2025年北京市西城区第四中学高一上数学期末检测试题含解析.doc

2025年北京市西城区第四中学高一上数学期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3．若，且 x为第四象限的角，则tanx的值等于
A. B.－
C. D.－
4．最小正周期为，且在区间上单调递增的函数是（）
A.y = sinx + cosx B.y = sinx - cosx
C.y = sinxcosx D.y =
5．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是
A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0
C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝0
6． “”是“”的（）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
7．设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于
A. B.
C.0 D.-1
8．函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
9．已知，则的值为（ ）
A.-4 B.
C. D.4
10．函数取最小值时的值为（ ）
A.6 B.2
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.
12．已知集合，，则=______
13．点关于直线的对称点的坐标为______.
14．化简：________.
15．命题“，使”是真命题，则的取值范围是________
16．若函数与函数的最小正周期相同，则实数______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

x

5

0
2

0
（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将的图象向右平移3个单位，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围
18．过圆内一点P（3，1）作弦AB，当|AB|最短时,求弦长|AB|.
19．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
20．如图，为等边三角形，平面，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
21．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25
（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；
（2）求这20名学生测试成绩的标准差．（结果保留整数）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.
【详解】函数是上增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A.
2、B
【解析】分析：利用函数的单调性即可判断.
详解：因为函数为偶函数且在(−∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.
故选B.
点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系
3、D
【解析】∵x为第四象限的角，，于是 ，
故选D.
考点：商数关系
4、B
【解析】选项、先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项直接利用正切函数图象的性质去判断即可.
【详解】对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项正确；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,在为单调递增，则选项错误；
故选：.
5、A
【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.
【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,
把点坐标代入可得:,解得,
所求直线方程为: .
故选:A
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6、D
【解析】求得的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得或，
所以“”是“或”成立的充分不必要条件，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：D.
7、C
【解析】：正确的是C.
点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.
8、A
【解析】由图象确定以及周期，进而得出，再由得出的值.
【详解】显然
因为，所以，所以
由得
所以，即，
因为，所以
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查了由函数图象确定正弦型函数的解析式，属于中档题.
9、A
【解析】由题 ，解得.故选A.
10、B
【解析】变形为，再根据基本不等式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故选：B
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】 f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，
当时，函数单调递减，
若＞， f(x)为偶函数，，
，同时平方并化简得，解得或，
即不等式＞的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.
12、{-1,1,2}；
【解析】=={-1,1,2}
13、
【解析】设点关于直线的对称点为，由垂直的斜率关系，
和线段的中点在直线上列出方程组即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
由对称性知，直线与线段垂直，所以，
所以，又线段的中点在直线上，
即，所以，
由，
所以点关于直线的对称点的坐标为：.
故答案为：.
14、－1
【解析】原式)(
.故答案为
【点睛】本题的关键点有：
先切化弦，再通分；
利用辅助角公式化简；
同角互化.
15、
【解析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，的取值范围是，
故答案为：.
16、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数的周期是；
函数的最小正周期是：；
因为周期相同，所以，解得
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）填表见解析；；
（2）.
【解析】（1）利用正弦型函数的性质即得；
（2）由题可得，利用正弦函数的性质可得，即得，即求.
【小问1详解】

0

x

2
5
8

0
2
0

0
.
【小问2详解】
由题可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
∴.
18、.
【解析】考虑直线AB的斜率不存在时，求出A,B坐标，得到，当直线AB的斜率存在时，圆的圆心（4,2），半径r=3，圆心（4,2）到直线AB的距离为：，利用勾股定理基本不不等式即可求出圆的最短的弦长
【详解】(1)当直线AB的斜率不存在时，
，所以
（2）当直线AB的斜率存在时，
圆心（4,2）到直线AB的距离为：
，即，
当时取得最小值7， 弦长的最小值为.
综上弦长的最小值为.
【点睛】本题考查圆的最短弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用凑特殊角的方法结合和角的正弦公式化简求解作答；
（2）将给定等式两边平方，再利用二倍公式、同角公式计算作答.
【详解】（1）依题意，

；
（2）将两边平方得，，
即，即，
所以，.
20、 (1)见解析(2)见解析
【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得平面，得到，再由为等边三角形，得，结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面
【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵在中，，
∵， ∴，
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵平面 ∴平面
（Ⅱ）证：∵面，平面，∴，
又∵为等边三角形，∴，
又∵，∴平面，
又∵，∴面，
又∵面，∴面面

21、（1）77 （2）
【解析】（1）由已知可得甲、乙两组学生的人数分别为12、8，求得总分进而可得平均成绩.
（2）方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，．根据方差公式计算可得，．计算求得20人的方差，进而得出标准差.方法二：直接使用权重公式计算即可得出结果.
【小问1详解】
由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12、8，则这20名学生测试成绩的平均数，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77
【小问2详解】
方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，
由甲组学生的测试成绩的方差，得
由乙组学生的测试成绩的方差，得
故这20名学生的测试成绩的方差

所以
（方法二）直接使用权重公式

所以.