2026届福建省宁德市重点名校数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2026届福建省宁德市重点名校数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2．函数（）
A. B.
C. D.
3．若直线过点且倾角为，若直线与轴交于点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
4．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3000元的部分

超过3000元至12000元的部分

超过12000元至25000元的部分

有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）
A.2000元 B.1500元
C.990元 D.1590元
5．的值为
A. B.
C. D.
6．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A.51，58 B.51，61
C.52，58 D.52，61
7．函数的零点所在区间是　　
A. B.
C. D.
8．已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A.或 B.
C. D.
9．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）
A. B.
C. D.
10．设函数，点，，在的图像上，且．对于，下列说法正确的是（）
①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形
A①③ B.①④
C.②③ D.②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），则|AB|＝_____
12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_________
①在R上单调递增；②；③
13．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.
14．已知，，，则的最大值为___________.
15．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______
16．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移单位，所得到的函数解析式是_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.

18．已知函数=的部分图象如图所示

(1)求的值;
(2)求的单调增区间;
(3)求在区间上的最大值和最小值
19．△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.
20．已知.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
21．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.

（1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
（3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可
【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；
对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；
对于C，因为，所以，所以C成立；
对于D，因为，所以，则，所以D成立，
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.
2、A
【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.
【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.
3、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与轴的交点，得出答案
【详解】直线过点且倾角为，则直线方程为，化简得
令，解得，点的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题
4、D
【解析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出元的部分的纳税所得额，即可求解.
【详解】由题意，职工八月份收入为元，其中纳税部分为元，
其中不超过3000元的部分，纳税额为元，
超过3000元至12000元的部分，纳税额为元，
超过12000元至25000元的部分，纳税额为元，
所以该职工八月份应缴纳个税为元.
故选：D.
5、B
【解析】.
故选B.
6、B
【解析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以该地区月降水量的分位数为;

所以该地区的月降水量的分位数为.
故选：B
7、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵，，
∴，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
8、A
【解析】，所以直线过定点，

所以，，
直线在到之间，
所以或，故选A
9、D
【解析】A，B，C选项都有，所以四点共面，D选项四点不共面.
故选：D.
10、A
【解析】结合，得到，所以一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到，可判定③正确，④不正确.
【详解】由题意，函数为单调递增函数，
因为点，，在的图像上，且，
不妨设，
可得，
则，
因为，可得，

又由因为，，，，
所以，
所以
所以，所以一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；
由两点间的距离公式，可得，
根据指数函数和一次函数的变化率，可得点到的变化率小于点到点的变化率不相同，所以，所以不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接代入空间中两点间的距离公式即可得解.
【详解】∵空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），
∴|AB|4
故答案为: 4
【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式,属于基础题.
12、（答案不唯一，形如均可）
【解析】由指数函数的性质以及运算得出.
【详解】对函数，因在R上单调递增，所以在R上单调递增；
，.
故答案为：（答案不唯一，形如均可）
13、
【解析】
考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.
14、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
15、2
【解析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设，定义域为,
则，
所以，
即，所以为奇函数，
所以在的最大值和最小值之和为0，
令，则
因为，
所以函数的最大值为，最小值为，
则，
∴
故答案为：2.
16、
【解析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.
【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，
得到，
再向右平移个单位，得到，
故最终所得到的函数解析式为：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，
【解析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值.
【详解】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，

，
当且仅当取等号，
所以时，.
【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力.
18、 (1);（2）单调递增区间为(3)时,取得最大值1;时,f(x)取得最小值
【解析】(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;
(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;
(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解
试题解析：
(1)由图象知
由图象得函数最小正周期为=,
则由=得
(2)令
.
.
所以f(x)的单调递增区间为
（3）
.
.
当即时,取得最大值1;
当即时,f(x)取得最小值
19、.
【解析】设则的中点在直线上和点在直线上,得,求得,再根据到角公式，求得，进而求得直线的方程
试题解析：
设则的中点在直线上,则,即…………………①,
又点在直线上,则…………………②联立①②得,
,
有直线平分,则由到角公式得,得
的直线方程为:.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用诱导公式求出，由已知得出，再由齐次式即可求解.
（2）由题意可得，，再由两角和的正切公式即可求解.
【小问1详解】

由已知，，得
所以

【小问2详解】
由，，可知，，
∴.
∵，∴.
而，∴.
∴，∴.
21、（1），
（2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，
（3）答案见解析
【解析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；
（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；
（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.
【小问1详解】
因为餐厅满意指数在中有30人，则有：
解得：
根据总的频率和为1，则有：
解得：
综上可得：，
【小问2详解】
设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：
，
，
，
，
综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，
【小问3详解】
答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅；
答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅；
（答案不唯一，符合实际情况即可）