2025-2026学年湖北宜昌市远安县第一高级中学数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年湖北宜昌市远安县第一高级中学数学高一上期末质量跟踪监视试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．在平行四边形中，设，，，，下列式子中不正确的是（）
A. B.
C. D.
3．幂函数的图像经过点，若.则（）
A.2 B.
C. D.
4．函数的图像的一条对称轴是（ ）
A. B.
C. D.
5．设函数，则下列结论不正确的是（）
A.函数的值域是；
B.点是函数的图像的一个对称中心；
C.直线是函数的图像的一条对称轴；
D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数
6．函数图象一定过点
A.( 0,1） B.（1,0）
C.（0,3） D.（3,0）
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致为（）
A. B.
C. D.
8．下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为
A. B.
C. D.
10．在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线），、为不同的两个平面）
①
②
③
④
其中正确的命题个数有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
12．函数的定义域是________________.
13．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
14．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________
15．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________
16．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系.

（Ⅰ）求与的函数关系；
（Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？
18．已知函数
求的最小正周期以及图象的对称轴方程
当时，求函数的最大值和最小值
19．已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
20．已知函数，其中
（1）若的最小值为1，求a的值；
（2）若存在，使成立，求a取值范围；
（3）已知，在（1）的条件下，若恒成立，求m的取值范围
21．如图,建造一个容积为，深为，宽为的长方体无盖水池，如果池底的造价为元/，池壁的造价为元/，求水池的总造价.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
2、B
【解析】根据向量加减法计算，再进行判断选择.
【详解】;
;
;

故选：B
【点睛】本题考查向量加减法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3、D
【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值
详解】解：设幂函数，其图象经过点，
，
解得，
；
若，
则，
解得
故选：D
4、C
【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.
5、B
【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
6、C
【解析】根据过定点，可得函数过定点.
【详解】因为在函数中，
当时，恒有 ,
函数的图象一定经过点，故选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
7、A
【解析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.
【详解】当时，令，得或，
且时，；时，，故排除选项B.
因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C；
因为时，函数无意义，故排除选项D；
故选：A
8、D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案
详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D
9、C
【解析】
设球的半径为,根据题意知球心到平面的距离,截球所得截面圆的半径为1,由,截面圆半径,球半径构成直角三角形,利用勾股定理,即可求出球半径,进而求出球的表面积.
【详解】如图所示,设球的半径为,
因为,所以,
又因为截球所得截面的面积为,所以,
在中,有,即,
所以,故球的表面积,
故选:C.

【点睛】本题主要考查球的基本应用,答题关键点在于明确球心到截面的距离,截面圆半径,球半径三者可构成直角三角形,进而满足勾股定理.
10、C
【解析】：①若α，则，根据线面垂直的性质可知正确；
②若，则；不正确，也可能是m在α内；错误；
③若，则；据线面垂直的判定定理可知正确；
④若，根据线面平行判定的定理可知正确
得到①③④正确，故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】

，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
，
又，，
则
则
12、 ，
【解析】根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，
考点：三角函数性质
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题
13、 ①.448 ②.600
【解析】
销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．
14、
【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.
【详解】∵，
由，得，
当时，，则，解得此时，
当时，，则，解得此时，不合题意，
当取其它整数时，不合题意，
∴.
故答案：.
15、
【解析】|a－b|＝
16、0
【解析】根据题意，可知将函数的图象向右平移个单位长度后得到，由函数图象的平移得出的解析式，即可得出的结果.
【详解】解：由题意可知，将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
则，
所以.
故答案为：0.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
【解析】
(Ⅰ)根据题意设出直线方程,再代入图示数据,即可得出与的函数关系;
(Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可.
【详解】(Ⅰ)根据题意,可设,
时,;时,,
,解得,
所以与的函数关系为:;
(Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为(元),
由(Ⅰ)知,当时,,
故该班学生购买纯净水的年费用为:(元),比购买饮料花费少,
故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.
【点睛】本题考查函数模型的选取及实际应用,属于简单题.
18、（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）最小值0；最大值
【解析】（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求周期以及图象的对称轴方程（2）先根据自变量范围，确定范围，再根据正弦函数图像得最值
试题解析： 解：

的最小正周期为
由得
的对称轴方程为
当时，
当时，即时，函数f（x）取得最小值0；
当时，即时，函数f（x）取得最大值
19、 (Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.
(Ⅱ)最大值为，最小值为
【解析】详解】试题分析：
(Ⅰ)将函数解析式化为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是．(Ⅱ) 由可得，故，从而可得函数在区间上的最大值为，最小值为
试题解析：
（Ⅰ）

，
所以函数的最小正周期是，
由，
得，
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）当时，
，
所以，
所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为
点睛：解决三角函数综合题
（1）将f(x)化为的形式；
（2）构造；
（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ为辅助角）；
（4）利用，将看做一个整体，并结合函数的有
关知识研究三角函数的性质
20、（1）5（2）
（3）
【解析】（1）采用换元法，令，并确定的取值范围，化简为关于二次函数后，根据其性质进行计算；
（2）将存在，使成立，转化为存在，，求出的最大值列不等式即可；
（3）根据第（1）问的信息，将转化为关于的不等式，采用分离参数法，使用基本不等式，求得的取值范围.
【小问1详解】
令，则，，
当时，，解得
【小问2详解】
存在，使成立，等价于存在，，
由（1）可知，，
当时，，解得
【小问3详解】
由（1）知，，则
又，则恒成立，等价于恒成立，
又，，则等价于
即，当且仅当时等号成立
21、2880元
【解析】先求出水池的长，再求出底面积与侧面积，利用池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，即可求水池的总造价
【详解】分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V＝abh＝16， h＝2，b＝2，
∴a＝4m，∴S底＝4×2＝8m2，S侧＝2×（2+4）×2＝24m2，
∴y＝120×8+80×24＝2880元
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的转化能力，属于基础题