2026届陕西省西安市莲湖区高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2026届陕西省西安市莲湖区高一数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A.或3 B.
C.或 D.
2．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知圆和圆，则两圆的位置关系为
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
5．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6．设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7．已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数与在下列区间内同为单调递增的是（　　）
A. B.
C. D.
10．在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.
12．已知定义在上的偶函数，当时，，则________
13．函数的定义域为_________
14．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则________.
15．已知函数的零点为1，则实数a的值为______
16．已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）化简
（2）求值.
18．已知函数
（1）用函数奇偶性的定义证明是奇函数；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；
（3）解不等式
19．求下列各式的值：
（1）；
（2）
20．当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2）.
（1）求的解析式；
（2）求；
21．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为

（1）若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
2、B
【解析】不妨设，的图像如图所示，
则，，
其中，
故，也就是，
则，
因，故.
故选：B.

【点睛】函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.
3、D
【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.
【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解
令，，
当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增
且，，
由图1知，此时函数与在上只有一个交点；
当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.
综上，的取值范围为.
故选：D

4、B
【解析】由于圆，即 
表示以 为圆心，半径等于1的圆
圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆
由于两圆的圆心距等于 等于半径之差，故两个圆内切
故选B
5、B
【解析】根据指数函数、正切函数的性质，结合奇函数和单调性的性质进行逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以该函数不是奇函数，不符合题意；
B：由，设，
因为，所以该函数是奇函数，
，函数是上的增函数，
所以函数是上的增函数，因此符合题意；
C：当时，，当时，，显然不符合增函数的性质，故不符合题意；
D：当时，，显然不符合增函数的性质，故不符合题意，
故选：B
6、D
【解析】根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；
详解】
，
，，
，
故选：D
7、D
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
8、B
【解析】先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.
【详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，
依题意，得，
解得，则点的坐标为
故选：B.
9、D
【解析】根据正余弦函数的单调性，即可得到结果.
【详解】由正弦函数的单调性可知，函数在上单调递增；

由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递增；

所以函数与在下列区间内同为单调递增的是.
故选：D.
10、A
【解析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.
【详解】因为该组数据的极差为5，，
所以，解得.
因为，
所以该组数据的方差为
故答案为：.
12、6
【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.
【详解】是偶函数，
.
故答案6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.
13、
【解析】根据被开放式大于等于零和对数有意义，解对数不等式得到结果即可.
【详解】∵函数
∴x>0且，∴
∴函数的定义域为
故答案为
【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目
14、1
【解析】利用几何概型中的长度比即可求解.
【详解】实数满足，解得，
，
解得，
故答案为：1
【点睛】本题考查了几何概率的应用，属于基础题.
15、
【解析】利用求得的值.
【详解】由已知得，即，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，属于基础题.
16、
【解析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.
【详解】由图象可知，，故，即.
又由图象过，故，解得，
而，故，所以.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用指数运算性质化简可得结果；
（2）利用对数、指数的运算性质化简可得结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18、（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】（1）先求出函数定义域，证明即可；
（2）根据函数单调性的定义域，作差、定号即可证明函数单调性；
（3）将原不等式转化为二次不等式求解即可.
【小问1详解】
证明：由函数的解析式，得其定义域为，
又因为
故是奇函数.
【小问2详解】
证明：任取，，
则
=
=，
因为，，
所以，，
所以，
综上所述，对任意都有，
所以，在区间上是增函数.
【小问3详解】
因为，所以等价于，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以，不等式的解集为.
19、（1）-2；（2）18.
【解析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.
（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
20、（1）
（2）27
【解析】（1）利用待定系数法求得.
（2）根据的解析式求得.
【小问1详解】
依题意，
所以
【小问2详解】
由（1）得.
21、（1）为，为；
（2）.
【解析】（1）根据题意，可得，篱笆总长为，利用基本不等式可求出的最小值，即可得出对应的值；
（2）由题可知，再利用整体乘“1”法和基本不等式，求得，进而得出的最小值.
【小问1详解】
解：由已知可得，而篱笆总长为，
又，则，
当且仅当，即时等号成立，
菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小
【小问2详解】
解：由已知得，，
又，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值是