可压缩重力流体，若取坐标轴,z,方向向上：,=gz P,F,=p/v,2,/2,+gz+p/=C,如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流场中保持不变；,如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。,58,.,对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：,非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单位质量气体的动能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有旋，这二项之和沿同一流线保持不变。,59,.,【例】,如图所示为水平放置、间隙为,、半径为,r,2,的二圆盘，水由上圆盘中央半径为,r,1,的小管以速度,v,1,定常地流入，若不计水流入的动量，试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。,60,.,第五节,涡线 涡管 涡束 涡通量,61,.,自然界中流体的流动绝大多数是有旋的,大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；,行进中的船舶后的尾涡区；,充满微小涡旋的紊流流动；,物体表面充满微小涡旋的边界层流动；,叶轮机械内流体的涡旋运动。,62,.,流体微团,旋转角速度,的矢量表示,更普遍地用,涡量,来描述流体微团的旋转运动,涡量的定义,充满涡量的流场称为,涡量场,63,.,一、涡线 涡管 涡束,涡线,在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。,沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。,涡线方程,非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微分方程时，,t,作为参变量；,定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有时间变量,t,。,64,.,涡管 涡束,给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为,涡管,；,截面无限小的涡管称为,微元涡管,；,涡管中充满着的作旋转运动的流体称为,涡束,；,微元涡管中的涡束称为,微元涡束或涡丝,。,65,.,二、涡通量,旋转角速度,的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积,dA,的乘积的两倍称为,微元涡管,的,涡通量,（也称,涡管强度,）,dJ,有限截面,涡管的涡通量可表示为沿涡管横截面的积分,n,是微元涡管的旋转角速度沿涡管横截面法线方向的分量,66,.,第六节,速度环量 斯托克斯定理,67,.,一、速度环量,在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的标积沿周线的线积分，定义为,速度环量,，用符号,表示,速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分的绕行方向有关；,规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正方向形成右手螺旋系统。,68,.,二、斯托克斯定理,在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲面的涡通量,69,.,微元封闭周线,70,.,任意有限封闭周线,K,用互相正交的两组直线将平面和曲面划分成无数个微元封闭周线,微元面积视为平面,微元封闭周线,所有微元,周线,K,内各微元线段速度的线积分都要计算两次，绕行方向相反,71,.,斯托克斯定理的应用区域限制条件,区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界,单连通域,多连通域,72,.,多连通域斯托克斯定理,73,.,【例】,已知二维流场的速度分布为,v,x,=-6y,，,v,y,=8x,，试求绕圆,x,2,+y,2,=R,2,的速度环量。,74,.,【例】,在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径,r=0.2m,的圆区域内流体的涡通量,J=0.8m,2,/s,。若流体微团在半径,r,处的速度分量,v,为常数，它的值是多少？,75,.,【例】,已知理想流体的速度分布为 ，试求涡线方程以及沿封闭周线 的速度环量，其中,a,、,b,为常数。,76,.,第七节,汤姆孙定理 亥姆霍兹定理,77,.,一、汤姆孙定理,正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化；,在流动过程中，上述流体质点线可以移动、变形，但组成该线的流体质点不变。所以速度环量随时间的变化率,78,.,79,.,汤姆孙定理和斯托克斯定理说明：,正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消失。,理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动,；,既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停止旋转,；,流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量,；,流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反,。,80,.,二、亥姆霍兹定理,亥姆霍兹第一定理：在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。,沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等,81,.,沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等,斯托克斯定理：速度环量等于穿过封闭周线所包围截面的涡通量,涡管各截面上涡通量相等,涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，或在边界上开始、终止。,82,.,亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）,在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管始终由相同的流体质点组成。,涡管表面上任意由流体质点组成的封闭周线,K,开始时没有涡线穿过周线,K,所包围的面积,沿周线,K,的速度环量等于零,速度环量不能自生自灭，沿周线,K,的速度环量永远为零,涡管表面上任何封闭周线所包围的面积中永远没有涡线通过,在某一时刻构成涡管的流体质点永远在涡管上,涡管永远为涡管，但涡管的现状随时间可能有变化,83,.,亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）,在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时间变化。,围绕涡管表面,A,取一封闭的流体质点周线,K,涡管始终由相同的流体质点组成,沿涡管表面周线,K,的速度环量保持不变,通过涡管的涡通量也保持不变,涡管强度不随时间变化,84,.,第八节,平 面 涡 流,85,.,设在重力作用下的不可压缩理想流体中，有一无限长的涡通量为,J,的垂直涡束，像刚体一样以等角速度,绕自身轴旋转；,涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周运动；,由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的所有平面上的流动情况都一样，可只研究其中一个平面的流动。,86,.,涡束内的流动区域，称为涡核区。,有旋流动，其半径为,r,b,。,涡束外的流动区域称为环流区。,由于速度环量和旋涡都不能自行产生，故为无旋流动。,87,.,环流区,沿任何圆周线的速度环量,环流区速度分布,环流区内随半径的减小，流速升高。,88,.,环流区的压强分布,环流区内随半径的减小，压强降低。,在与涡核交界处，流速达到该区的最高值，而压强则是该区的最低值。,89,.,涡核区,涡核区的速度分布,90,.,涡核区的压强分布,涡核区为有旋流动，伯努利方程的积分常数随流线而变，其压强分布由欧拉运动微分方程推出：,91,.,92,.,涡核中心的流速为零，压强最低,涡核区边缘至涡核中心的压强降,涡核区和环流区的压强降相等，都等于以它们交界处的速度计算的动压头；,由于涡核区的压强比环流区的低，而涡核区又很小，径向压强梯度很大，故有向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，这种作用越大，如龙卷风，具有极强的涡旋，有很大的破坏力；,在工程实际中，也有许多与涡流有关的装置。,93,.,第九节,速度势 流函数 流网,94,.,自然界中无旋流动是很少的,有许多有旋流动可以近似地视为无旋流动,可以使繁琐的数学计算得到简化，解决工程实际问题；,此类分析、计算方法已经很成熟。,95,.,一、速度势,无旋流动,是,v,x,dx+v,y,dy+v,z,dz,成为某函数,(,x,y,z,),的全微分的充要条件,d=v,x,dx+v,y,dy+v,z,dz,流场的速度等于势函数,的梯度，,为,速度势函数,，简称,速度势；,称无旋流动为,有势流动,，简称,势流,。,96,.,速度势对任意方向,s,的偏导数,速度势函数对任意方向,s,的偏导数等于速度矢量在该方向上的投影,在柱坐标系中的速度分量,97,.,在势流中任取一曲线,AB,，沿,AB,切向速度的线积分为,沿任意曲线切向速度的线积分等于曲线两端的速度势之差；,若曲线为封闭周线，速度势又是单值连续函数，则沿该周线的速度环量等于零。,98,.,不可压缩流体,满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，速度势是调和函数。,柱坐标系中,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,99,.,二、流函数,不可压缩流体的平面流动,连续方程,流线方程,是,-v,y,dx+v,x,dy,成为某函数,(x,y),全微分的充要条件,100,.,流线上,d,=-,v,y,dx+v,x,dy,=0,=const,每条流线都有各自的常数值，故称,(x,y,),为流函数。,流函数总满足连续方程。,不可压缩流体的二维流动，,必然存在流函数,，不管它是理想流体还是粘性流体，是有旋流动还是无旋流动。,极坐标系中,101,.,等流函数线为流线,102,.,流体通过两流线间单位高度的体积流量等于两条流线的流函数之差,流函数的物理意义,103,.,不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数,。,104,.,三、流网,在不可压缩流体的平面无旋流动中，同时存在速度势和流函数。,流函数和势函数的关系：,等势线族和流线族互相正交。,在平面上等势线和流线构成处处正交的网格，称为,流网,。,两簇曲线正交的条件,105,.,【例】,已知不可压缩流体平面势流的速度势,=xy,，试求速度投影和流函数。,106,.,【例】,已知平面流动的流函数=,3x,2,y-y,3,。,求势函数；,若在流场中,A(1m,1m),处的绝对压强为,1.510,5,Pa,，流体的密度为,1.2kg/m,3,，则,B(3m,5m),处的压强是多少？,107,.,第十节,几种简单的平面势流,108,.,一、均匀等速流,流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称为均匀等速流。,势函数,等势线,流函数,流线,流线与等势线垂直,109,.,流场中各点的流速相同，流动无旋，所以,流场中流体的总势能不变,水平面上的均匀等速流,压强在流场中处处相等,110,.,二、源流和汇流,在无限平面上，若流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，称为,源流,，这个点称为,源点,；若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，称为,汇流,，这个点称为,汇点,。,流动只有径向速度,v,r,通过任一单位高度圆柱面的体积流量,q,V,111,.,势函数,源点和汇点是奇点,等势线,不同半径的同心圆,流函数,流线,不同极角的径线,流线与等势线正交,112,.,水平面内流动的压强分布,对半径,r,处和无穷远列伯努利方程,压强随半径的减小而降低,零压强处,绝对压强不能等于零，上述各式适用范围：,r,r,0,113,.,三、势涡,若二维涡流的涡束半径,r,b,0,，则涡束变为一条涡线，平面上的涡核区缩为一点，称为,涡点,，这样的流动称为,势涡,或,自由涡流,。,涡点以外势流区的速度分布,r,0,v,涡点为奇点,114,.,势函数,等势线,不同极角的径线,流函数,流线,不同半径的同心圆,0,，环流逆时针方向；,0,，环流顺时针方向。,流线与等势线正交,115,.,涡点以外势流区的压强分布,零压强处,116,.,对于以上几种简单的平面势流，重要的不是它们能代表怎样的实际流动，而在它们是势流的基本单元；,把几种基本单元组合在一起，可以形成许多有重要意义的复杂流动。,117,.,第十一节,简单平面势流的叠加,118,.,若,1,2,3,n,是调和函数，将它们相加组成的新函数也必是满足拉普拉斯方程的调和函数：,调和函数可以叠加，叠加成的新函数仍是调和函数，流动仍然无旋；它们的速度矢量可以叠加。,119,.,一、汇流与势涡叠加螺旋流,汇流,势涡,螺旋流,等势线,流线,流线和等势线是两组相互正交的螺旋线,120,.,汇流和势流叠加的流动为螺旋流,速度分布,压强分布,上述各式的实际的适用范围应为,121,.,旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式喷油嘴,流体沿圆周切向流入，从中心流出,汇流和势涡的叠加。,离心泵、风机,外壳中的流体由叶轮螺旋流入，沿外壳切向流出,源流和势涡的叠加。,122,.,二、源流和汇流叠加偶极子流,两个流量相等的位于,A(-a,0),的源流和位于,B(a,0),的汇流叠加,123,.,流线,流线是经过源点和汇点的圆线族,当源点和汇点无限接近，,a,0,时，流量必须同时无限增大，使 趋于有限值，这样流动才能形成,偶极子流,。,M,为偶极子矩，也称偶极子流强度，方向由源点指向汇点。,124,.,偶极子流,势函数,等势线,125,.,流函数,流线,速度分布,126,.,第十二节,均匀等速流绕过圆柱体的平面流,动,127,.,速度为,v,沿,x,轴正向的均匀等速流与强度为,M,沿,x,轴正向的偶极子流,势函数,流函数,128,.,速度为,v,沿,x,轴正向的均匀等速流与强度为,M,沿,x,轴正向的偶极子流叠加,势函数,流函数,流线,零流线,129,.,零流线,以坐标原点为圆心、半径为,r,0,的圆,点,B,、,A,以外的,x,轴,由于流体不能穿过流线，零流线的圆可以代之以圆柱面,130,.,均匀等速流,符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的绕流条件，且按正弦规律分布。,131,.,圆柱面,A,点,B,点,C,、,D,点,圆柱面速度的最大值,沿包围圆柱面的圆形周线的速度环量,前驻点,后驻点,132,.,速度为,v,沿,x,轴正向的均匀等速流与强度为,M,沿,x,轴正向的偶极子流叠加的组合流动,(,r,r,0,),就是均匀等速流绕过圆柱体的平面流动。,圆柱面上的压强分布,压强系数,沿圆柱面的压强系数既与圆柱体的半径无关，也与无穷远处的速度和压强无关，只是坐标,的函数,133,.,圆柱面上的压强系数,在圆柱面的前驻点,A,和后驻点,B,上，压强达到最大值；在圆柱面的上、下顶点,C,、,D,，压强达到最低值。,压强分布对称于圆柱面的中心,流体作用在圆柱面上的总压力等于零。,这一结论可以推广到理想流体均匀等速流绕过任意形状无环流无分离的平面流动。,134,.,总压力垂直于来流方向的分力称为升力，用,F,L,表示：,总压力平行于来流方向的分力称为阻力，用,F,D,表示：,135,.,理想流体绕过圆柱体的平面流动作用在圆柱面上既无升力，也无阻力。,实验证明，即使是粘性很小的流体，当它们绕过圆柱体或其它物体时，都要产生阻力,达朗贝尔疑题,。,136,.,第十三节,均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动,137,.,等速均匀流 偶极子流 势涡,均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动,势函数,流函数,速度分布,138,.,r,=,r,0,是一条流线,均匀等速流，满足在无穷远处的边界条件,符合流体既别穿过又不脱离圆流线的绕流条件，可以代之以圆柱面,沿包围圆柱面的圆形周线的速度环量,的上述组合流动就是均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动,139,.,驻点位置,当叠加环流的,0,时，在圆柱体的上部环流的速度方向与均匀等速流绕过圆柱体的速度方向相同，而在下部则相反。,叠加的结果在上部形成速度增高的区域，而在下部形成速度降低的区域，破坏了流线对,x,轴的对称性，驻点下移。,140,.,圆柱面上存在驻点的条件,141,.,圆柱面上存在驻点的条件,驻点不在圆柱面上,142,.,压强分布,143,.,流体作用在单位长度圆柱体上的阻力,144,.,流体作用在单位长度圆柱体上的升力,库塔,-,儒可夫斯基升力公式,145,.,库塔,-,儒可夫斯基升力公式,在理想流体均匀等速流绕过圆柱体有环流的流动中，在垂直于来流的方向上，流体作用在单位长度圆柱体上升力的大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积，升力的方向由来流速度矢量,v,沿反速度环流的方向旋转,90,来确定。,146,.,【例】,在,x,轴上的两点A与B（,x=a,）各有强度为,q,V,的平面点源。,试确定流场中的速度势与流函数；,画出流线图，并证明,x=0,是一条可视为固壁的流线。,147,.,