上海大学市北附属中学2025年高一上数学期末达标检测试题含解析.doc

上海大学市北附属中学2025年高一上数学期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2． “”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为
A. B.
C. D.
4．已知直线l经过两点，则直线l的斜率是（）
A. B.
C.3 D.
5．下列各式中成立的是
A. B.
C. D.
6．在上，满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数的定义域为
A B.
C. D.
8．已知集合，集合，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
9． “”是“幂函数为偶函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，且，则的最小值为___________.
12．已知直线：，直线：，若，则__________
13．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________
14．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________
15．已知，，与的夹角为60°，则________.
16．已知函数的两个零点分别为，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
18．已知直线
（1）求证：直线过定点
（2）求过(1)的定点且垂直于直线直线方程.
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的最小值.
20．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值
21．已知，
（1）求和的值
（2）求以及的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：B.
2、A
【解析】利用或，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
详解】根据题意，由于或，
因此可以推出，反之，不成立，
因此“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
3、C
【解析】根据题意画出函数图像，由图像即可分析出由一个正零点，一个负零点a的范围
【详解】如图，若存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，
则，
故选

【点睛】本题考查了绝对值函数及零点的简单应用，属于基础题
4、B
【解析】直接由斜率公式计算可得.
【详解】由题意可得直线l的斜率.
故选：B.
5、D
【解析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.
【详解】中，中，，中，；且等式不满足指数运算法则，错误；
中，，错误；
中，，则，错误；
中，，正确.
故选：
【点睛】本题考查指数运算法则的应用，属于基础题.
6、B
【解析】根据的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
【详解】根据的图象可知：当时，或，

数形结合可知：
当，得
故选：.
【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单题.
7、C
【解析】要使得有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.
【详解】要使得有意义，则要满足，解得.答案为C.
【点睛】常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母0；
（2）偶次根式：被开方数0；
（3）0次幂：底数0；
（4）对数式：真数，底数且；
（5）：；
8、B
【解析】由题意得，结合各选项知B正确．选B
9、C
【解析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
详解】由，即，解得或，
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，
所以充分性成立；
反之：幂函数，则满足，
解得或或，
当时，，此时函数为偶函数；
当时，，此时函数为偶函数，
当时，，此时函数为奇函数函数，
综上可得，实数或，即必要性成立，
所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.
故选：C.
10、D
【解析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
由，
得，
因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立
故答案为：
12、1
【解析】根据两直线垂直时，系数间满足的关系列方程即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查直线垂直的位置关系，考查理解辨析能力，属于基础题.
13、
【解析】设，则，代入解析式得；再由定义在上的奇函数，即可求得答案.
【详解】不妨设，则，
所以，
又因为定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
14、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.
【详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，
是等边三角形，且，，
，
球的表面积.

故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
15、10
【解析】由数量积的定义直接计算.
【详解】.
故答案为：10.
16、
【解析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；
【详解】解：依题意令，即，
所以方程有两个不相等实数根、，
所以，，
所以；
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）设，可知函数为增函数，由，可得出，且有，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】（1）函数定义域为，关于原点对称，
，
因此，函数为奇函数；
（2）设，由于函数为增函数，函数为减函数，
所以，函数为增函数，当时，则，
且，则，
令，.
所以，，.
【点睛】本题考查函数奇偶性的证明，同时也考查了指数型函数在区间上最值的求解，利用换元法转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
18、（1）见解析；（2）.
【解析】⑴将直线化为，解不等式组即可得证；⑵由（1）知定点为，结合题目条件计算得直线方程
解析：（1）根据题意将直线化为的
解得，所以直线过定点
（2）由（1）知定点为，设直线的斜率为k，
且直线与垂直，所以，
所以直线的方程为
19、（1）
（2）
【解析】（1）结合图象，由最大最小值可得，由可得，由函数图象经过点可求，从而可得答案.
（2）原不等式等价于存在, 使得成立，即，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案.
【小问1详解】
解：由图可知，设函数的最小正周期为，
，，
，，
又由图可知函数的图象经过点，
，
,,

【小问2详解】
解：由（1）知原不等式等价于，即.
又，
∴原不等式等价于存在, 使得成立，
，
，
令，则，令，
∵在区间上单调递减，
∴，
∴实数的最小值为.
20、a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.
【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1.
若a>0，则，
解得，
若a<0，则，
解得，
综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.
21、（1），
（2），
【解析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解；
（2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，准确运算，即可求解.
【小问1详解】
因为，根据三角函数的基本关系式，可得，
又因为，所以，且.
【小问2详解】
由，和
根据两角差的正弦公式，可得，
再结合两角和的正切公式，可得