2026届上海市徐汇区位育中学数学高一上期末达标检测试题含解析.doc

2026届上海市徐汇区位育中学数学高一上期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）
A.60 B.65
C.66 D.69
2．已知函数，则函数的零点个数是　　
A.1 B.2
C.3 D.4
3．下列函数在定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（）
A. B.
C. D.
5．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（）
A.－4 B.20
C.0 D.24
6．函数的最小值为（）
A. B.
C. D.
7．下列函数中，能用二分法求零点的是（　　）
A. B.
C. D.
8．设、是两个非零向量，下列结论一定成立的是（）
A.若，则
B.若，则存在实数，使得
C若，则
D.若存在实数，使得，则|
9．图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）、（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）

A.图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B.图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C.图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D.图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
10．设函数，点，，在的图像上，且．对于，下列说法正确的是（）
①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形
A①③ B.①④
C.②③ D.②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如下图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为__________

12．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
13．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．请写出一个在上单调递增且图象关于y轴对称的函数：________________
14．函数的值域为_____________
15．已知函数，若，则___________.
16．若，则_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数，且是函数的零点.
（1）求解析式，并解不等式；
（2）若，求函数的值域
18．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．求值或化简：
（1）；
（2）.
20．已知函数是偶函数（其中a，b是常数），且它的值域为
（1）求的解析式；
（2）若函数是定义在R上的奇函数，且时，，而函数满足对任意的，有恒成立，求m的取值范围
21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，
（）求向量，夹角的正切值
（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由已知可得方程，解出即可
【详解】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得.
故选：B
2、A
【解析】设，则函数等价为，由，转化为，利用数形结合或者分段函数进行求解，即可得到答案
【详解】由题意，如图所示，设，则函数等价为，
由，得，
若，则，即，不满足条件
若，则，则，满足条件，
当时，令，解得（舍去）；
当时，令，解得，即是函数的零点，
所以函数的零点个数只有1个，
故选A

【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
3、D
【解析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，，是偶函数，不满足题意
对于B，是奇函数，但不是减函数，不满足题意
对于C，，是奇函数，
因为是增函数，是减函数，所以是增函数，不满足题意
对于D，是奇函数且是减函数，满足题意
故选：D
4、C
【解析】求出从甲、乙、丙、丁4位女同学中随机选出2位同学担任护旗手的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率
【详解】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，共有种方法，
甲被选中，共有3种方法，
甲被选中的概率是
故选：C
【点睛】本题考查通过组合的应用求基本事件和古典概型求概率，考查学生的计算能力，比较基础
5、A
【解析】由垂直求出，垂足坐标代入已知直线方程求得，然后再把垂僄代入另一直线方程可得，从而得出结论
【详解】由直线互相垂直可得，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，
又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
故选：A
6、B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为所以当时
故选：B
7、D
【解析】利用零点判定定理以及函数的图象，判断选项即可
【详解】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，
故选D
【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点，是基本知识的考查
8、B
【解析】利用向量共线定理、垂直数量积为0来综合判断.
【详解】A：当、方向相反且时，就可成立，A错误；
B：若，则、方向相反，故存在实数，使得，B正确；
C：若，则说明，不一定有，C错误；
D：若存在实数，使得，则，D错误.
故选：B
9、D
【解析】根据一次函数的性质，结合选项逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D
10、A
【解析】结合，得到，所以一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到，可判定③正确，④不正确.
【详解】由题意，函数为单调递增函数，
因为点，，在的图像上，且，
不妨设，
可得，
则，
因为，可得，

又由因为，，，，
所以，
所以
所以，所以一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；
由两点间的距离公式，可得，
根据指数函数和一次函数的变化率，可得点到的变化率小于点到点的变化率不相同，所以，所以不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】如下图所示， ,那么 ,,所以根据勾股定理，可得 ,所以侧棱长为6.

12、（1）
（2）
【解析】(1)根据，之间的关系，平方后求值即可；
（2）利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间关系求解.
【小问1详解】
∵
∴，

.
【小问2详解】
由,
可得或（舍），
原式,
∴原式.
13、(答案不唯一)
【解析】利用函数的单调性及奇偶性即得.
【详解】∵函数在上单调递增且图象关于y轴对称，
∴函数可为.
故答案为：.
14、
【解析】利用二倍角余弦公式可得令，结合二次函数的图象与性质得到结果.
【详解】由题意得：
令，则
∵在上单调递减，
∴的值域为：
故答案为：
【点睛】本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题
15、0
【解析】由，即可求出结果.
【详解】由知
，则，又因为，所以.
故答案：0.
16、
【解析】平方得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；；（2）.
【解析】（1）根据的零点求出，的值，得出函数的解析式，然后解二次不等式即可；
（2）利用换元法，令，则，然后结合二次函数的图象及性质求出最值.
【详解】（1）由题意得，解得
所以
当时，即，
.
（2）令,则，，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
故.
【点睛】本题考查二次函数的解析式求解、值域问题以及一元二次不等式的解法，较简单.解答时只要抓住二次方程、二次函数、二次不等式之间的关系，则问题便可迎刃而解.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义可得，求出的值，再检验即可得出答案.
(2) 先求出函数的值域，即得出集合，然后由题意知，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.
【小问1详解】
由幂函数定义，知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，
因此.
【小问2详解】
当时，的值域为，则集合，
由题意知Ü，得，解得.
19、 (1)18;(2) .
【解析】(1) 利用对数的运算性质即可得出;
(2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出.
试题解析：
(1)
（2）
＝
＝＝＝
20、（1）
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义结合题意可求出，再由函数的值域为可求出，从而可求出函数解析式，
（2）由题意求出的解析式，判断出当时，，从而将问题转化为满足对任意的恒成立，设，则对恒成立，然后利用二次函数的性质求解
【小问1详解】
由题
∵是偶函数，∴，∴
∴或，
又∵的值域为，∴，
∴，∴或，
∴；
【小问2详解】
若函数是定义在R上的奇函数，且时，，
由（1）知，∴时，；
时，；当时，，
显然时，，若，则
又满足对任意的，有恒成立，
∴对任意的恒成立，
即满足对任意的恒成立，
即，设，
则对恒成立，
设，
∵函数的图像开口向上，
∴只需，
∴，
∴所求m的取值范围是.
21、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为， 则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的结果.
详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0
设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，
则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，
由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，
得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，
故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；
（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，
所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，
当x=时，取得最大值成立，解得x=2，
故点C在x的正半轴，距离原点为2，
即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大
点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.