山东省济南市实验中学2026届数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

山东省济南市实验中学2026届数学高一上期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知命题p：，，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2．已知角终边经过点，且，则的值是（）
A. B.
C. D.
3．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A. B.
C. D.
4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A.②④ B.①③
C.①④ D.②③
5．以下给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A.
B.
C.
D.
6．已知函数是奇函数，则
A. B.
C. D.
7．若，则（）
A.2 B.1
C.0 D.
8．已知集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9．函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
10．已知，，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.9
C.10 D.12
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则__________ .
12．在中，，，且在上，则线段的长为______
13．函数的最小值为_________________
14．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.
15．已知平面向量，的夹角为，，则 =______
16．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为

（1）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值
（2）在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由
18．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围.
19．已知，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求与的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性（不需证明）；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．函数是定义在上的奇函数，且
（1）确定的解析式
（2）判断在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）解关于的不等式
21．设函数且是奇函数
求常数k值；
若，试判断函数的单调性，并加以证明；
若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数m的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p：，，所以：，.
故选：A.
2、A
【解析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故选：A
3、C
【解析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）
矩形的面积S=x（12-x）＞20
∴x2-12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率
考点：几何概型
4、B
【解析】对于①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，②④根据运算性质可得均正确.
【详解】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，
②logax2＝2loga|x|，④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|，根据对数运算性质得两个都正确；
故选：B.
5、A
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值
【详解】程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一圈：S=1，k=2，
第二圈：S=1+，k=3，
第三圈：S=1++，k=4，…
依此类推，第十圈：S＝1+，k=11
退出循环
其中判断框内应填入的条件是：k≤10，
故选A
【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误
6、A
【解析】由函数的奇偶性求出，进而求得答案
【详解】因为是奇函数，所以，
即，则，
故.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题
7、C
【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，
故选：C
8、A
【解析】根据题意先解出集合B，进而求出交集即可.
详解】由题意，，则.
故选：A.
9、A
【解析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.
故选：A
10、B
【解析】将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】由，，且得
，
当且仅当即，时等号成立，的最小值为，
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】函数在上单调递增，
∴
解得：
故答案为
12、1
【解析】∵，
∴，∴，
∵且在上，
∴线段为的角平分线，∴，

以A为原点，如图建立平面直角坐标系，则，D
∴
故答案为1
13、
【解析】利用同角三角函数的基本关系，化简函数的解析式，配方利用二次函数的性质，求得y的最小值
【详解】y＝sin2x﹣2cosx+2＝3﹣cos2x﹣2cosx＝﹣（cosx+1）2+4，
故当 cosx＝1时，y有最小值等于0，
故答案为0
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，二次函数的图象与性质，把函数配方是解题的关键
14、 ①.20 ②.96
【解析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.
【详解】根据平均数及方差公式，可得:

化简得：
，，
或
则，
故答案为：20；96
【点睛】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.
15、
【解析】=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
16、
【解析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值.
【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，

因为对，，故函数的图象如图所示：

由图可知，当时，函数取得最小值.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）为四等分点（靠近点A）；答案见解析
【解析】（1）取中点，连，，则可得为二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，连接，则，从而可得或其补角 为异面直线与所成的角，进而可求得答案；
（2）延长交于，取中点，连、，由线面垂直的判定可得平面，则平面平面，再由线面垂直的判定可得平面，取的中点，可证得四边形为平行四边形，所以，从而可得侧面
【详解】解：（1）取中点，连，，
因为正四棱锥中，为底面正方形的中心，所以面，
则为二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，
所以，
连接，则，或其补角为异面直线与所成的角，
因为，，，所以平面
平面，所以
，

（2）延长交于，取中点，连、
因为，，，
故平面，
因平面，
故平面平面，
又，，故为等边三角形，
所以，由平面，故，
因为，所以平面，
取的中点，
，
四边形为平行四边形，
所以，
平面
即为AD的四等分点（靠近点A）
18、（1）值域为，不是有界函数；（2）
【解析】（1）把代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；（2）由题意知，对恒成立，令，对恒成立，设，，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出的值.
试题解析：（1）当时，，令，∵，∴，；∵在上单调递增，∴，即在上的值域为，故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数
（2）由题意知，对恒成立，即：，令，∵，∴．∴对恒成立，∴，设，，由，由于在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为，∴实数的取值范围为
19、（1），；（2）函数在其定义域上为减函数；（3）.
【解析】（1）由与可建立有关、的方程组，可得解出与的解析式；
（2）化简函数解析式，根据函数的解析式可直接判断函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为，根据函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，
，，
即，
所以，，解得，.
由，可得，
所以，，；
（2）函数的定义域为，，
所以，函数在其定义域上为减函数；
（3）由于函数为定义域上的奇函数，且为减函数，
由，可得，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.
20、（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解
（2）由函数的单调性的定义证明
（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解
【小问1详解】
根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则
【小问2详解】
由（1）的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则

又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，
即不等式的解集为.
21、（1）；（2）在上为单调增函数；（3）
【解析】（1）根据奇函数的定义，恒成立，可得 值，也可用奇函数的必要条件求出 值，然后用奇函数定义检验；（2）判断单调性，一般由单调性定义，设，判断的正负（因式分解后判别），可得结论；（3）首先由 ，得，这样就有
，这种函数的最值求法是用换元法，即设，把函数转化为二次函数的问题，注意在换元过程中“新元”的取值范围
试题解析：（1）函数的定义域为
函数 （且 ）是奇函数
，，
经检验可知，函数为奇函数，符合题意
（2）
设、为上两任意实数，且

，，， ，即
函数 在上为单调增函数.
（3），，解得或
且，
（ ）
令（），则
当时，，解得 ，舍去
当时， ，解得

考点：函数的奇偶性、单调性，函数的最值