上海培佳双语学校2025-2026学年高一上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

上海培佳双语学校2025-2026学年高一上数学期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）
A.1 B.
C.2 D.3
2．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（）（参考数据：取）
A.5 B.6
C.7 D.8
3．函数的零点个数为（ ）
A.个 B.个
C.个 D.个
4．命题：“”的否定是（）
A. B.
C. D.
5．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
6．直线与圆相切，则的值为（）
A. B.
C. D.
7．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：
①∥ ②⊥∥ ③∥⊥ ④⊥∥其中正确命题的序号是
A.①③ B.②③④
C.①②③ D.②④
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）

A. B.
C. D.
9．下列函数中在定义域上为减函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
10．在中，为边的中点，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则________.
12．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________
13．我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差.”如果一个球体的体积为，那么用这个公式所求的直径d结果的绝对误差是___________.（参考数据：，结果精确到0.01）
14．如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是______
15．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.
16．已知函数，方程有四个不相等的实数根
（1）实数m的取值范围为_____________；
（2）的取值范围为______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其中
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）求函数的值域
18．设集合，.
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围；
19．已知函数，
（1）当时，求函数的值域；
（2）若恒成立，求实数的取值范围
20．计算：
（1）；
（2）.
21．已知函数在区间上有最大值，最小值，设.
（1）求值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据以及周期性求得.
【详解】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故选：B
2、A
【解析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
3、C
【解析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.
详解】由得：，即，解得，即，
所以函数的零点个数为2.
故选：C
4、C
【解析】写出全称命题的否定即可.
【详解】“”的否定是：.
故选：C.
5、B
【解析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
6、D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得
【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，
所以，解得
故选：D
7、A
【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.
【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行，还可能是相交.
故选A.
【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.
8、A
【解析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.
【详解】由三视图可知其直观图，

该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.
9、C
【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；
对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；
对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；
对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.
故选：C
10、B
【解析】由平面向量的三角形法则和数乘向量可得解
【详解】
由题意，
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
详解】，
，
则，
故答案为：．
12、
【解析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.
【详解】因为对，且都有成立，
所以函数在上单调递增.
所以，解得.
故答案为：
13、05
【解析】根据球的体积公式可求得准确直径，由近似公式可得近似直径，然后由绝对误差的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，所以，
所以直径d结果的绝对误差是，
故答案为：0.05.
14、
【解析】根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】由对任意实数都成立可知，函数 为实数集上的单调减函数.
所以解得 .
故答案为.
15、或
【解析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可
【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；
当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,
故答案为: 或
【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况
16、 ①. ②.
【解析】利用数形结合可得实数m的取值范围，然后利用对数函数的性质可得，再利用正弦函数的对称性及二次函数的性质即求.
【详解】作出函数与函数的图象，

则可知实数m的取值范围为，
由题可知，，
∵，
∴，即，又，，
∴，又函数在上单调递增，
∴，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得，再利用二次函数的性质即解.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）是偶函数，证明见解析
（2）
【解析】（1）由对数的运算得出，再由定义证明即可；
（2）根据基本不等式结合对数函数的单调性得出函数的值域
【小问1详解】
是偶函数，的定义域为R
∵，
∴，∴是偶函数
【小问2详解】
∵，当且仅当时取等号，
∴
∴的值域为
18、（1）；（2）.
【解析】（1）时，求出集合，，从而求出，由此能求出
（2）由，，当时，，当时，，由此能求出取值范围
【详解】解：（1） 时，集合，

∴，
∴或
（2）∵集合，，
，∴，
∴当时，，解得，
当时，，解得
综上，的取值范围是
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）采用换元，令，当时，把函数转化为二次函数，即可求出答案.
（2）采用换元，令，即 在恒成立，即可求出答案.
【小问1详解】
函数，
令，当时，
，的值域为.
【小问2详解】
，恒成立，
只需： 在恒成立；
令：
则得.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式

21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数单调性进行求解即可；
（2）利用换元法、构造函数法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当时，函数的对称轴为：，
因此函数当时，单调递增，
故
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
不等式，可化为：
即，令，
，令，
.