江苏省奔牛高级中学2025-2026学年数学高一上期末联考模拟试题含解析.doc

江苏省奔牛高级中学2025-2026学年数学高一上期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若过，两点的直线的倾斜角为，则y等于（）
A. B.
C.1 D.5
2．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）
A. B.
C. D.
3．函数的部分图像为（）
A. B.
C. D.
4．已知是方程的两根，且，则的值为
A. B.
C.或 D.
5．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
6．如果，，那么直线不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．已知，则为（）
A. B.2
C.3 D.或3
8．函数f(x)=tan的单调递增区间是（）
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
9．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
10．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，点在直线上，且，则点的坐标为________
12．给出下列四个命题：
①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；
②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；
③正弦函数在第一象限内为增函数；
④存在实数α，使sinα＋cosα＝.
以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).
13．已知集合，，则__________
14．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准差为_________.
15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______

16．计算_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）若函数，且为偶函数，求实数的值；
（2）若，，且的值域为，求的取值范围
18．已知直线及点.
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.
19．求值：
（1）；
20．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的．现有函数.
（1）当时，判断函数在上是否“友好”；
（2）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围
21．已知
（1）设，求的值域；
（2）设，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据斜率的定义和坐标表达式即可求得结果.
【详解】，.
【点睛】本题考查斜率的定义和坐标表达式，注意认真计算，属基础题.
2、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
3、D
【解析】先判断奇偶性排除C，再利用排除B，求导判断单调性可排除A.
【详解】因为，所以为偶函数，排除C；
因为，排除B；
当时，，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，排除A.
故选：D
4、A
【解析】∵是方程的两根，
∴，
∴
又，
∴，
∵，
∴又，
∴，
∴．选A
点睛：解决三角恒等变换中给值求角问题的注意点
解决“给值求角”问题时，解题的关键也是变角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出适合的一个三角函数值．再根据所给的条件确定所求角的范围，最后结合该范围求得角，有时为了解题需要压缩角的取值范围
5、C
【解析】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论
详解：圆，圆,，所以内切．故选C
点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：
，内含；，内切；，相交；，外切；，外离
6、A
【解析】 截距 ,因此直线不通过第一象限,选A
7、C
【解析】根据分段函数的定义域求解.
【详解】因为，
所以
故选：C
8、B
【解析】运用整体代入法，结合正切函数的单调区间可得选项.
【详解】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)，得<x<(k∈Z)，所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).
故选:B.
【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题.
9、A
【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A

考点：函数的零点
10、C
【解析】当时，单调递增，单调递减
故选

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】设点,得出向量,代入坐标运算即得的坐标，得到关于的方程，从而可得结果.
【详解】设点,
因为点在直线,且,
,
或, ，
即或,
解得或;
即点的坐标是，.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
12、①②
【解析】对于①,将x＝代入得是对称轴,命题正确;
对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;
对于③, 正弦函数在上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；
对于④, ,最大值为,不正确;
故填①②.
13、
【解析】因为集合，，所以，故答案为.
14、9
【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案
【详解】根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：9.
15、
【解析】首先利用余弦定理求得的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可.
【详解】由已知可得为所求二面角的平面角，
设等腰直角的直角边长度为，则，
由余弦定理可得：，
则在中，，
即所求二面角大小是.
故答案为：
16、1
【解析】，
故答案为1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由题意得解析式，根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案.
（2）当时，可得解析式，根据值域为R，分别求和两种情况，结合一次、二次函数的性质，即可得答案.
【小问1详解】
由题可知
∵是偶函数，∴，
∴，
即，，
∴对一切恒成立，
∴，即
【小问2详解】
当时，，
当时，，其值域为，满足题意；
当时，要使的值域为，则，
所以，解得
综上所述，的取值范围为
18、 (1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.
【解析】（1）直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；
（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.
试题解析：
（1）证明：直线l的方程可化为 a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，
由，
得，所以直线l恒过定点.
（2）由（1）知直线l恒过定点A，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.
又直线PA的斜率，所以直线l的斜率kl＝－.
故直线l的方程为，
即15x＋24y＋2＝0.
19、（1）
（2）3
【解析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可
（2）利用对数的运算性质计算即可求得结果.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
20、（1）当时，函数在，上是“友好”的
（2）
【解析】（1）当时，利用函数的单调性求出和，由即可求得结论；
（2）化简原方程，然后讨论的范围和方程的解即可得答案
【小问1详解】
解：当时，，
因为单调递增，在单调递减，
所以在上单调递减，
所以，，
因为，
所以由题意可得，当时，函数在上是“友好”的；
【小问2详解】
解：因为，即，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，方程②的解为，代入①不成立；
当且时，方程②的解为或
将代入①，则且，解得且，
将代入①，则，且，解得且
所以要使方程的解集中有且只有一个元素，则，
综上，的取值范围为
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论
（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果
【小问1详解】

，
，所以，，
故当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值
所以的值域为
【小问2详解】
由，
得
于是