2025-2026学年甘肃省兰州市第二中学数学高二第一学期期末复习检测试题含解析.doc

2025-2026学年甘肃省兰州市第二中学数学高二第一学期期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则下列结论一定成立的是（）
A. B.
C. D.
2．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为，上的点，，设，则向量用为基底表示为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
4．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）
A. B.
C. D.
5．已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
6．若等比数列满足，，则数列的公比为（）
A. B.
C. D.
7．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A.24 B.18
C.12 D.6
9．已知全集，集合，则（）
A. B.
C. D.
10．平行六面体中，若，则（ ）
A. B.1
C. D.
11．命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（）
A.每一个圆的内接四边形是矩形
B.有的圆的内接四边形不是矩形
C.所有圆的内接四边形不是矩形
D.存在一个圆的内接四边形是矩形
12．圆与圆的位置关系为 （ ）
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆锥的高为，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
14．双曲线的焦点在圆上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P，Q两点满足（其中O是坐标原点），则的面积是_________
15．以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.则这人成绩的第百分位数可以是______
16．函数在上的最大值为______________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.
（1）用x表示，，并写出与的关系式；.
（2）若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.
18．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求值
19．（12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程
20．（12分）已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，证明
21．（12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表，按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人.

高三
高二
高一
女生
100
150
z
男生
300
450
600

（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人，经检测她们的得分如图所示，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5分的概率.
22．（10分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响
（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；
（2）求甲获胜的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据不等式的同向可加性求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以.
故选：B.
2、D
【解析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.
【详解】

.
故选：D
3、B
【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小
【详解】设恒成立，
函数在上单调递减，
.
故选：B
4、D
【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.
【详解】由题意，得，
则复数的虚部为.
故选：D.
5、A
【解析】由题意得，双曲线的焦距为，即，
又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，
所以，联立方程组可得，
所以双曲线的方程为
考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质
6、D
【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
7、D
【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.
【详解】由题意，，所以在第四象限.
故选：D.
8、C
【解析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解.
【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，
则从0，2中选一个数字为个位数，有种可能，
从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，
故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为.
故选：C.
9、B
【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.
【详解】全集，集合，
则，故
故选：B
10、D
【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.

11、B
【解析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.
【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A，C不符合题意，同时对结论进行否定，所以：有的圆的内接四边形不是矩形，
故选：B.
12、C
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，根据圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系.
【详解】圆的标准方程为 ，
圆的标准方程为，
两圆的圆心距为 ，即圆心距等于两圆半径之和，
故两圆外切，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径，利用勾股定理可得母线长；根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
圆锥体积，，，
以为半径的球的表面积.
故答案为：.
14、
【解析】根据双曲线的焦点在圆上可求出的值，设线段与轴的交点坐标为，进而根据求出的坐标，代入圆中，求出的值，即可求出结果.
【详解】
因为双曲线的焦点在圆上，
所以，
设线段与轴的交点坐标为，结合双曲线与圆的对称性可知为线段的中点，
又因为，即，且，则，
又因为直线的方程为，所以，又因为在圆上，所以，又因为，则，
所以，从而，
故,
故答案为：.
15、
【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
数据量，
∵是整数，
∴
故答案为：.
16、
【解析】对原函数求导得，令，解得或，且所以原函数在上的最大值为
考点：1．函数求导；2．利用导函数求最值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）x=348
【解析】(1)根据题意直接得，，进而归纳出
；
(2)由(1)可得，利用等比数列的求和公式可得
，结合即可计算出d的值.
【小问1详解】
由题意知，
，
，
；
【小问2详解】
由(1)可得，，
则
，
所以，
即，
当时，，
解得，
当时，万元.
故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元.
18、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；
（2）.
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；
（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
小问1详解】
由；

；
【小问2详解】
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得
，
，因为在直线上，
所以，或而，
所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出点坐标，最后由距离公式得出直线的方程
【小问1详解】
由题意可得，得，，椭圆；
【小问2详解】
设，，直线为
由，得
显然，由韦达定理有：，则；
所以，且，
若，解得，所以
20、（1）单调递减，在单调递增；
（2）见解析.
【解析】(1)求f(x)导数，讨论导数的正负即可求其单调性；
(2)由于，则，只需证明，构造函数，证明其最小值大于0即可.
【小问1详解】
时，，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴在单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
由于，∴，
∴只需证明，
令，则，
∴在上为增函数，
而，
∴在上有唯一零点，且，
当时，，g(x)单调递减，
当时，，g(x)单调递增，
∴的最小值为，
由，得，则，
∴，当且仅当时取等号，
而，∴，∴，
即，
∴当时，.
【点睛】本题考察了利用导数研究函数的单调性，也考察了利用导数研究函数的最值，解题过程中设计到隐零点的问题，需要掌握隐零点处理问题的常见思路和方法.
21、（1）400（2）
（3）
【解析】（1）根据分层抽样的方法，列出关系式计算即可；
（2）根据分层抽样的方法，求出抽取的女生人数，进而列举出从样本中抽取2人的所有情况，可根据古典概型的概率公式计算即可；
（3）求出样本平均数，进而求出与样本平均数之差的绝对值不超过5的数，从而利于古典概型的概率公式计算即可.
【小问1详解】
设该校总人数为n人，由题意得，
所以，.
【小问2详解】
设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以，解得.
所以抽取了2名女生，3名男生，分别记作，；，，，则从中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7个，
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为.
【小问3详解】
样本的平均数为，那么与样本平均数之差的绝对值不超过5的数为94，86，92，87，90，93这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过5的概率为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式，即得解
（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式，即得解
【小问1详解】
设事件“甲在第次投篮投中”，其中
设事件“乙在第次投篮投中”，其中
则，，其中
记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，
，事件与事件相互独立
根据事件独立性定义得：

甲乙各投球一次，比赛结束的概率为
【小问2详解】
记“甲获胜”为事件，

事件、事件、事件彼此互斥
根据概率加法公式和事件独立性定义得：

甲获胜的概率为