内蒙古包头市包钢第一中学2026届数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

内蒙古包头市包钢第一中学2026届数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.内切 D.相离
2．已知幂函数的图象过（4，2）点，则
A. B.
C. D.
3． “”是“”成立的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
4．设函数，则下列结论不正确的是（）
A.函数的值域是；
B.点是函数的图像的一个对称中心；
C.直线是函数的图像的一条对称轴；
D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数
5．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
6．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为（）

A. B.
C.2 D.
7．已知，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
8．设，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知是第二象限角，且，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则= _________ .
12．不等式的解为______
13．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为___________

14．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____.
15．已知圆：,为圆上一点,、、,则的最大值为______.
16．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求函数图象的对称轴的方程；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.
18．已知
（1）设，求的值域；
（2）设，求的值
19．已知函数在一个周期内的图象如图所示

（1）求的解析式；
（2）直接写出在区间上的单调区间；
（3）已知，都成立，直接写出一个满足题意的值
20．在①f (x)是偶函数；②是f (x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f (x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.
已知函数f (x) = sin(x +)(> 0，0 <<π)，满足________.
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）将函数y = f (x)图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y = g(x)；若函数F (x) = f (x) + kg(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.
21．已知函数.
（1）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
问题：已知函数___________，，求的值域.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
（2）若，，，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由对称求出，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系
【详解】，，半径为，
关于直线的对称点为，即，所以，圆半径为，
，又，
所以两圆相交
故选：B
2、D
【解析】设函数式为，代入点（4，2）得
考点：幂函数
3、B
【解析】通过和同号可得前者等价于或，通过对数的性质可得后者等价于或，结合充分条件，必要条件的概念可得结果.
【详解】或，或，
即“”是“”成立必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.
4、B
【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
5、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
6、B
【解析】根据三视图画出原图，从而计算出最长的棱长.
【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示，平面，
，则
所以最长的棱长为.
故选：B

7、A
【解析】构造函数，则为奇函数，根据可求得，进而可得到
【详解】令，则为奇函数，且，
由题意得，
∴，
∴，
∴.
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
8、B
【解析】对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可
【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；
对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；
对于C，因为，所以，所以C成立；
对于D，因为，所以，则，所以D成立，
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.
9、C
【解析】先利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解.
【详解】，
所以当时，取得最大值，
故选：C
10、B
【解析】根据所在象限可判断出，，从而可得答案.
【详解】为第二象限角，
，，
则点位于第二象限.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分析和的关系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
12、
【解析】根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】将不等式转化成
（Ⅰ），解得；
（Ⅱ），解得；
（Ⅲ），此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
13、2
【解析】∵∠B'A'C'=90°, B'O'=C'O'=1，.
∴A'O'=1， ∴原△ABC的高为2，△ABC面积为.
点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则
14、
【解析】直接令，即可求出
【详解】解：对直线令，得
可得直线在轴上截距是，
故答案：
【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
15、53
【解析】
设,则,从而求出,再根据的取值范围,求出式子的最大值.
【详解】设,
因为为圆上一点,则,且,
则

(当且仅当时取得最大值),
故答案为:53.
【点睛】本题属于圆与距离的应用问题,主要考查代数式的最值求法.解决此类问题一是要将题设条件转化为相应代数式;二是要确定代数式中变量的取值范围.
16、
【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】 f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，
当时，函数单调递减，
若＞， f(x)为偶函数，，
，同时平方并化简得，解得或，
即不等式＞的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中范围得出的范围，再由可得的范围
【详解】解：（1）

令，得
所以函数图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，，即
令，
则，，
由
得，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值1，
所以当时，函数的值域为
（3）当，不等式恒成立，
因为时，，，所以，
令，则，
所以
又，
当且仅当即时取等号
而，所以，即，所以
又由（2）知，，
当时，，
所以，要使恒成立，只须使，
故的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现和的函数中常常设换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值
18、（1）
（2）
【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论
（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果
【小问1详解】

，
，所以，，
故当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值
所以的值域为
【小问2详解】
由，
得
于是
19、（1）
（2）增区间为，减区间为
（3）
【解析】（1）根据图象确定周期可得出，再由图象过点求出即可得出解析式；
（2）根据图象观察直接写出即可；
（3）由知函数图象关于对称，由图象直接写即可.
【小问1详解】
由图可知，
所以
因，且，
所以
因为图象过点，
所以
所以
所以
所以
因为，
所以
所以
【小问2详解】
在区间上，函数的增区间为，减区间为，
【小问3详解】
因为恒成立，
所以函数图象关于对称，
由图可知适合题意，（答案不唯一）
20、（1）
（2），
【解析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出和的值即可，
（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可
【小问1详解】
解：①是偶函数；
②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
③相邻两条对称轴之间距离为
若选择①②，
由①是偶函数，
即，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
则，得，即
选择①③：
由①是偶函数，
即，
由③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则
若选②③：
③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
，得，则，
综上
【小问2详解】
解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，
可得，
所以，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
令，可得，令，，则，△，
则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，
①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；
②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意
同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意
③当，，当时，只有一根，有两根，所
以关于的方程在有三个根，由于，
则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根
所以关于的方程在区间上有2020个根．在区间上有2022个根．不合题意
④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根
由于方程在区间上有两个实数根，在区间上只有一个实数根
因此关于的方程在上有2021个根，
在区间上有2022个根，
因此
所以解得，
21、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；
（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.
【小问1详解】
选择①，，
令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.
选择②，，令，则，
因为函数单调递增，所以，即的值域为.
【小问2详解】
令.
当时，，，；
当时，，，.
因为，所以的最小值为0，
所以，即.
令，则，所以，
故，即的取值范围为.