2026届河南省洛阳市栾川县实验高中数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

2026届河南省洛阳市栾川县实验高中数学高一第一学期期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.7
C.9 D.11
2．将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为
A. B.
C. D.
3．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b
其中真命题的序号是(　　)
A.①② B.③
C.①③ D.②
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
5．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．下列说法正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
7．下列说法不正确的是（）
A.方向相同大小相等的两个向量相等
B.单位向量模长为一个单位
C.共线向量又叫平行向量
D.若则ABCD四点共线
8．函数是
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
9．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（）
A. B.
C. D.
10．已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）
A.3 B.9
C.27 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示.则下列结论：

①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；
④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是_____
12．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
13．若，则__________
14．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______
15．已知平面向量，的夹角为，，则 =______
16．已知函数（且）过定点P，且P点在幂函数的图象上，则的值为_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的对称中心；
（3）当时，求的最大值和最小值.
18．如图，在四棱锥中,平面,,为棱上一点.

（1）设为与的交点, 若, 求证:平面；
（2）若, 求证：
19．已知向量，，若存在非零实数，使得，，且，试求：的最小值
20．设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明：在内单调递增；
（3）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：，的最大值为4，______?若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在①对任意都成立，②函数的图像关于轴对称，③函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由，展开后利用基本不等式求最值
【详解】 且 ，
∴，
当且仅当，即时，等号成立
∴的最小值为9
故选：C
2、C
【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到
∵这个图像关于直线对称
∴，即
∴当时取最小正值为
故选C
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
3、D
【解析】因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，
①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
故选D
4、D
【解析】因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.
考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：
（1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；
（2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）
5、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
6、C
【解析】运用作差法可以判断C，然后运用代特殊值法可以判断A、B、D，进而得到答案.
【详解】对A，令，则.A错误；
对B，令，则.B错误；
对C，因为，而，则，所以，即.C正确；
对D，令，则.D不正确.
故选：C.
7、D
【解析】利用平面向量相等概念判断,利用共线向量和单位向量的定义判断.
【详解】根据向量相等的概念判断正确；
根据单位向量的概念判断正确；
根据共线向量的概念判断正确；
平行四边形中，因此四点不共线，故错误.
故选：.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断及平面向量的基础知识，注意反例的积累，属于基础题.
8、C
【解析】根据题意，由于函数是，因此排除线线A,B，
然后对于选项C，D，由于正弦函数周期为，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为，故选C.
考点：函数的奇偶性和周期性
点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题
9、C
【解析】利用赋值法来求得正确答案.
【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.
故选：C
10、C
【解析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值
【详解】幂函数的图象过点，
可得，解得，
幂函数的解析式为：，
可得（3）
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②④
【解析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，
所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，
则，，，所以，，
所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.
故答案为：②④.
12、 ①.448 ②.600
【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法
13、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
14、2
【解析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设，定义域为,
则，
所以，
即，所以为奇函数，
所以在的最大值和最小值之和为0，
令，则
因为，
所以函数的最大值为，最小值为，
则，
∴
故答案为：2.
15、
【解析】=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
16、9
【解析】由指数函数的性质易得函数过定点，再由幂函数过该定点求解析式，进而可求.
【详解】由知：函数过定点，若，则，即，
∴，故.
故答案为：9.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期
（2），
（3），
【解析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用三角函数图象和性质求得其对称轴方程
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）利用的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质求出函数在区间上最大值和最小值
【小问1详解】
解：

即
所以的最小正周期为，
【小问2详解】
解：令，，解得，，所以函数的对称中心为，
【小问3详解】
解：当时，，所以
则当，即时，；
当，即时，
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）只需证得，即可证得平面；
（2）因为平面， 平面， 所以，即可证得平面，从而得证.
试题解析：
（1）在与中，
因为， 所以，
又因为，所以在中,有，则.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面， 平面， 所以.
又因为,平面,平面,，
所以平面， 平面，所以
19、
【解析】根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出，且，由此将化简整理得到．将此代入，可得关于的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值
【详解】解：，，
，，且
，，且，
，即，即，即，将、和代入上式，可得
，整理得，因为，为非零实数，所以且，

由此可得，当时，的最小值等于
20、（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）根据得到，验证得到答案.
（2）证明的单调性，再根据复合函数的单调性得到答案.
（3）确定单调递增，再计算最小值得到答案.
【小问1详解】
，，
，
即，故，，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上所述：.
【小问2详解】
，函数定义域为，
考虑，
设，则，
，，故，函数单调递减.
在上单调递减，
根据复合函数单调性知在内单调递增.
【小问3详解】
，即，为增函数.
故在单调递增，故.
故.
21、若选择①，；若选择②，；若选择③，

【解析】由可得，由所选的条件可得的对称轴，再由的最大值为4，可得关于的方程，求解即可.
【详解】解：由，可得：，
；
若选择①，
对任意都成立，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故；
若选择②，
函数图像关于轴对称，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故；
若选择③，
函数的单调递减区间是，
故的对称轴为，
即，
又的最大值为4，
且，
解得：，
故.