电路分析基础第4章-正弦稳态电路分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第 4 章 正弦稳电路分析,4.3 基本元件,VAR,相量形式,和,KCL、KVL,相量形式,4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,4.2 正弦量的相量表示法,4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念,4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率,4.6 正弦稳态电路中的中,的 最 大 功 率 传 输,返回,1,学 习 目 标,正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。,正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。,深刻理解正弦量的相量表示法。,深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。,正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。,能进行对称三相电路的计算。,2,4.1 正弦量的基本概念,4.1.1 正弦量的三要素,若电压、电流是时间,t,的正弦函数，称为正弦交流电。,以电流为例，正弦量的一般解析式为：,波形如图4-1所示,图 4-1 正弦量的波形,3,图中,I,m,叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当,t=0,时的相位 叫初相位，简称初相；,叫正弦量的角频率。,因为正弦量每经历一个周期的时间,T，,相位增加2,，,则角频率,、,周期,T,和频率,之间关系为：,、T、,反映的都是正弦量变化的快慢，,越大，即,越大或,T,越小，正弦量变化越快；,越小，即,越小或,T,越大，正弦量变化越慢。,把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。,只有确定了三要素，正弦量才是确定的。,4,用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负,T/2,内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。,如图4-2 所示，初相分别为0、,由图可见，初相为正值的正弦量，在,t=0,时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在,t=0,时的值为负，起点在坐标原点之右。,5,图 4-2,6,4.1.2、同频率正弦量的相位差,设有两个同频率的正弦量为,叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。,初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，,7,如果 ，则表示,i,1,超前,i,2,;如果 ，则表示,i,1,滞后,i,2,，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。,同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在,n,个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。,如图4-3（,a,）、（b）、（c）、（d）,分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。,8,图 4-3,i,1,与,i,2,同相、超前、正较、反相,9,4.1.3,正弦电流、电压的有效值,1、有效值,周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母,I、U,表示。,根据有效值的定义，则有,则周期电流的有效值为,10,2、正弦量的有效值,对于正弦电流，设,同理,11,4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法,4.2.1 复数的运算规律,复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：,相加、减的结果为：,A,1,A,2,=（a,1,+jb,1,）(a,2,+jb,2,)=(a,1,a,2,)+j(b,1,b,2,),复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。,如：,12,因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。,特别地，复数 的模为1，辐角为,。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。,13,4.2.2,正 弦 量 的 相 量 表 示,设有一复数,它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为,由于,可见,A(t),的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。,14,式中,同理,把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。,例 已知,u,1,=141sin(t+60,o,)V，,u,2,=70.7sin(t-45,o,)V。,求：求相量 ；(2)求两电压之和的瞬时值,u,(t),（3）,画出相量图,解（1）,15,（2）,（3）相量图如图4-4所示,图 4-4,16,4.3 基本元件,VAR,相量形式,和,KCL、KVL,相量形式,4.3.1,基本元件,VAR,的相量形式,在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即,VAR）,的相量形式。,1、电阻元件,根据欧姆定律得到,上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图4-5所示。,17,其相量关系为：,图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图,18,2、电容元件,电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：,将上式改写为：,通常把,X,C,=,定义为电容的容抗。,电容元件上，电流振幅为电压振幅的,C,倍。,19,图 4-6 电容元件的波形、相量图,以上表明电容电流超前电容电压90，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。,20,3、电感元件,电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：,由上式可得,U=LI=X,L,I,上式表明电感上电流滞后电压为90。,通常把,X,L,=L,定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即,X,L,=L。,对于一定的电感,L，,当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，,X,L,=0，,电感相当于短路。,21,图 4-7 电感元件的波形、相量图,电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90。,22,4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,4.4.1 复阻抗,设由,R、L、C,串联组成无源二端电路。如图4-8所示，流过各元件的电流都为,I，,各元件上电压分别为,u,R,(t)、,u,L,(t)、,u,C,(t)，,端口电压为,u,(,t)。,图 4-8,23,因为,u,(t)=,u,R,(t)+,u,L,(t)+,u,C,(t),即,所以,24,上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。,Z,为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗,Z,是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即：,式中,Z,称为阻抗的模，其中,X=X,L,-X,C,称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即,25,4.4.2,复导纳,对于如图4-9所示,R、L、C,并联电路，根据相量形式得,KCL,，得到：,图 4-9,RLC,并联电路,26,Y,为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。,Y,称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。,称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。,27,4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率,4.5.1,R、L、C,元件的功率和能量,1,.电阻元件的功率,设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬,时功率为,p,R,(t)=,u,(,t,),I,(,t,),设流过电阻元件的电流为,I,R,(t)=,I,m,sint A,其电阻两端电压为,u,R,(t)=,I,m,R,sint=U,m,sint V,则瞬时功率为,28,p,R,(t)=,u,(,t,),i,(,t,)=2U,R,I,R,sin,2,t,=U,R,I,R,（1-cos2t）W,由于,cos2t1,故此,p,R,（t）=U,R,I,R,（1-cos2t）0,其瞬时功率的波形图如4-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且,p,R,（t）0，,说明电阻元件是耗能元件。,图 4-10 电阻元件的瞬时功率,29,电阻的平均功率,可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。,2.,电感元件的功率,在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为,则电感电压为：,30,其瞬时功率为,上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且,p,L,(t),的值可正可负，其波形图如图4-11所示。,图4-11 电感元件的瞬时功率,31,从图上看出，当,u,L,(,t,)、,i,L,(,t,),都为正值时或都为负值时，,p,L,(,t,),为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当,p,L,(,t,),为负时，电感元件向外释放能量。,p,L,(,t,),的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。,电感消耗的平均功率为：,电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。,32,3电容元件的功率,在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:,则电容电压为：,其瞬时功率为：,33,u,c,(,t,)、,I,c,(,t,)、,p,c,(,t,),的波形如图4-12所示。,图 4-12 电容元件的瞬时功率,34,从图上看出，,p,c,(t)、,与,p,L,(t),波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。,电容的平均功率也为零，即：,电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。,35,4.5.2,二端电路的功率,1.,瞬时功率,在图4-13所示二端电路中，设电流,i,(t),及端口电压,u,(t),在关联参考方向下，分别为：,则二端电路的瞬时功率为：,图 4-13,36,上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图4-14所示。,图 4-14 二端,RLC,电路的瞬时功率,37,从图上看出，,u,(t),或,i,(t),为零时，,p,(t),为零；当二者同号时，,p,(t),为正，电路吸收功率；二者异号时，,p,(t),为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。,2.有功功率（也叫平均功率）和功率因素,38,式中 称为二端电路的功率因素，功率因素,的值取决于电压与电流之间的相位差 ，也叫功率因素角。,4.5.3 无功功率、视在功率和复功率,无功功率用,Q,表示，定义,通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用,S,表示，即,S=UI,39,P、Q、S,之间存在如下关系,工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即,=,P+,jQ,40,4.6 正弦稳态电路的最大功率传输,如图4-15所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗为,Z,s,=,R,s,+,jx,s,，,负载阻抗,Z,L,=R,L,+,jX,L,电路中电流为：,电流有效值为：,图 5-15,41,负载吸收的功率为：,要求出,P,L,的最大值为此需求出,P,L,对,R,L,的导数，并使之为零，即：,由上式得到：,（,R,S,+R,L,),2,-2R,L,(R,S,+R,L,）=0,解得：,R,L,=R,S,42,负载获取最大功率的条件为：,上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：,43,4.7,三相电路,4.7.1,三相电路的基本概念,三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120。,设第一相初相为0，第二相为-120，第三相为120，所以瞬时电动势为：,e,1,=,E,m,sin,t,e,2,=,E,m,sin,（t-120）,e,3,=,E,m,sin,（t+120）,这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见图4-16,。,44,图 4-16 三相电源,对称三相电动势相量和为零，即：,=0,由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即：,e,1,+e,2,+e,3,=0,45,4.7.2 三相电源的连接,将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图4-17所示。,低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。,每相绕组始端与,图 4-17 星形连接,末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用,u,1,、,u,2,、,u,3,表示，通用,u,p,表示。,46,任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用,u,12、,u,23,、,u,31,表示，通用,u,l,表示。,由于,u,12,=,u,1,-,u,2,u,23,=,u,2,-,u,3,u,31,=,u,3,-,u,1,其次，作出线电压和相电压的相量图，如图4-18所示。,图 4-18 星形连接线电压相电压的相量图,由于 构成等腰三角形，所以,47,所以,同理,一般写为,作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前30。,48,4.7.3 三相负载的星形连接,三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。,负载的星形连接,如图4-19所示是三相负载作星形莲接时的电路图。,图 4-19 三相负载的星形连接,49,显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即,若三相负载对称，即,Z,1,=Z,2,=Z,3,=,Z,p,，,因各相电压对称，所以各相电流相等，即：,I,1,=I,2,=I,3,=I,YP,=,由基尔霍夫电流定律知,同时，三个相电流的相位差互为120，满足,50,略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即：,U,YP,为星形联接负载相电压。,三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即,I,1,、I,2,、I,3，,用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用,I,YP,表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用,I,N,表示，其方向规定由负载中点,N,/,流向电源中点,N。,51,这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。,如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120，中线电流不为零，此时就不能省去中线。否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。,52,4.7.4 负载的三角形连接,如图4-20所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。,图 4-20 三相负载的三角形连接,53,对于对称三相负载，相电压等于线电压，即,同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为120。各相电流的方向与该相的电压方向一致。,由,KCL,知,作出线电流和相电流的相量，如图4-21所示。,相电流：,54,图 4-21三角形连接线电流和相电流的相量图,从图中看出：各线电流在相位上比各相电流滞后30。由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差120。,可以看出,I,l,=2I,12,cos30=,55,所以,这些说明：对称三相负载呈三角形连接时，线电流的有效值为相电流有效值的 倍，线电流在相位上滞后于相电流30。,4.7.3三相电路的功率,三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：,P=P,1,+P,2,+P,3,Q=Q,1,+Q,2,+Q,3,S=S,1,+S,2,+S,3,当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相功率的三倍。,56,通常，相电压和相电流不易测量，计算三相电路的功率时，是通过线电压和线电流来计算。不论负载作星形连接还是三角形连接，总的有功功率、无功功率和视在功率，计算三相负载总功率的公式是相同的，即：,即：,57,本 章 小 结,本章的主要内容章有：正弦交流电路的基本概念及其分析计算，三相电路的分析计算。,在学习正弦交流电路的基础上，重点解决四个问题：,1,、利用复数概念，将正弦量用复数表示，使正弦交流电路的分析计算，化为相量运算。,2、阻抗或导纳虽然不是正弦量，也能用复数表示，从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律。以此为依据，使一切简单或复杂的直流电路的规律，原理、定理和方法都能适用于交流电路。,3、交流电路的分析计算除了数值上的问题，还有相位问题。,58,4、,三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式，它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律。特殊性在于三相电动势是对称的，因而电源和负载都有三角形和星形两种接法。我们只讨论了对称三相电路的计算。,59,