青海省西宁第二十一中学2025年数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

青海省西宁第二十一中学2025年数学高一上期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知向量，若，则（ ）
A.1或4 B.1或
C.或4 D.或
3．已知函数，下面关于说法正确的个数是（）
①的图象关于原点对称②的图象关于y轴对称
③的值域为④在定义域上单调递减
A.1 B.2
C.3 D.4
4．下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；
②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．定义在上的函数满足，且当时，，若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则　　
A. B.
C. D.
7．函数y＝的定义域是（）
A. B.
C. D.
8．已知,且在区间有最大值,无最小值,则＝(　　)
A B.
C. D.
9．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）
A. B.
C. D.
10．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角
C.一定是正角 D.可以是任意角
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知命题“，”是真命题，那么实数a的取值范围是___________.
12．已知幂函数的图象过点，则___________.
13．计算：（）0+_____
14．已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.
15．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____
16．若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）=______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知四棱锥,其中面为的中点.

（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求四棱锥的体积.
18．已知函数.
(1)解关于不等式；
(2)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
19．已知.
（1）求，的值；
（2）求的值.
20．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
12元
0.3元/分钟
0.6元/分钟
套餐乙
无
0.5元/分钟
0.8元/分钟
刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）
（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；
21．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2、B
【解析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为，则，解得或.
故选：B.
3、B
【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性，化简解析式，根据指数函数的性质可得单调性和值域.
【详解】因为的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，即①正确，②不正确；
因为，
由于单调递减，所以单调递增，故④错误；
因为，所以，，
即函数的值域为，故③正确，即正确的个数为2个，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：理解函数的奇偶性和常见函数单调性简单的判断方式.
4、B
【解析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.
【详解】对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；
对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；
对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；
对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.
所以①②是真命题.
故选：B
5、C
【解析】把问题转化为函数在上的图象与直线至少有两个公共点，再数形结合，求解作答.
【详解】函数满足，当时，，
则当时，，当时，，
关于的方程在上至少有两个实数解，
等价于函数在上的图象与直线至少有两个公共点，
函数的图象是恒过定点的动直线，
函数在上的图象与直线，如图，

观察图象得：当直线过点时，，将此时的直线绕点A逆时针旋转到直线的位置，
直线(除时外)与函数在上的图象最多一个公共点，此时或或a不存在，
将时的直线(含)绕A顺时针旋转到直线(不含直线)的位置，
旋转过程中的直线与函数在上的图象至少有两个公共点，此时，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者
将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
6、A
【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解
【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
再把所得图象向左平移个单位，得到，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题
7、A
【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】依题意，
所以的定义域为.
故选：A
8、C
【解析】结合题中所给函数的解析式可得：
直线为的一条对称轴，
∴，
∴，又，
∴当k=1时,.
本题选择C选项.
9、C
【解析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.
【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，
因此，秒针的端点所走的路线长.
故选：C.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据，成立，由求解.
【详解】因为，成立，
所以，
则，
故答案为：
12、##0.25
【解析】设，代入点求解即可.
【详解】设幂函数，
因为的图象过点，
所以，
解得
所以，得
.
故答案为：
13、
【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14、##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
15、
【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，
又由方程有4个不同的实数根，
即函数的图象与有四个不同的交点，
可得，且，
则=，
因为，则，所以.
故答案为.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
16、1
【解析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】由题知y＝f(x)＝，∴f(2)＝1.
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）取中点，连接，根据三角形的中位线，得到四边形为平行四边形，进而得到，再结合线面平行的判定定理，即可证明面；（2）根据为等边三角形，为的中点，面，得到，根据线面垂直的判定定理得到面，则面，再由面面垂直的判定定理，可得面面；（3）连接，可得四棱锥分为两个三棱锥和，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：取中点，连接 分别是 的中点，,且与 平行且相等，为平行四边形，，又面面面.

（2）证明：为等边三角形，,又面面垂直于面的两条相交直线面面面面面.
（3）连接,该四棱锥分为两个三棱锥和.

18、（1）当时，不等式的解集是
当时，不等式的解集是
当时不等式的解集是
（2）
【解析】（1）将不等式，转化成，分别讨论当时，
当时，当时，不等式的解集.
（2）将对任意，恒成立问题，转化为，恒成立，再利用均值不等式求的最小值，从而得到a的取值范围.
【详解】（1）因为不等式
所以
即
当时，解得
当时，解得
当时，解得
综上：当时，不等式的解集是
当时，不等式的解集是
当时不等式的解集是
（2）因为对于任意，恒成立
所以，恒成立
所以，恒成立
令
因为
当且仅当，即时取等号
所以
【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式的解法以及恒成立问题，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于中档题.
19、（1），
（2）
【解析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
【小问1详解】
∵,且,
∴,
∴,.
【小问2详解】

20、（1），；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得；
（2）利用作差法，然后分类讨论即得.
【小问1详解】
因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍，
所以他每月接打本地电话时间为，接打长途
若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费，
则；
若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费，
则
【小问2详解】
∵，
当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱；
当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱；
当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样
21、（1）；（2）.
【解析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，，即可得函数在R上的解析式；（2）作出函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列关于的不等式组求解.
详解】（1）设，则，
所以
又为奇函数，所以，
于是时，，
所以函数的解析式为
（2）作出函数的图像如图所示，要使在上单调递增，
结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.